Kreslení grafů funkcí pomocí diferenciálního počtu: polynomiální funkce

Zkusme nyní využít všeho, co víme o derivování, konvexitě, lokálních maximech a minimech či inflexních bodech k tomu, abychom nakreslili graf funkce bez použití grafické kalkulačky. Řekněme, že naše funkce f(x) se rovná: 3 krát (x na čtvrtou) minus 4 krát (x na třetí) plus 2. Graf funkce můžeme samozřejmě vždy nakreslit tak, že spočítáme několik bodů, ale my se budeme soustředit na jisté zajímavé body a na to, jaký má graf přibližně tvar. Zejména nás budou zajímat ty vlastnosti funkce, které lze odhalit pomocí nástrojů diferenciálního počtu, tedy pomocí derivování. Jako první určíme stacionární body. Zajímají nás... Napíšu to sem. ...stacionární body. Připomeňme si, co to stacionární bod je. Je to bod, ve kterém je derivace funkce f(x) rovna nule... Ve stacionárních bodech je tedy f(x) s čárkou buď rovno nule, nebo to není definováno. Vypadá to, že tato funkce je diferencovatelná všude, takže jedinými stacionárními body budou nejspíš... Vlastně vám mohu říct, že to určitě budou pouze body, ve kterých se f(x) s čárkou rovná nule. Derivace, tedy f(x) s čárkou, totiž bude definovaná na celém definičním oboru. Spočítejme si tedy nyní tuto derivaci. Derivace tohohle, tedy f(x) s čárkou... Bude to poměrně přímočarý výpočet. Derivace z výrazu 3 krát (x na čtvrtou)... 4 krát 3 je 12, takže to bude 12 krát x na... 4 zmenšíme o 1, takže to bude x na třetí. Jen vynásobíme exponentem, který následně zmenšíme o 1. Od toho odečteme... 3 krát 4 je 12, tohle krát x na... 3 minus 1 je 2. Derivace konstanty, tedy sklon konstanty, jak si asi umíte představit, je nula. Konstanta se totiž už podle definice nemění. Takhle tedy vypadá f(x) s čárkou. Nyní nalezněme stacionární body. Ve stacionárních bodech je tento výraz buď rovný nule, nebo v nich není definovaný. Mohu si vzít libovolné reálné číslo a derivace pro něj bude definovaná. Mohu sem dosadit libovolné číslo a nic se nezkazí. Vždy mi vyjde nějaká funkční hodnota. Derivace je definovaná všude, takže se podívejme, kdy je rovna nule. f(x) s čárkou se rovná 0... Spočítejme tedy, pro která x... Vlastně to ani nemusím psát znova. Spočítejme tedy, kdy se tohle rovná 0. Budu to psát tou samou barvou. 12 krát (x na třetí) minus 12 krát (x na druhou) se má rovnat 0. Zkusme to tedy nějak vyřešit. Můžeme vytknout 12 krát x. Když vytkneme 12 krát x, tak nám v tomto členu zbyde pouze x... Vytkněme raději 12 krát (x na druhou). Když vytkneme 12 krát (x na druhou)... Když oba členy vydělíme 12 krát (x na druhou), tak se z prvního členu stane x a pak minus... 12 krát (x na druhou) děleno výrazem 12 krát (x na druhou) se rovná 1. ...se rovná 0. Jen jsem výraz nahoře takto přepsal. Funguje to i naopak. Kdybych výrazem 12 krát (x na druhou) roznásobil tuhle závorku, tak by mi vyšla derivace nahoře. Přepsal jsem to takhle proto, že když se má tohle rovnat 0... Když chceme znát všechna x, pro která je tento výraz rovný 0, tak to teď máme přepsané ve tvaru jeden výraz krát druhý výraz. Aby se tohle teď rovnalo 0, tak musí být jeden nebo oba tyto výrazy rovny 0. Když je tedy 12 krát (x na druhou) rovno 0, což znamená, že x se rovná 0, tak tohle bude rovno 0. Náš výraz bude roven 0 také tehdy, když se bude x minus 1 rovnat 0, přičemž x minus 1 se rovná 0 tehdy, když je x rovno 1. Našli jsme tedy dva stacionární body. Našimi dvěma stacionárními body jsou body x rovná se 0 a x rovná se 1. Připomínám, že jde pouze o body, ve kterých se první derivace rovná 0, tedy ve kterých je sklon funkce nulový. Mohou to být body lokálníma maxima, minima nebo třeba inflexní body, to nevíme. Může jít o... Kdyby tohle byla konstantní funkce, tak by mohly být čímkoliv. Zatím o těchto bodech tedy nemůžeme mnoho říci. S jistotou můžeme říci jen to, že jde o body zasluhující naši pozornost. Pokračujme ale dál a podívejme se na konvexitu, díky níž budeme mít o grafu lepší představu. Spočítejme tedy druhou derivaci. Druhá... Budu to psát oranžovou barvou. Druhá derivace naší funkce f se rovná... 3 krát 12 je 36, tohle krát x na druhou, minus 24 krát x. Zkusme teď... Můžeme udělat několik věcí. Když už teď známe druhou derivaci, můžeme zjistit, zda je funkce konvexní nebo konkávní v těchto dvou bodech. Spočítejme tedy, čemu se druhá derivace rovná v těchto stacionárních bodech. Pak to začne hezky zapadat. Připomeňme si, že graf konvexní funkce má tvar písmene U, zatímco graf konkávní funkce má tvar převráceného písmene U. f se dvěma čárkami, tedy druhá derivace, v bodě x rovná se 0 se rovná čemu? Je to 36 krát (0 na druhou) minus 24 krát 0, což je jednoduše 0. f se dvěma čárkami je tedy... Druhá derivace je rovna nule, takže funkce zde není ani konvexní, ani konkávní. Funkce zde může měnit konvexitu, ale nemusí. Pokud ji zde mění, tak jde o inflexní bod. Zatím to ale nevíme. Teď se podívejme, kolik je f se dvěma čárkami, tedy druhá derivace, v bodě 1. Je to 36 krát 1... Zapíšu to. Rovná se to 36 krát (1 na druhou), což je 36, minus 24 krát 1. To je 36 minus 24, a to se rovná 12. Vyšlo nám tedy kladné číslo. Druhá derivace nám vyšla kladná, konkrétně 12. To znamená, že první derivace, tedy sklon funkce, roste. Rychlost změny sklonu je kladná. V tomto bodě je tedy funkce konvexní, což nám říká, že jde nejspíš o bod lokálního minima. Sklon je zde nulový a funkce je v tomto bodě konvexní, což je zajímavé. Zkusme nyní najít ještě další kandidáty na inflexní bod. Už víme, že... Už víme, že toto je kandidát na inflexní bod. Zakroužkuji to červeně. Toto je kandidát na inflexní bod. Ještě nevíme, zda funkce v tomto bodě skutečně mění konvexitu. Budeme muset ověřit, zda tomu tak skutečně je. Zkusme ale nejprve najít ještě další inflexní body. Najdeme je tak... Měl jsem říct kandidáty na inflexní bod. Podívejme se, zda je tohle rovno nule ještě někde jinde. Chceme tedy, aby se 36 krát (x na druhou) minus 24 krát x rovnalo nule. Nyní spočítejme x. Nejprve vytkněme... Můžeme vytknout 12 krát x. Vyjde nám 12 krát x krát (3 krát x... (3 krát x) krát (12 krát x) se rovná 36 krát (x na druhou). ...minus 2) se rovná 0. Toto jsou zcela ekvivalentní výrazy. Pokud tohle roznásobíme, dostaneme přesně výraz nahoře. Tohle bude rovno 0 právě tehdy, když se buď 12 krát x rovná 0... Rovnice 12 krát x se rovná 0 nám dá bod x rovná se 0, takže když je x rovno 0, celý tento výraz je roven 0, a to znamená, že druhá derivace je rovna 0, což už koneckonců víme, protože tenhle bod jsme už zkoušeli. ...nebo když se tento výraz rovná 0, protože i v tomto případě by druhá derivace byla rovna 0. Zapišme to. (3 krát x) minus 2 se má rovnat 0. Z toho dostaneme, že 3 