Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:25:08

Kreslení grafů funkcí pomocí diferenciálního počtu: logaritmická funkce

Transkript

Řekněme, že máme funkci f(x), která se rovná přirozenému logaritmu x na čtvrtou plus 27. Vše, co potřebujeme, je vzít její první a druhou derivaci a použít všechno, co jsme se naučili, abychom načrtli její graf bez grafické kalkulačky. Pokud nám zbude čas, vytáhnu grafickou kalkulačku a ověříme si, že graf souhlasí. Na začátek je dobré najít první derivaci naší funkce. Udělejme si to tady. Takže derivace funkce f. Dobře, vezměme derivaci vnitřku, derivace tohoto, což je 4 krát x na třetí a vynásobíme to derivací vnějšku podle vnitřku (argumentu logaritmu). Derivace přirozeného logaritmu je 1 lomeno x. Derivace tohoto s ohledem na vnitřní výraz bude 1 lomeno (x na čtvrtou plus 27). Pokud vám to připadá matoucí, můžete se znovu podívat na videa o pravidlu pro derivaci složené funkci. To je tedy první derivace zadané funkce. Můžu to přepsat, tohle se rovná 4 krát x na třetí lomeno (x na čtvrtou plus 27). Nebo bych to mohl napsat jako 4 krát x na třetí krát (x na čtvrtou plus 27), to celé je na minus první. Všechny tři výrazy jsou si rovny. Je to jinak napsané, vynásobil jsem to nebo je to jako záporný exponent nebo jsem to napsal do zlomku s tímhle ve jmenovateli. Všechny jsou si rovny. To je tedy naše první derivace. Udělejme druhou derivaci. Druhá derivace funkce bude asi trošku komplikovanější. Naše druhá derivace je derivace tohoto. Můžeme použít vzorec na derivaci součinu. Derivace toho prvního výrazu krát druhý výraz. Derivace prvního výrazu, 3 krát 4 je 12. 12 krát x na druhou… Snížili jsme tu trojku o jedničku. ...krát druhý výraz, krát x na čtvrtou plus 27, to celé na minus první K tomu následně přičteme první výraz, ne jeho derivaci, takže prostě 4 krát x na třetí krát derivace druhého výrazu. A derivace druhého výrazu je... můžeme vzít derivaci vnitřku, což je 4 krát x na třetí, derivace 27 je 0, takže 4x na třetí krát derivace celého tohoto výrazu podle vnitřní funkce. Takže vezměme tento exponent, napíšeme ho dopředu, takže −1 krát celá tahle závorka, x na čtvrtou plus 27 na… Zmenšíme to o jedničku, takže na minus druhou. Podívejme se, jestli ten výraz můžeme nějak zjednodušit. Tohle se rovná 12 krát x na druhou děleno (x na čtvrtou plus 27). Když to vynásobíme, tady bude minus, takže je to minus, vynásobíte spolu tohle, 4 krát 4 je 16, 16 krát x na třetí krát x na třetí je x na šestou. To celé děleno tímto výrazem na druhou. tedy děleno (x na čtvrtou plus 27), to celé na druhou. To je jen jiný způsob, jak přepsat tento výraz. Z −2 v exponentu máme 2, protože jsme ten výraz převedli do jmenovatele. Je to to samé. Když vidíme podobný příklad, chceme vždycky tuto část položit rovnu 0. Chceme to vyřešit pro x rovno 0. Takže by bylo dobré mít tohle pouze v jednom zlomku místo rozdílu, nebo součtu dvou zlomků. Oba zlomky můžeme převést na společného jmenovatele. Takže můžeme vynásobit čitatel i jmenovatele tímto výrazem, x na čtvrtou plus 27. A co dostaneme? To se rovná, když to vynásobíme tímhle prvním výrazem, krát x na čtvrtou plus 27, dostaneme 12 krát x na druhou krát x na čtvrtou plus 27. A ve jmenovateli máme x na čtvrtou plus 27 na druhou. Pouze jsem vynásobil tento čitatel a tento jmenovatel výrazem x na čtvrtou plus 27. Nic jsem nezměnil. A pak tu máme druhý člen. Minus (16 krát x na šestou) v čitateli, děleno (x na čtvrtou plus 27) na druhou. Dělal jsem to proto, že se společným jmenovatelem můžu prostě sečíst čitatele. To se tedy