Druhá derivace a lokální extrémy

V tomto videu vás chci seznámit s testem pomocí druhé derivace. Ještě než se dostanu k jádru věci, chtěl bych se intuitivně podívat na to, co nám test pomocí druhé derivace říká. Nejprve zde nakreslím osy. Řekněme, že toto je osa y a že tohle bude osa x. Řekněme dále, že máme funkci, která má lokální maximum v bodě x rovno ‚c‘. Řekněme tedy, že máme situaci, která vypadá přibližně takto. Bod x rovno ‚c‘ je... Tohle je bod [c; f(c)], takže... Pokusím se nakreslit rovnější přerušovanou čáru. