Když je funkce spojitá v x, pak Δu→0 pro Δx→0

Tvrzení, které si nyní ukážeme nebo o kterém v tomto videu získáme intuici, použijeme v důkazu pravidla pro derivaci složené funkce. Nebo v jednom z důkazů, možná si totiž ukážeme víc než jeden důkaz pravidla pro derivaci složené funkce. Teď se ale podívejme na tvrzení, které říká, že když máme nějakou funkci ‚u‘ proměnné x, o které víme, že je spojitá v bodě x rovno ‚c‘... Když tohle víme, tak z toho plyne, že změna hodnot ‚u‘ se blíží k 0, když se změna x okolo bodu ‚c‘ blíží k 0. Chci, abychom o tomhle získali intuici. Pokud je ‚u‘ spojitá v bodě ‚c‘, tak když je změna hodnot x okolo bodu ‚c‘ stále menší a menší, tedy blíží se k 0, tak změna hodnot funkce ‚u‘ se také blíží k 0. Zamysleme se teď nad tím a zkusme si to trochu formálněji dokázat. Nejprve se zamysleme nad tím, co znamená spojitost v bodě x rovno ‚c‘. Definice spojitosti říká, že tohle je totéž jako říci, že limita pro x blížící se k ‚c‘ z funkce u(x) se rovná u(c), tedy že hodnota, ke které se naše funkce limitně blíží, když se x blíží k ‚c‘, se rovná funkční hodnotě v bodě ‚c‘. Nedochází k žádné odstranitelné nespojitosti ani nespojitosti 1. druhu. Kdyby tu byla nespojitost 1. druhu, tak by limita neexistovala, to už jsme viděli. Tohle teď algebraicky upravím tak, abychom došli k tomuto závěru. Tohle můžeme přepsat... Je důležité si uvědomit, že u(c) je jen nějaká hodnota. Možná to může vypadat, jako že je to funkce proměnné x nebo tak, ale tak to není, je to jen nějaká hodnota. Dosadil jsem ‚c‘ a vyčíslil jsem funkci v tomto bodě, takže je to nějaké číslo, třeba 5, 7, π nebo −1. Důležité je, že je to jen nějaká hodnota, nějaká konstanta. Budu s tím tedy jako s konstantou zacházet. Toto je tedy totéž jako říci, že limita pro x blížící se k ‚c‘ z (u(x) minus u(c)) se rovná 0. Ve videu s důkazem toho, že diferencovatelnost implikuje spojitost, jsme s tímhle začali a dokázali jsme tohle. Ukázali jsme, že tato tvrzení jsou ekvivalentní. Snad to i souhlasí s vaší intuicí. Pokud je limita pro u(x) blížící se... Pokud je limita u(x) pro x blížící se k ‚c‘ rovna tomuhle, tak když spočítáme tuhle limitu pro x blížící se k ‚c‘, tak tohle se bude blížit k u(c), protože to máme tady nahoře, a u(c) minus u(c) se skutečně rovná 0. Snad vám tedy nepřipadá, že si tu vymýšlím. Od obou stran můžete odečíst u(c) a použít vlastnosti limit a taky vám vyjde tohle. Tohle už je zajímavé, protože nás to dovede až k tomuhle, tedy že když je změna x stále menší a menší, až se blíží k 0, tak změna hodnot naší funkce se také blíží k 0. Zkusme si to nakreslit, abychom si to lépe představili a aby to dávalo větší smysl. Tohle bude osa x. Tohle můžeme nazvat jako osu ‚u‘. Schválně jsem použil ‚u‘, protože tohle písmeno použijeme v důkazu pravidla pro derivaci složené funkce. Řekněme, že tohle je naše funkce. Zde je bod ‚c‘ a tohle je u(c). A potom někde tady zvolme libovolný bod x. Tady bude naše libovolné x a tohle bude u(x). Když zadefinujeme změnu... Napíšu to. ...když změnu ‚u‘ zadefinujeme jako u(x) minus u(c), což dává smysl, protože tohle je změna hodnoty ‚u‘. Tohle se tedy rovná u(x) minus u(c). Když dále změnu x zadefinujeme jako x minus c, což je v tomhle případě pravda, skutečně je to x minus c, tak tuto limitu můžeme přepsat. Namísto limity pro x blížící se k ‚c‘ můžeme napsat limitu pro delta x blížící se k 0, protože jestliže se x blíží k ‚c‘, delta x se blíží k 0. Můžeme tedy napsat, že limita pro delta x blížící se k 0 z delty ‚u‘ se rovná 0. Toto jsme zadefinovali jako změnu ‚u‘ a skutečně to je změna ‚u‘. Tohle se tedy rovná 0. Můžeme se na to tedy dívat také tak, že jak se delta x blíží k 0, změna ‚u‘, tedy změna funkčních hodnot, se blíží k 0. Tedy když se delta x blíží k 0, delta ‚u‘ se také blíží k 0. A to je to, co jsme chtěli. Delta ‚u‘ se blíží k 0, když se delta x blíží k 0. V mnoha ohledech to snad odpovídá zdravému rozumu. Máme spojitou funkci, a když máme stále menší... Můžeme se na to dívat takhle. ...když máme stále menší změny x, tedy když je změna x stále menší a menší a menší, tak protože funkce je spojitá... O nespojité funkci byste tohle říct nemohli. ...protože funkce je spojitá... Přesněji byste to nemohli říct o některých nespojitých funkcích. Když je změna x stále menší a menší, tak i změna ‚u‘ bude stále menší a menší. Intuitivně to dává smysl a tohle vám to snad udělalo ještě jasnější, protože tohle tvrzení použijeme, abychom v dalším videu dokázali pravidlo pro derivaci složené funkce.