krát x se rovná 2. Jen jsem k oběma stranám přičetl 2. x se rovná 2 lomeno 3. Toto je tedy další důležitý bod, na který jsme doteď ještě nenarazili. Je to další kandidát na inflexní bod. Říkám, že to je kandidát, protože druhá derivace je v tomto bodě určitě rovna 0. Když za x dosadíme 2 lomeno 3, vyjde nám 0. Teď se musíme podívat, zda je druhá derivace před a po průchodu bodem 2 lomeno 3 kladná nebo záporná. O tom už máme nějakou představu. Můžeme dosadit několik čísel. Víme, že... Pokud vezmeme nějaké x větší než 2 lomeno 3... Sjedu trochu dolů, ať mám víc místa. Podívejme se tedy, co se stane, když je x větší než 2 lomeno 3. Když je x větší než 2 lomeno 3, jak vypadá f(x) s čárkou? Pardon, chceme vědět, jak vypadá f se dvěma čárkami, tedy druhá derivace. Dosaďme nějaké číslo, které je poměrně blízko, abychom měli dobrou představu. Ještě to přepíšu. f(x) se dvěma čárkami se rovná... Napíšu to takhle. Mohl bych to sice napsat takto, ale s tímhle se snáze pracuje. ...se rovná 12 krát x krát (3 krát x minus 2). Pokud je x větší než 2 lomeno 3, tak tento člen je kladný. Určitě platí, že libovolné kladné číslo krát 12 je kladné číslo. Jak to bude s tímto členem? 3 krát (2 lomeno 3) minus 2 je přesně 0. Je to totiž 2 minus 2. Cokoliv většího však... 3 krát... Kdybych tady měl 2,1 lomeno 3, tak to vyjde jako kladné číslo. Pro libovolnou hodnotu x větší než 2 lomeno 3 bude tento výraz kladný. Tento výraz tak bude také kladný, což znamená, že když je x větší než 2 lomeno 3... Říká nám to, že druhá derivace je kladná, tedy větší než 0. Pro všechna x z definičního oboru, která jsou větší než 2 lomeno 3, je funkce konvexní. Viděli jsme to i zde. Zjistili jsme tu, že v bodě x rovno 1 je funkce konvexní. Co když je ale x menší než 2 lomeno 3? Když je x menší než 2 lomeno 3... Abych to mohl napsat, tak trochu sjedu dolů. Když je x menší než 2 lomeno 3, tak se bude dít co? Opět sem napíšu předpis pro f se dvěma čárkami, tedy pro druhou derivaci. Je to 12 krát x krát (3 krát x minus 2). Pokud je x mnohem menší, tak to bude záporné číslo a tohle bude záporné... Podívejme se ale na ta x, jež jsou jen o trochu menší než 2 lomeno 3, tedy která jsou ještě kladná. Například kdyby x bylo 1,9 lomeno 3, což je tedy kombinace desetinného čísla a zlomku, nebo jen 1 lomeno 3, tak tento výraz bude stále kladný. Pro čísla o trochu menší než 2 lomeno 3 bude tento výraz kladný, protože 12 násobíme kladným číslem. Co se ale bude dít s tímto výrazem? V bodě 2 lomeno 3 je to přesně 0, ale jakmile máme něco menšího než 2 lomeno 3, tak například 3 krát (1 lomeno 3) je 1 a 1 minus 2 je záporné číslo. Když je tedy x menší než 2 lomeno 3, tak je tento výraz záporný. Pokud je x menší než 2 lomeno 3, tak je druhá derivace... Když máme čísla jen o trochu menší než 2 lomeno 3, tak je druhá derivace v bodě x menší než 0. To, že došlo k této změně... Pro x menší než 2 lomeno 3 je druhá derivace záporná, zatímco pro x větší než 2 lomeno 3 je druhá derivace kladná, což nám říká, že toto je skutečně infexní bod. Bod x rovná se 2 lomeno 3 je tedy určitě inflexním bodem naší původní funkce, kterou máme zde. Zbývá nám ještě jeden kandidát na inflexní bod a pak už budeme moci začít kreslit graf. Jakmile známe inflexní body a všechna lokální maxima a minima, tak už můžeme začít kreslit graf funkce. Ověřme