Vyšetřování průběhu funkce pomocí její derivace

Máme funkci f(x) rovná se x na třetí minus (12 krát x) plus 2. V tomto videu bych rád zjistil, ve kterých bodech funkce nabývá minima nebo maxima. Abychom to zjistili, musíme nejprve najít stacionární body funkce f a pak zjistit, ve kterém ze stacionárních bodů funkce nabývá minima nebo maxima. Abychom našli stacionární body, potřebujeme spočítat derivaci naší funkce, protože stacionární body jsou ty body, ve kterých je derivace buď rovna nule, nebo není definovaná. Ke zderivování tohoto výrazu několikrát použijeme pravidlo pro derivaci mocniny a zde pravidlo pro derivaci konstanty. Derivace (x na třetí) je 3 krát (x na druhou). Derivace (−12 krát x) je −12. A derivace konstanty... Konstanta se s x nemění, proto je její derivace rovno nula. Stacionární body dostaneme, když bude tento výraz pro nějaké x buď nedefinovaný, nebo roven nule. Tento výraz je definovaný pro všechna x. Pro nalezení stacionárních bodů tak stačí položit tento výraz rovný nule. Položme ho tedy rovný nule. Kdy se 3 krát (x na druhou) minus 12 rovná 0? K oběma stranám přičteme 12 a dostaneme, že 3 krát (x na druhou) se rovná 12. Nyní obě strany vydělíme 3 a vyjde nám, že x na druhou se rovná 4. Toto nastane, když se x rovná 2 a když se x rovná −2. Ještě to ujasním. f(2) se rovná... Vlastně ne, bude to f s čárkou. ...se rovná (3 krát 4) minus 12, což se rovná 0, a ‚f‘ s čárkou v bodě −2 je ze stejného důvodu také rovno 0. Můžeme tedy říct... Vezmu si na to novou barvu. ...že stacionárními body funkce f jsou body x rovno 2 a x rovno −2. To je zatím hezké, ale pořád nevíme, zda má funkce v těchto bodech minimum, maximum, nebo ani jedno. Abychom to určili, musíme zjistit, zda derivace v těchto bodech mění znaménko. Zkusme si za tím účelem nakreslit graf derivace. Nakreslím si zde osy. Nakreslím je sem dolů, protože tyto informace možná později využijeme k tomu, abychom nakreslili funkci f(x). Toto je moje osa x a tohle bude moje osa y. Jedním stacionárním bodem je bod x rovno 2, takže si tu vyznačím 1 a 2. Druhým stacionárním bodem je bod x rovno −2. 1, 2... Bod x rovná se −2. Jak bude tato derivace vypadat, pokud chceme nakreslit její graf? Když je x rovno 0, derivace se rovná −12. Vyznačím si tu tedy bod y rovná se −12. Kreslíme tu graf funkce y rovná se f s čárkou, který vypadá nějak takto. V těchto bodech je derivace nulová, takže derivace musí zespoda protnout osu ‚x‛ tady a také tady. Jak se derivace chová v každém z těchto stacionárních bodů? V tomto bodě se derivace mění z kladné na zápornou. Derivace se změnila z kladné na zápornou, což byla naše podmínka pro to, aby byl stacionární bod bodem lokálního maxima. V tomto bodě se derivace mění ze záporné na kladnou, což je naše podmínka pro to, aby byl stacionární bod bodem lokálního minima. Rád bych se ujistil, že to intuitivně chápeme. Pokud nějaká funkce roste až do určitého bodu a v tom bodě... Vidíme, že máme derivaci rovnou 0, ale také může být nedefinovaná. ...a v tom bodě je derivace rovna 0, načež pak funkce začíná klesat, tak jde o bod lokálního maxima. Podobně platí, že pokud máme funkci, která klesá až do určitého bodu, neboli