Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 12: Videa s důkazyPravidlo pro derivaci podílu odvozené z pravidla pro derivaci součinu a pravidla pro derivaci složené funkce
Ukážeme, jak můžeš odvodit pravidlo pro derivaci podílu za pomoci pravidla pro derivaci součinu a pravidla pro derivaci složené funkce (o jedno pravidlo méně k zapamatování!) Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Už víme, jak zní
součinové pravidlo. Pokud máme součin dvou
funkcí, řekněme f(x) a g(x), a chceme jej zderivovat, bude
to derivace první funkce, f s čárkou (x), krát druhá funkce, krát g(x), plus
první funkce, kterou nederivujeme, takže plus f(x), krát
derivace druhé funkce. Máme dva výrazy, v každém z nich
derivujeme jednu funkci a druhou ne, a pak se to prohodí. Tady máme derivaci
f, ale ne g. Tady derivaci g, ale ne f. Tolik k malému opakování
pravidla součinu. Teď pravidlo součinu využijeme pro to,
čemu učebnice říkají podílové pravidlo. Mně se to úplně nelíbí. Když jej znáte, některé
operace to možná urychlí, ale vychází přímo
z pravidla součinu. Já osobně podílové pravidlo vždycky
zapomenu a odvozuji si ho ze součinového. O co tedy jde. Představme si výraz zapsaný
jako f(x) děleno g(x). A chceme určit jeho derivaci,
tedy derivaci f(x) lomeno g(x). Důležité je si uvědomit, že
je to stejné jako derivace… Místo f(x) lomeno g(x) můžeme
napsat f(x) krát g(x) na −1. A nyní můžeme využít pravidlo součinu
spolu s pravidlem o složené funkci. Čemu se to bude rovnat? Prostě použijeme
pravidlo součinu. Jde o derivaci první
funkce, tedy f'(x), krát druhá funkce,
což je g(x) na −1, plus první funkce,
což je jen f(x), krát derivace druhé funkce. A tady musíme použít
pravidlo o složené funkci. Derivace vnější funkce, kterou můžeme vnímat jako derivaci
něčeho na −1 podle toho něčeho. A to bude −1 krát to něco, což
je v tomto případě g(x), na −2. A pak musíme zderivovat
vnitřní funkci podle x, což je prostě g'(x). A máme to. Spočítali jsme tuto derivaci pomocí
pravidla o součinu a o složené funkci. Toto ale není ve tvaru,
který uvidíte, když si najdete podílové
pravidlo ve své učebnici. Podívejme se, jestli
to můžeme zjednodušit. Toto celé bude rovno… Tento výraz můžeme zapsat
jako f'(x) lomeno g(x). f'(x) lomeno g(x). A toto můžeme zapsat jako… Toto minus můžeme
dát dopředu. Dostaneme −f(x) krát g'(x). A pak to celé lomeno
g(x) na druhou. Napíšu to trochu lépe. To celé lomeno
g(x) na druhou. A tohle ještě stále není ve tvaru,
který obyčejně najdete v učebnici. Aby to tak bylo, musíme
ještě sečíst tyto dva zlomky. Vynásobme tedy tento čitatel
a jmenovatel tímto g(x), abychom měli všude
g(x) na druhou ve jmenovateli. Když tedy vynásobíme čitatel
g(x), dostaneme g(x) tady a ve jmenovateli bude
g(x) na druhou. A teď můžeme sčítat. Dostaneme tedy, že derivace f(x) lomeno g(x) je rovna
derivaci f(x) krát g(x) minus, už ne plus, napíšu to bílou,
minus f(x) krát g'(x), to celé lomeno
g(x) na druhou. Takže ještě jednou, toto si vždy můžete odvodit z
pravidla o součinu a složené funkci. Někdy se může hodit
si toto pamatovat, abychom některé příklady
v tomto tvaru vyřešili rychleji. A když se podíváme na to, čím
se liší pravidlo součinové a podílové, tady je to derivace jedné
funkce krát druhá funkce, ale místo přičítání derivace druhé funkce
krát první funkce to teď odčítáme. A celé je to ještě lomeno
druhou funkcí na druhou. Cokoli bylo ve jmenovateli,
je teď na druhou. Takže když derivujeme
tuto funkci a jmenovatel, tady je odčítání a celé je to ještě lomeno
druhou funkcí na druhou.