tedy, zda je bod x rovno 0 inflexním bodem. Víme, že druhá derivace je v bodě 0 rovna nule, ale jaké hodnoty má druhá derivace před a po průchodu tímto bodem? Pojďme se na to podívat. Když je x... Oddělím to tady čárou, ať se nám to tu neplete. Když je x větší než 0, tak se druhá derivace chová jak? Připomínám, že druhá derivace se rovná 12 krát x krát (3 krát x minus 2). Raději to píšu takhle, protože jde v podstatě o rozklad na dva lineární výrazy, u kterých lze dobře vidět, zda jsou kladné nebo záporné. Když je x větší než 0, tak je tento výraz určitě kladný, zatímco tento výraz... Když máme x jen o trochu větší než 0... Musíte si dát pozor, abyste byli dostatečně blízko tomuto číslu. Řekněme, že x je 0,1, což je jen o trochu více než 0. Nebude to tedy platit pro všechna x větší než 0, protože chceme zjistit pouze to, co se děje když je x jen o trochu větší než 0. Pro x rovno 0,1 tu bude 0,3 minus 2, což je záporné číslo. Pro x o trochu větší než 0 je tedy tento výraz záporný. Pro x větší než 0 je tedy druhá derivace menší než 0, což znamená, že funkce je konkávní. To dává smysl, protože v nějakém bodě musí dojít ke změně konvexity. Vzpomeňme si, že před bodem 2 lomeno 3 je funkce konkávní, takže výsledky jsou konzistentní. Mezi 0 a 2 lomeno 3 je funkce konkávní a v bodě 2 lomeno 3 se mění na konvexní. Nyní se podívejme, jak to vypadá, když je x jen o malinko menší než 0. Opět si sem napišme, že f s čárkou... Druhá derivace v bodě x se rovná 12 krát x krát (3 krát x minus 2). Pokud je x jen o... Když je x rovno −0,1 nebo −0,0001... Ať už je x co chce, tenhle výraz bude záporný. 12 krát x... Když máme nějaké záporné číslo krát 12, tak to vyjde záporné. A co tento výraz? 3 krát −0,1 se rovná −0,3 a −0,3 minus 2 je −2,3, takže to vyjde záporné. Tahle hodnota bude záporná a když od ní něco odečteme, tak to zůstane záporné. Tento výraz je tedy také záporný. Součin dvou záporných čísel je však kladné číslo, takže pro x jen o trochu menší než 0 je druhá derivace kladná. Druhá derivace je kladná. Tohle všechno bylo možná trochu matoucí, ale teď se to konečně zužitkuje. Víme o všech zajímavých věcech, které funkce dělá. Víme, že v bodě x rovno 1... Máme to napsané nahoře. Zjistili jsme, že v bodě x rovno 1 je sklon roven nule, tedy f se dvěma čárkami je... Pardon, napíšu to jinak. Měl jsem říct... Víme, že sklon se rovná nula, což jsme zjistili tak, že první derivace je zde rovna nule. Jde tedy o stacionární bod. Dále víme, že funkce je v tomto bodě konvexní, což nám říká, že jde o bod lokálního minima. Čemu se rovná f v bodě...? Měli bychom najít zbylé souřadnice, ať můžeme nakreslit graf, což je cíl celého videa. f v bodě 1 se rovná čemu? f v bodě 1... Musíme se vrátit k naší původní funkce. ...se rovná 3 krát 1... 1 na čtvrtou je 1. 3 krát 1 minus 4 plus 2. Je to tedy (3 krát 1) minus (4 krát 1), což je −1, a ještě plus 2, což nám dá +1. f(1) se tudíž rovná 1. Dále jsme zjistili, že v bodě x rovno 0 je sklon funkce také roven 0 a že jde o inflexní bod. Funkce v tomto bodě mění svou konvexitu, tudíž jde o inflexní bod. Když je x menší než 0, tak je funkce konvexní. Pro x menší než 0 je tedy funkce konvexní, protože její druhá derivace je kladná. Pro x větší než 0 je funkce konkávní. Ne pro všechna x v definičním oboru, která jsou větší než 