If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Derivace složené funkce

Pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká, jak nalézt derivaci složené funkce. Připomeň si nabyté vědomosti o složených funkcích a nauč se je, jak na ně použít pravidlo pro derivaci složené funkce.
Pravidlo pro derivaci složené funkce říká:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x).
Dává nám návod na derivování složených funkcí.

Krátká exkurze do světa složených funkcí

Funkce je složená, pokud je tvaru f(g(x)). Jinými slovy, jde o funkci uvnitř funkce, neboli funkci funkce.
Například cos(x2) je složená, protože položíme-li f(x)=cos(x) a g(x)=x2, pak cos(x2)=f(g(x)).
g je funkce uvnitř f, takže nazýváme g vnitřní funkcí a f vnější funkcí.
cos( x2vnitřní )vnější
Na druhou stranu, cos(x)x2 není složenou funkcí. Je to součin f(x)=cos(x) a g(x)=x2, ale ani jedna z funkcí není uvnitř druhé.
Příklad 1
Je g(x)=ln(sin(x)) složenou funkcí? Pokud ano, jaké funkce jsou vnitřní a vnější?
Vyber 1 odpověď:

Běžná chyba: nerozpoznání, zdali je funkce složená či ne

Obvykle jediným způsobem, jak derivovat složené funkce, je použití pravidla pro derivaci složené funkce. Pokud nerozpoznáme, že funkce je složená a že musíme použít pravidlo pro derivaci složené funkce, nebudeme nejspíše schopni funkci správně zderivovat.
Na druhou stranu použití pravidla pro derivaci složené funkce na funkci, která není složená, vede také ke špatnému výsledku.
Zejména u transcendentních funkcí (např. logaritmické a goniometrické funkce) studenti často pletou složenou funkci ln(sin(x)) se součinem funkcí typu ln(x)sin(x).
Příklad 2
Je h(x)=cos2(x) složenou funkcí? Pokud ano, jaké funkce jsou vnitřní a vnější?
Vyber 1 odpověď:

Chtěl bys víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.

Běžná chyba: špatné rozlišení vnější a vnitřní funkce

I když student správně poznal, že jde o složenou funkci, tak pak špatně rozliší vnější a vnitřní funkci. To má za důsledek špatné zderivování.
Například ve složené funkci cos2(x), vnější funkcí je x2, a vnitřní pak je cos(x). Místo toho je často mylně považována za vnější funkci funkce cos(x).

Příklad použití pravidla pro derivaci složené funkce

Podívejme se na použití pravidla pro derivaci složené funkce na h(x)=(56x)5. Všimněte si, že h je složená funkce:
h(x)=( 56xvnitřní )5vnějšíg(x)=56xvnitřní funkcef(x)=x5vnější funkce
Protože h je složená, můžeme derivovat pomocí pravidla pro derivaci složené funkce:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x).
Jinak řečeno, toto pravidlo nám říká, že derivace složené funkce je rovna součinu derivace vnější funkce f, do které dosadíme vnitřní funkci g, a derivace vnější funkce g.
Před použitím pravidla pojďme najít derivace vnitřní a vnější funkce:
g(x)=6,f(x)=5x4.
Teď použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)=5(56x)46=30(56x)4.

Procvičování použití pravidla pro derivaci složené funkce

Příklad 3.A
Příklad 3 půjde krok po kroku skrz derivování sin(2x34x).
Co jsou vnitřní a vnější funkce v sin(2x34x)?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 4
ddx[cos(x)]=?
Vyber 1 odpověď:

Chtěl bys víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.
Příklad 5
xf(x)h(x)f(x)h(x)
19156
23116
G(x)=f(h(x))
G(2)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Chceš více procvičování? Zkus toto cvičení.
Příklad 6
Katka se snažila najít derivaci (2x24)3. Tady je její práce.
Krok 1: Nechť f(x)=x3 a g(x)=2x24, pak (2x24)3=f(g(x)).
Krok 2: f(x)=3x2
Krok 3: Derivace je f(g(x)):
ddx[(2x24)3]=3(2x24)2.
Počítala Katka správně? Pokud ne, nalezneš chybu?
Vyber 1 odpověď:

Běžná chyba: zapomenutí vynásobit derivací vnitřní funkce

Častá chyba je, že student zderivuje pouze vnější funkci, tedy f(g(x)), zatímco správná derivace je f(g(x))g(x).

Další běžná chyba: f(g(x))

Další běžnou chybou je spočtení derivace složené funkce f(g(x)) jako složení derivací f(g(x)).
Toto je také špatně. Funkce, která by měla být uvnitř f(x) je g(x), místo g(x).
Pamatuj si: Derivace f(g(x)) je f(g(x))g(x). Ani f(g(x)), ani f(g(x)).

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.