rovná... Jmenovatel, co bude ve jmenovateli? (x na čtvrtou plus 27) na druhou. To je náš jmenovatel a teď to můžeme vynásobit. To je 12 krát x na druhou krát x na čtvrtou. To je 12 krát x na šestou plus 27 krát 12. Nechce si mi násobit 27 krát 12, takže to prostě napíšu. Takže plus 27 krát 12 krát x na druhou... Prostě jsem vynásobil 12 krát x na druhou krát 27. ...a pak minus (16 krát x na šestou) minus 16 krát x na šestou. A tohle se nám zjednoduší na… Podívejme se, jestli to můžeme ještě více zjednodušit. ...7 krát x na šestou, x na šestou zde. Takže tohle se rovná… Uděláme to růžové. ...27 krát 12 krát x na druhou, to se mi nechce teď počítat. Pak tu máme minus 16 krát x na šestou a plus 12 krát x na šestou. Sečtěte je a dostanete −4. 12 minus 16 je minus 4 krát x na šestou a ve jmenovateli je x na čtvrtou plus 27, to je na druhou. A to je naše druhá derivace. Takže teď už máme obě derivace a tohle byl docela těžký výpočet. Teď můžeme zjistit, kdy se první a druhá derivace rovná nule a budeme mít odhad, budeme vědět stacionární body a budeme mít kandidáty na inflexní body. Uvidíme, jestli se pohneme dál. Nejprve se podívejme, kdy se naše první derivace rovná nule a zjistěme důležité body. Nebo alespoň možná kde je funkce nedefinovaná. Takže tohle má být rovno 0. Jediné místo, kde to splníme, je, když je čitatel roven nule. Tenhle jmenovatel je ve skutečnosti… Pokud předpokládáme, že počítáme s reálnými čísly, tenhle výraz bude vždycky větší nebo roven nule pro jakékoli x, máme zde totiž sudý exponent. A nikdy se to nebude rovnat 0, protože přičítáme 27 k něčemu, co není záporné. Takže to nikdy nebude rovno nule, nikde to nebude nedefinováno. Takže neexistuje žádný nedefinovaný bod, ale můžeme se velmi jednoduše dostat k čitateli rovnému 0. Chceme-li tohle mít nulové, řekneme, že 4 krát x na třetí je rovno nule a víme, že to nastane, když je x rovno 0. Když 4 krát něco na třetí se rovná 0, pak to něco musí být 0. x na třetí musí být 0, a tedy x musí být 0. Takže můžeme napsat, že f s čarou v bodě 0 se rovná 0. Takže stacionární bod je 0, Sklon funkce v 0 je 0. Ještě nevíme, jestli je to maximum, minimum, nebo inflexní bod. Prozkoumáme to o trochu víc. Jaká je souřadnice? x-ová souřadnice je 0 a y-ová souřadnice je přirozený logaritmus... Je-li x rovno 0, tohle bude přirozený logaritmus z 27. Zjistíme, kolik to je, vytáhnu si kalkulačku. Řekl jsem, že nesmíme použít grafickou kalkulačku, obyčejnou můžeme. Takže 27, nebudeme používat celou hodnotu, pro naše účely řekněme, že to je 3,3. Snažíme se jen dostat tvar toho grafu. Takže 3,3. Řekněme 3,29 a to číslo pokračuje. Takže tohle je stacionární bod. Sklon křivky je tu nulový. Sklon je roven 0 v x rovno 0. To je jedna věc, která nás zajímá. Podívejme se, jestli najdeme nějaké body, které mohou být inflexní. Vzpomeneme si, že potenciální inflexní body mají druhou derivaci 0. Když je druhá derivace rovna 0, neříká nám to ještě, že to jsou určitě inflexní body. Pokusím se to vysvětlit. Udělám to novou barvou. Když je v ‚x‘ inflexe, druhá derivace v ‚x‘ bude rovná nule. Protože máme změnu konvexity, změnu ve sklonu, jde z klesající do rostoucí, nebo z rostoucí do klesající. Ale pokud se druhá derivace rovná 0, nemůžeme hned vědět, zda je to inflexní bod. Takže najdeme všechny body, ve kterých je to pravda a pak se podíváme, jestli v nich máme skutečně změnu znaménka v druhé derivaci a pouze pokud se mění znaménko, pak můžeme říci, že je to inflexní bod. Zkusíme to. To, že je druhá derivace 0, to vám samo o sobě neříká, že to je inflexní bod. Musí to mít