0, ale pro x o trochu větší než 0. Konkávní. Čemu se rovná f v bodě 0, ať to pak můžeme nakreslit do grafu? f v bodě 0 spočítáme snadno. (3 krát 0) minus (4 krát 0) plus 2 se rovná 2. f v bodě 0 se rovná 2. Posledním zajímavým bodem byl bod x rovná se 2 lomeno 3. x rovná se... Napíšu to jinou barvou. Vyšel nám bod x rovná se 2 lomeno 3, o kterém jsme zjistili, že to je inflexní bod. Sklon nemusí být nutně... Sklon v tomto bodě určitě není nulový, protože nejde o stacionární bod. Víme také, že funkce je konkávní... Víme, že když je x o trochu menší než 2 lomeno 3, tak je funkce konkávní, zatímco když je x větší než 2 lomeno 3, jak jsme viděli tady nahoře... Když je x větší než 2 lomeno 3, což máme napsáno zde, tak je funkce konvexní, protože její druhá derivace je kladná. Funkce je konvexní. Můžeme si spočítat, kolik je f v bodě (2 lomeno 3), ale to je trochu složitější výpočet, takže myslím, že graf nakreslíme i bez toho. Myslím, že dokážeme udělat dobrý graf už s tím, co víme teď. Tohle jsme tedy zjistili a nyní udělejme náčrtek grafu. Pojďme na to. Nakreslím si sem osy. Jako první v grafu vyznačíme bod [0; 2]. Řekněme, že bod [0; 2]... Zde se x rovná 0 a pak se musíme posunout o 2 nahoru. takže tady je bod [0; 2]. Vyznačím ho tou barvou, kterou jsem pro něj používal, což je tato barva. Je to tento bod. Dále máme bod x... Dále máme bod [1; f(1)], tedy bod [1; 1]. Mluvím o tomto bodě. Tady se x rovná 1 a zde tedy bude bod [1; 1]. Tohle byl bod [0; 2]. Dále máme bod x rovná se 2 lomeno 3, což je inflexní bod. Když je x rovno 2 lomeno 3, tak nevíme, kolik přesně je f(2 lomeno 3), ale mohlo by to být někde tady. Řekněme, že f(2 lomeno 3) je tady. Toto je tedy bod [2 lomeno 3,... Nevíme, kolik je f(2 lomeno 3), ale vypadá to jako 1 celá něco. ...f(2 lomeno 3)]. Můžete si to spočítat, jestli chcete, stačí dosadit do předpisu funkce. Nyní už můžeme nakreslit graf naší funkce. Víme, že v bodě x rovná se 0 je sklon funkce nulový. Sklon je zde nulový, takže graf je vodorovný. Dále víme, že funkce je konvexní, takže graf vypadá nějak takhle. Na tomto intervalu to vypadá takto. Funkce je konvexní. Víme totiž, že pro x větší než 2 lomeno 3 je funkce konvexní. Vezmu si na to tu samou barvu. Víme, že pro x větší než 2 lomeno 3 je funkce konvexní, proto má graf tvar písmene U. Dále víme, že když je x menší než 2 lomeno 3 a větší než 0, tak je funkce konkávní. Na tomto intervalu tak graf vypadá asi takto. Funkce je konkávní. Nakreslím to lépe. Na tomto intervalu sklon funkce klesá. Lze to dobře vidět, když si nakreslíme tečny. Tady je tečna skoro vodorovná a pak je její směrnice čím dál víc záporná, až se dostaneme do inflexního bodu, po kterém sklon opět roste, protože funkce je zde konvexní. Posledním intervalem jsou čísla menší než 0. Víme, že když je x menší než 0, tak je funkce konvexní, takže její graf vypadá nějak takhle. Víme také, že bod x rovná se 0 je stacionárním bodem, ve kterém je sklon nulový, takže graf je zde vodorovný. Jde tak o inflexní bod, ve kterém je navíc sklon roven 0. Tohle je tedy náš graf a my jsme hotoví. Po všemožných výpočtech jsme použili znalosti diferenciálního počtu včetně inflexních bodů nebo konvexity a jejích změn a podařilo se nám udělat náčrtek grafu. Takhle nějak by měl graf vypadat, když si ho necháte vykreslit kalkulačkou.