derivace je záporná... Nezapomeňme, že toto je graf derivace. Raději to tam napíšu. Jde o graf funkce y rovná se nikoliv f(x), nýbrž f(x) s čárkou. Pokud jdeme do nějakého bodu a funkce má záporný sklon... Vidíme, že funkce zde má záporný sklon, takže její graf bude vypadat nějak takto. ...a pak je derivace v tomto bodě buď nedefinovaná, nebo je směrnice rovna 0. V tomto případě má směrnice hodnotu 0. A pak, za tímto bodem... Udělám to pod tím. ...pod ním má směrnice zápornou hodnotu. A zde máme hodnotu směrnice 0. Mohl bych to nakreslit lépe. Pokud si to představíme, tak máme zápornou směrnici, v tomto bodě máme směrnici 0 a pak máme kladnou směrnici. Funkce začíná růst. To je důvod, proč zde máme bod lokálního minima. Zde jsem se pokusil naznačit funkci tak, jak by vypadala zadaná derivacemi, v tomto případě, když přechází z kladné do záporné derivace přes stacionární bod nebo ze záporné do kladné derivace. To je důvod, proč je to podmínka bodu v lokálním maximu a toto je podmínka bodu v lokálním minimu. Můžeme použít tento poznatek, o kterém jsem mluvili, a načrtnout graf f(x)? Zkusme to. Bude to jen náčrt, ne příliš přesný. Ale dá nám náhled na to, jak vypadá tvar f(x). Budu se snažit to nakreslit co nejlépe. Není nutné to celé kreslit v měřítku. Toto je moje osa ‚x‛ a toto je moje osa ‚y‛. Víme, že máme stacionární bod v ‚x‛ je rovno 2 a ‚x‛ je rovno −2. Z naší analýzy už víme, že ‚y‛ protíná graf f(x), když je ‚x‛ rovno 0, tudíž f(x) je rovno 2. Osu proto protneme zde... Nechci to kreslit celé ve stejném měřítku, jako osa ‚x‛. Řekněme, že toto je 2. Zde se budeme křížit, tady bude průsečík s osou ‚y‛. Už jsme řekli, že máme bod lokálního maxima v ‚x‛ je rovno −2. Jaké bude f(−2)? f(−2) je rovno −8. A pak budeme mít 12 krát −2, což je −24. Ale mi to odečítáme. Je to tedy plus 24. A nakonec máme plus 2. −8 plus 24 plus 2, to bude záporné... −8 plus 24 je 16 plus 2 je 18. f(−2) je rovno 18. Nenakreslím to celé v měřítku, ale řekněme, že zde je 18. Toto je funkce. Toto je bod [−2; 18]. A víme, že je to bod lokálního maxima. Derivace jdoucí do tohoto bodu je záporná, tedy omlouvám se, je kladná. Tudíž roste a směrnice je kladná. A poté, co překročíme tento bod, směrnice se stane zápornou. Derivace protne osu ‚x‛ a směrnice se stane zápornou. Použiji stejnou barvu. Vypadá to takto. A pak graf protne osu ‚y‛ takto. A pak, jak se budeme blížit 2, tak se přiblížíme dalšímu stacionárnímu bodu. A teď, čemu je rovno f(2)? f(2) bude rovno 8 minus 24 plus 2. To je 10 minus 24, což je rovno −14. Řekněme, že bod −14 je zde. Vlastně to můžu nakreslit. Řekněme, že je to −14. Toto f(2) zde. Už jsme viděli, že směrnice je záporná, jakmile se tomu přiblížíte. Naše funkce je klesající, když se k tomu přibližujeme. A zde je směrnice 0. Toto jsme zjistili už dříve, takto jsme totiž identifikovali stacionární body. A pak směrnice roste, derivace je kladná. Směrnice roste. Takto by vypadal náš náčrt f(x) s těmito stacionárními body. Identifikovali jsme 2, jako bod lokálního minima. Toto byl bod lokálního minima. Funkce dosahuje svého lokálního minima, když je ‚x‛ rovno 2. A funkce dosahuje svého lokálního maxima, když je ‚x‛ rovno −2.