druhou derivaci rovnou 0 a když jdete pod nebo nad x, tak druhá derivace musí mít různá znaménka na obou stranách. Teprve pak... Můžeme říci, že mění-li druhá derivace funkce znaménko okolo‚x‘, bod ‚x‘ je její inflexní bod. A pokud se mění znaménko okolo ‚x‘, pak to určitě bude 0 v ‚x‘, Musíme ověřit, že pokud je záporná vlevo od x, musí být kladná vpravo od x, pokud je kladná vlevo od x, musí být záporná vpravo od x. Tak to vyzkoušejme. První věc, kterou potřebujeme udělat, je najít všechny body podezřelé z extrému. Vzpomeňte si, že jsou tam, kde se druhá derivace rovná 0. Najdeme ty body a zjistíme, jestli je pravda, že se v nich znaménko mění. Chceme najít, kde se tohle rovná 0. A aby tohle bylo rovno 0, čitatel musí být roven 0. Tenhle jmenovatel nemůže být roven 0, pohybujeme-li se v reálných číslech, to je myslím jasné. Takže zjistěme, kde se náš čitatel v té druhé derivaci rovná 0. Podívejme se na něj. 27 krát 12 krát x na druhou minus 4 krát x na šestou se rovná 0. Pamatujte, počítáme jenom s čitatelem druhé derivace. Každé ‚x‘, které udělá z čitatele 0, udělá z celého zlomku 0. Vytkněme 4 krát x na druhou. Takže 4 krát x na druhou. To máme 27 krát... Když vytkneme 4 ze 12, dostaneme 3 a ‚x‘ na druhou jsme vytkli, vytkli jsme 4, vytkli jsme ‚x‘ na druhou, takže zbývá x na čtvrtou, je rovno 0. Takže má-li nám vyjít nula, buď se 4 krát x na druhou rovná 0, nebo... 27 krát 3, to spočítám z hlavy, to je 81. 20 krát 3 je 60, 7 krát 3 je 21, 60 plus 21 je 81. ...nebo se 81 minus x na čtvrtou rovná 0. Každé ‚x‘, které splní aspoň jedno z toho, udělá z celého výrazu 0. Když tato část je 0, celý výraz bude roven 0. Je-li tento výraz 0, tak se bude celé tohle rovnat 0. Jenom to zdůrazním, tohle je 81. Vyřešme to. Tohle bude 0, když se x rovná 0. Tohle bude rovno 0, když se ‚x‘ rovná, podívejme se na to. Přičtením k oběma stranám x na čtvrtou dostaneme x na čtvrtou se rovná 81. Když odmocníme obě strany rovnice, dostaneme x na druhou se rovná 9, takže x je plus nebo minus 3. x se rovná plus nebo minus tři. Takže tohle jsou naše potenciální inflexní body, x se rovná 0, x se rovná 3 a x se rovná −3. Co teď musíme udělat, je zjistit, jestli druhá derivace mění znaménko okolo těchto bodů, abychom mohli rozhodnout, jestli jsou inflexní. Takže co se stane, když je ‚x‘ těsně pod 0? Podívejme se tedy na tu situaci, prozkoumejme možné případy. Co se stane, když ‚x‘ je o trochu menší než 0? Ne všechny případy, zkusme třeba x je 0,1. Co udělá druhá derivace? Je-li x rovno 0,1 nebo je-li x −0,1, tenhle člen bude kladný a tohle bude 81 minus 0,1 na čtvrtou. To je hodně malé číslo. Takže to bude nějaké malé kladné číslo krát 81 minus malé číslo. Takže to bude kladné. Když je ‚x‘ menší než 0, jenom o trochu menší než 0, druhá derivace je kladná. Co se stane, když je ‚x‘ o trochu větší? Když to píšu takhle, chci být opatrný, myslím tím vážně hned pod 0. Když je ‚x‘ těsně nad 0, co se stane? Řekněme, že ‚x‘ je 0,01, nebo 0,1, plus 0,1. Bude to to samé. V obou případech umocňujeme na druhou a na čtvrtou. Teď se v tom trochu ztrácí to znaménko. Takže je-li ‚x‘ 0,1, tohle číslo bude hodně malé a kladné. Odečteme velmi malé číslo od 81, ale 81 minus malé číslo bude stále kladné. Takže máme kladné číslo krát kladné číslo, druhá derivace bude stále větší než 0. To je zajímavé. Druhá derivace funkce f se rovná 0, když je ‚x‘ rovno 0, ale není to inflexní bod. Protože všimněte si, konvexita se okolo 0 nemění. Naše druhá derivace je kladná, když se blížíme 0 zleva a je kladná i když se blížíme 0 zprava. Z obou směrů u 0 máme