If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Diferenciální počet

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3

Lekce 1: Derivace složené funkce
Matematika
Diferenciální počet
Derivace: složené funkce a další pokročilejší témata
Derivace složené funkce
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Derivace složené funkce

Učebna Google
Pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká, jak nalézt derivaci složené funkce. Připomeň si nabyté vědomosti o složených funkcích a nauč se je, jak na ně použít pravidlo pro derivaci složené funkce.
Pravidlo pro derivaci složené funkce říká:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Dává nám návod na derivování složených funkcí.

Krátká exkurze do světa složených funkcí

Funkce je složená, pokud je tvaru f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis. Jinými slovy, jde o funkci uvnitř funkce, neboli funkci funkce.
Například start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 je složená, protože položíme-li start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54 a start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #e07d10, pak start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
start color #e07d10, g, end color #e07d10 je funkce uvnitř start color #1fab54, f, end color #1fab54, takže nazýváme start color #e07d10, g, end color #e07d10 vnitřní funkcí a start color #1fab54, f, end color #1fab54 vnější funkcí.
start color #1fab54, start underbrace, cosine, left parenthesis, space, start color #e07d10, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, start text, v, n, i, t, r, with, \v, on top, n, ı, with, \', on top, end text, end superscript, space, end color #e07d10, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, v, n, e, with, \v, on top, j, s, with, \v, on top, ı, with, \', on top, end text, end subscript, end color #1fab54
Na druhou stranu, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, x, squared není složenou funkcí. Je to součin f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis a g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, ale ani jedna z funkcí není uvnitř druhé.
Příklad 1
Je g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis složenou funkcí? Pokud ano, jaké funkce jsou vnitřní a vnější?
Vyber 1 odpověď:

Běžná chyba: nerozpoznání, zdali je funkce složená či ne

Obvykle jediným způsobem, jak derivovat složené funkce, je použití pravidla pro derivaci složené funkce. Pokud nerozpoznáme, že funkce je složená a že musíme použít pravidlo pro derivaci složené funkce, nebudeme nejspíše schopni funkci správně zderivovat.
Na druhou stranu použití pravidla pro derivaci složené funkce na funkci, která není složená, vede také ke špatnému výsledku.
Zejména u transcendentních funkcí (např. logaritmické a goniometrické funkce) studenti často pletou složenou funkci natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis se součinem funkcí typu natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Příklad 2
Je h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis složenou funkcí? Pokud ano, jaké funkce jsou vnitřní a vnější?
Vyber 1 odpověď:

Chtěl bys víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.

Běžná chyba: špatné rozlišení vnější a vnitřní funkce

I když student správně poznal, že jde o složenou funkci, tak pak špatně rozliší vnější a vnitřní funkci. To má za důsledek špatné zderivování.
Například ve složené funkci cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis, vnější funkcí je x, squared, a vnitřní pak je cosine, left parenthesis, x, right parenthesis. Místo toho je často mylně považována za vnější funkci funkce cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Příklad použití pravidla pro derivaci složené funkce

Podívejme se na použití pravidla pro derivaci složené funkce na h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript. Všimněte si, že h je složená funkce:
h(x)=( 5−6x⏞vnitrˇnıˊ )5⏟vneˇjsˇıˊg(x)=5−6xvnitrˇnıˊ funkcef(x)=x5vneˇjsˇıˊ funkce\begin{aligned} h(x) &= \greenD{\underbrace{(~\goldD{\overbrace{5-6x}^{\text{vnitřní}}~})^5}_{\text{vnější}}} \\\\ \goldD{g(x)}&=\goldD{5-6x} &&\text{vnitřní funkce} \\\\ \greenD{f(x)}&=\greenD{x^5}&&\text{vnější funkce} \end{aligned}
Protože h je složená, můžeme derivovat pomocí pravidla pro derivaci složené funkce:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c.
Jinak řečeno, toto pravidlo nám říká, že derivace složené funkce je rovna součinu derivace vnější funkce start color #11accd, f, prime, end color #11accd, do které dosadíme vnitřní funkci start color #e07d10, g, end color #e07d10, a derivace vnější funkce start color #ca337c, g, prime, end color #ca337c.
Před použitím pravidla pojďme najít derivace vnitřní a vnější funkce:
g′(x)=−6,f′(x)=5x4.\begin{aligned} \maroonD{g'(x)}&=\maroonD{-6}, \\\\ \blueD{f'(x)}&=\blueD{5x^4}. \end{aligned}
Teď použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce:
ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)=5(5−6x)4⋅−6=−30(5−6x)4.\begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right] \\\\ =&\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \cdot \maroonD{-6} \\\\ =&-30(5-6x)^4. \end{aligned}

Procvičování použití pravidla pro derivaci složené funkce

Příklad 3.A
  • Současný
Příklad 3 půjde krok po kroku skrz derivování sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis.
Co jsou vnitřní a vnější funkce v sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 4
  • Současný
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, square root of, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, close bracket, equals, question mark
Vyber 1 odpověď:

Chtěl bys víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.
Příklad 5
  • Současný
xf, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 19minus, 1minus, 5minus, 6
23minus, 116
G, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
G, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Chceš více procvičování? Zkus toto cvičení.
Příklad 6
Katka se snažila najít derivaci left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, cubed. Tady je její práce.
Krok 1: Nechť start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, end color #1fab54 a start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, pak start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
Krok 2: start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, end color #11accd
Krok 3: Derivace je start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, 3, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, squared, end color #11accd.
Počítala Katka správně? Pokud ne, nalezneš chybu?
Vyber 1 odpověď:

Běžná chyba: zapomenutí vynásobit derivací vnitřní funkce

Častá chyba je, že student zderivuje pouze vnější funkci, tedy f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, zatímco správná derivace je f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.

Další běžná chyba: f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

Další běžnou chybou je spočtení derivace složené funkce f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis jako složení derivací f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Toto je také špatně. Funkce, která by měla být uvnitř f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis je g, left parenthesis, x, right parenthesis, místo g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Pamatuj si: Derivace start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 je start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c. Ani start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, ani start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.