Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 1: Derivace složené funkce- Derivace složené funkce
- Časté chyby při používání pravidla pro derivaci složené funkce
- Derivace složené funkce
- Rozpoznávání složených funkcí
- Rozpoznání složených funkcí
- Řešený příklad: Derivace cos³(x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace √(3x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace ln(√x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Úvod k pravidlu pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Pravidlo pro derivaci složené funkce s tabulkou
- Pravidlo pro derivaci složené funkce s tabulkou
Derivace složené funkce
Pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká, jak nalézt derivaci složené funkce. Připomeň si nabyté vědomosti o složených funkcích a nauč se je, jak na ně použít pravidlo pro derivaci složené funkce.
Pravidlo pro derivaci složené funkce říká:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Dává nám návod na derivování složených funkcí.
Krátká exkurze do světa složených funkcí
Funkce je složená, pokud je tvaru f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis. Jinými slovy, jde o funkci uvnitř funkce, neboli funkci funkce.
Například start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 je složená, protože položíme-li start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54 a start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #e07d10, pak start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
start color #e07d10, g, end color #e07d10 je funkce uvnitř start color #1fab54, f, end color #1fab54, takže nazýváme start color #e07d10, g, end color #e07d10 vnitřní funkcí a start color #1fab54, f, end color #1fab54 vnější funkcí.
Na druhou stranu, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, x, squared není složenou funkcí. Je to součin f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis a g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, ale ani jedna z funkcí není uvnitř druhé.
Běžná chyba: nerozpoznání, zdali je funkce složená či ne
Obvykle jediným způsobem, jak derivovat složené funkce, je použití pravidla pro derivaci složené funkce. Pokud nerozpoznáme, že funkce je složená a že musíme použít pravidlo pro derivaci složené funkce, nebudeme nejspíše schopni funkci správně zderivovat.
Na druhou stranu použití pravidla pro derivaci složené funkce na funkci, která není složená, vede také ke špatnému výsledku.
Zejména u transcendentních funkcí (např. logaritmické a goniometrické funkce) studenti často pletou složenou funkci natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis se součinem funkcí typu natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Chtěl bys víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.
Běžná chyba: špatné rozlišení vnější a vnitřní funkce
I když student správně poznal, že jde o složenou funkci, tak pak špatně rozliší vnější a vnitřní funkci. To má za důsledek špatné zderivování.
Například ve složené funkci cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis, vnější funkcí je x, squared, a vnitřní pak je cosine, left parenthesis, x, right parenthesis. Místo toho je často mylně považována za vnější funkci funkce cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Příklad použití pravidla pro derivaci složené funkce
Podívejme se na použití pravidla pro derivaci složené funkce na h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript. Všimněte si, že h je složená funkce:
Protože h je složená, můžeme derivovat pomocí pravidla pro derivaci složené funkce:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c.
Jinak řečeno, toto pravidlo nám říká, že derivace složené funkce je rovna součinu derivace vnější funkce start color #11accd, f, prime, end color #11accd, do které dosadíme vnitřní funkci start color #e07d10, g, end color #e07d10, a derivace vnější funkce start color #ca337c, g, prime, end color #ca337c.
Před použitím pravidla pojďme najít derivace vnitřní a vnější funkce:
Teď použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce:
Procvičování použití pravidla pro derivaci složené funkce
Chtěl bys víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.
Chceš více procvičování? Zkus toto cvičení.
Běžná chyba: zapomenutí vynásobit derivací vnitřní funkce
Častá chyba je, že student zderivuje pouze vnější funkci, tedy f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, zatímco správná derivace je f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Další běžná chyba: f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Další běžnou chybou je spočtení derivace složené funkce f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis jako složení derivací f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Toto je také špatně. Funkce, která by měla být uvnitř f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis je g, left parenthesis, x, right parenthesis, místo g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Pamatuj si: Derivace start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 je start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c. Ani start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, ani start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.