konvexní funkci. Takže 0 je lokální extrém a z obou stran máme konvexní funkci. To nám říká, že je to minimum. Protože funkce je konvexní všude okolo 0, 0 není inflexní bod. Podívejme se, jestli jsou plus nebo minus 3 inflexní body. A když se podíváte na tuhle rovnici… Napíšeme si to, chci to jen připomenout. Používal jsem čitatel druhé derivace. Celá druhá derivace je ten celý zlomek tady, ale mohu ignorovat jmenovatel, protože je vždycky kladný. Proto, když chceme zjistit, jestli to je kladné nebo záporné, stačí nám zjistit, jestli je čitatel kladný nebo záporný. Protože tenhle výraz je vždycky kladný. Je to tak. Dobrá, zkusme, jestli máme změnu v konvexitě okolo x rovno plus či minus 3. Pamatujte, čitatel... Jen tady opíšu naší druhou derivaci, abyste ji viděli. Druhá derivace f. Čitatel je tady. 4 krát x na druhou krát (81 minus x na čtvrtou). A jmenovatel máme tady nahoře. x na čtvrtou plus 27, to celé na druhou. Tohle je ta druhá derivace. Podívejme se, jestli se mění znaménka okolo plus nebo minus 3. Vlastně bychom měli dostat tu samou odpověď, protože nezáleží na tom, jestli ta trojka bude kladná, či záporná, původní znaménko se ztratí, protože tu je čtvrtá mocnina a tady je druhá mocnina. A cokoliv na čtvrtou je vždycky kladné a cokoli na druhou bude záporné. (To není pravda, učitel se tady spletl.) Takže to, co zjistíme pro 3, bude platit i pro −3. Ale pojďme to vyzkoušet. Takže když ‚x‘ je jen o trochu méně než plus 3, jaké je znaménko druhé derivace f? Takže bude to 4 krát 9, neboli 4 krát kladné číslo. Bude to tedy spíš něco jako 2,999, ale pořád to bude kladné. Takže tohle bude kladné, když se ‚x‘ blíží 3 a tohle bude... Když ‚x‘ je 3, tohle je 0, takže ‚x‘ je o trochu méně než 3. Je-li ‚x‘ o kousek méně než 3, něco jako 2,9999, tohle číslo bude menší než 81, tohle bude také kladné. A samozřejmě, jmenovatel je vždy kladný. Takže když je ‚x‘ menší než 3, tedy blíží se zleva, máme konvexní funkci. Takže tohle bude kladné. Takže druhá derivace je větší než 0. Máme konvexní funkci. A co se stane, když je ‚x‘ jen o trošku větší než 3? Tenhle první člen bude pořád kladný. Ale je-li ‚x‘ jen o trochu větší než 3, x na čtvrtou bude větší než 81, takže tenhle druhý člen bude v tomto případě záporný. Udělám to jinou barvou. Bude to záporné, když je ‚x‘ větší než 3, protože tohle bude větší než 81. Takže když je tohle záporné a tohle kladné, celý výsledek bude záporný, protože jmenovatel je pořád kladný. Pak druhá derivace f bude menší než 0 a máme konkávní funkci. A ještě poslední případ. Co se stane, když ‚x‘ je o trochu větší než −3? Být o kousek větší než −3, to je něco jako −2,99999. Když −2,99 umocníme na druhou, dostaneme kladné číslo, takže to bude kladné. A umocníme-li −2,99 na čtvrtou, tohle bude o trochu méně než 81. Protože 2,99 na čtvrtou je o trochu méně než 81, tohle zůstane kladné. Takže máme plus krát plus lomeno plus, funkce bude konvexní, protože druhá derivace je větší než 0. A konečně je-li ‚x‘ jenom o trošku, o kousek méně než −3... Nezapomeňte, že když tohle píšu, neznamená to pro všechna x větší než −3, ani pro všechna ‚x‘ menší než −3. Je tam takové okolí, řekl bych, jak se blížíme ke 3 v tomto případě zleva. Co se stane, když zkusíme −3,11? Nebo 3,01, to bude lepší, nebo 3,1? No tenhle člen bude kladný. Ale vezmeme-li −3,1 na čtvrtou, to bude větší než 81, správně? Znaménko bude plus, bude to větší než 81, proto to celé bude záporné. V tomto případě máme plus krát minus lomeno plus, takže naše druhá derivace bude záporná. Jedná se tedy o konkávní tvar. Myslím, že jsme