Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 8: Druhá derivace a lokální extrémyDruhá derivace a lokální extrémy
Ukážeme si, jak lze lokální minima a maxima funkce obecně určit pomocí druhé derivace a uvedeme si i jeden konkrétní příklad.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu vás chci seznámit
s testem pomocí druhé derivace. Ještě než se dostanu
k jádru věci, chtěl bych se intuitivně podívat na to,
co nám test pomocí druhé derivace říká. Nejprve zde
nakreslím osy. Řekněme, že toto je osa y
a že tohle bude osa x. Řekněme dále, že máme funkci, která má
lokální maximum v bodě x rovno ‚c‘. Řekněme tedy, že máme situaci,
která vypadá přibližně takto. Bod x rovno ‚c‘ je... Tohle je bod
[c; f(c)], takže... Pokusím se nakreslit
rovnější přerušovanou čáru. Takže tady je
bod x rovno ‚c‘. Už od pohledu vidíme, že
zde máme lokální maximum. Nyní můžeme použít diferenciální počet
a zjistit, co se v tomto bodě děje. Jednu věc víme. Víme, že směrnice tečny, alespoň tak, jak jsem to
tu nakreslil, se rovná 0. Můžeme tedy říct, že
f s čárkou v bodě ‚c‘ je rovno 0. Dále vidíme, že funkce je konkávní
na okolí bodu x rovno ‚c‘. Všimněme si,
že sklon neustále klesá. Protože sklon
neustále... Nejprve je kladný, pak
čím dál tím méně kladný, následně se rovná nule, načež začne být
záporný a poté je čím dál tím víc záporný. Víme tedy, že f se dvěma čárkami
v bodě ‚c‘ je menší než 0. Neudělal jsem tu žádný
hluboký matematický důkaz, ale když máme stacionární bod,
ve kterém je f s čárkou... Když máme stacionární bod x rovno ‚c‘,
pro který je f(c) s čárkou rovno 0, a když také víme, že druhá derivace
v tomto bodě je menší než 0, tak intuitivně dává smysl, že
jsme v bodě lokálního maxima. Mohli bychom to
udělat i opačně. Kdyby funkce v bodě x rovno ‚c‘
měla lokální minimum, tak její první derivace by
stále měla být rovna 0, protože směrnice tečny
je v tomto bodě stále nulová. f s čárkou v bodě ‚c‘
je tedy rovno 0. V tomto druhém případě
je ale funkce konvexní. Sklon neustále roste. Máme takovou
otevřenou mísu. V tomto bodě má tedy
funkce lokální minimum, nebo také můžeme říct, že druhá
derivace je zde větší než 0. Od pohledu vidíme,
že je zde lokální minimum, a také vidíme něco o derivacích,
alespoň jak jsem to nakreslil. První derivace je rovna 0
a funkce je konvexní, takže druhá derivace
je větší než 0. Tato intuice, kterou jsme
si tímto snad vytvořili, je to, co nám říká test
pomocí druhé derivace. Říká nám to, že když
máme nějakou funkci f… Řekněme, že je to dvakrát
diferencovatelná funkce, což znamená, že na
nějakém intervalu… Znamená to, že její první
i druhá derivace jsou definované. Řekněme, že máme nějaký bod x rovno ‚c‘,
ve kterém je první derivace rovna 0, což znamená, že směrnice
tečny je v něm nulová a že derivace je definovaná
na nějakém okolí bodu x rovno ‚c‘. Pro většinu funkcí,
s nimiž počítáme, platí, že když jsou diferencovatelné v ‚c‘,
tak jsou diferencovatelné na okolí ‚c‘. Dále předpokládáme,
že druhá derivace existuje, tedy že f je dvakrát
diferencovatelná. Potom může jít o bod lokálního maxima,
nebo o bod lokálního minima, nebo možná nevíme,
s čím se setkáváme, možná to není ani bod lokálního
minima, ani bod lokálního maxima. Avšak díky
druhé derivaci... Když spočítáme druhou derivaci
a zjistíme, že je menší než 0, tak jde o bod
lokálního maxima. To je ta situace, se
kterou jsme tady začali. Pokud je druhá
derivace větší než 0, tak jde o tuhle
druhou situaci, kdy je funkce konvexní. Tam, kde je sklon nulový,
je dno naší mísy, neboli jde o
bod lokálního minima. Pokud je druhá derivace
nula, tak nelze nic říci. Nevíme, co se v tom
bodě doopravdy děje. Nemůžeme o tom
nic najisto tvrdit. Teď si udělejme
rychlý příklad, abychom viděli,
jestli už to chápeme. Řekněme, že máme nějakou dvakrát
diferencovatelnou funkci h a že h(8) se rovná 5. Dále víme, že h s čárkou
v bodě 8 se rovná 0 a že druhá derivace
v bodě x rovno 8 je rovna −4. Když tohle víme,
dokážeme říci, zda je bod [8; 5] lokálním
minimem, lokálním maximem, anebo zda pro to
není dost informací? Nedostatek informací neboli
nedokážeme nic říci. Jako vždy si zastavte video
a zkuste na to přijít. Máme dvakrát
diferencovatelnou funkci a myslím, že můžeme pro
jednoduchost předpokládat, že první derivace existuje na
nějakém okolí bodu x rovno 8. V tomto příkladu
se ‚c‘ rovná 8, takže... Bod [8; 5] určitě leží
na zadané křivce. Derivace je rovna 0, takže máme co do činění
s jednou z těchto situací, a druhá derivace
je menší než 0. Druhá derivace je
menší než 0. To nám
bylo zadáno. To, že druhá derivace, tedy h se dvěma
čárkami, v bodě 8 je menší než 0, nám říká, že
nastal tento případ. Takže jen s těmi informacemi,
které nám dali, můžeme říct, že v bodě [8; 5]
má funkce lokální maximum, neboli že jde o bod
lokálního maxima této funkce. Kdyby nám zadali, že
druhá derivace je rovna 0, tak bychom řekli,
že nelze rozhodnout, a kdyby nám řekli, že druhá
derivace je větší než 0, tak by funkce v bodě x rovno 8
měla lokální minimum.