připraveni ke kreslení. Jsou plus a minus 3 inflexní body? Jasně! Když se blížíme k ‚x‘ rovno 3 zleva, máme konvexní funkci, a pak přijdeme na 3, kde je druhá derivace 0. Druhá derivace nula, tady nahoře to máme. Druhá derivace je nula. A pak, jak jdeme napravo od 3, funkce se stane konkávní. Takže tu máme změnu znaménka v druhé derivaci. Takže ‚x‘ se rovná 3. Takže 3 je rozhodně inflexní bod a to samé platí pro −3. Měníme znaménko, když překračujeme 3, takže to rozhodně jsou inflexní body. Abychom získali přesné souřadnice, pojďme vypočítat, kolik je f(3) a f (−3). A pak můžeme načrtnout graf. Takže především víme, že v bodě 0 měla funkce hodnotu 3,29, to bylo minimum. Protože 0 je extrém, sklon funkce je tam nulový, a protože je funkce konvexní všude okolo 0, rozhodně to není inflexní bod. A potom víme, že plus 3 a minus 3 jsou inflexní body a abychom zjistili jejich y-ové souřadnice, můžeme je prostě vypočítat. Ve skutečnosti budou mít stejné y-ové souřadnice, protože když umocníte −3 nebo 3 na čtvrtou, dostanete to samé. Pojďme to spočítat. Vezměme 3 na čtvrtou, to je 81. 81 plus 27 se rovná 108, a z toho chceme přirozený logaritmus. Řekněme, že je to 4,7, jen zhruba pro představu. Takže 4,7. To platí pro 3 i −3, protože jsme umocňovali na čtvrtou. Oba to jsou inflexní body. A teď už to zvládneme načrtnout! Pojďme na to. Nakreslíme si osy. Tohle je osa ‚y‘, tohle je moje osa ‚x‘, tohle je ‚y‘. Osu ‚y‘ můžete nazvat osa ‚f(x), jestli chcete. Tohle je ‚x‘. A teď bod [0; 3,29]. Řekněme, že tohle je 1, 2, 3, 4, 5. Chci 3,29. 0, 1, 2, 3, trošku nad 3, přesně tady. To je minimum. A okolo máme konvexní… Sklon v 0 je nulový, to jsme už zjistili, jelikož první derivace byla rovna 0. Takže to je extrém a okolo je to konvexní. Říká nám to, že jsme v minimu, přesně tady. A teď kladná 3. Tak 1, 2, 3. Na kladné 3 je to 4,7. 4,7, to bude nějak takhle. Máme inflexní bod. Před ním je funkce konvexní a za ním konkávní. Vypadá to nějak takhle. Takže máme konvexní funkci až do toho bodu. Té žluté věci, kterou jsem načrtl předtím, si nevšímejte. Smažu ji. Nakreslím to jako 1, 2, 3. 4,7 je asi tolik a [−3; 4,7], jedna, dva, tři... 4,7 vypadá nějak takhle. Takže víme, že v 0 máme nulový sklon a okolÍ je to konvexní, což vypadá asi takhle. Máme konvexní funkci, dokud ‚x‘ není rovno 3, v bodě ‚x‘ se rovná 3 přepneme na konkávní funkci a nakreslíme to... Zkusím to udělat co nejlépe. ...nakreslíme to takhle. A teď druhá strana je konvexní okolo nuly, dokud je ‚x‘ větší než −3 a v bodě −3 zase přepneme na konkávní. Asi bych to měl udělat touhle barvou. Tohle je konkávní, přesně tohle. Tohle, přímo tady. A konkávní, tady… Promiňte, chtěl jsem to nakreslit červeně… Konkávní je to i tady, přímo tady. A tahle konvexní část okolo 0 je tady. Můžeme si to označit, tahle konvexní část, kterou máme tady, jsme nakreslili tady a tahle konvexní část je tady. Kolem nuly máme vždycky konvexní funkci. Takhle by ten graf podle mě mohl vypadat a možná zkuste zjistit, co se stane, když se ‚x‘ blíží plus nebo minus nekonečnu... To teď nebudeme rozebírat. Ale ověříme si, jestli to máme správně pomocí grafické kalkulačky. Nechte mě vytáhnout mou TI-85, mou věrnou TI-85 a nakreslíme si to. Dobrá, zmáčkneme graf. y se rovná přirozenému logaritmu x na čtvrtou plus 27. Dobrá, ještě jednou zmáčknout tlačítko "graf". Držme si palce. To vypadá vážně dobře! Vypadá to skoro přesně tak, jak jsme načrtli. Takže myslím, že jsme to udělali dobře. Jsem s tím naprosto spokojený. Snad už vidíte užitečnost inflexních bodů, druhé a první derivace při črtání grafů.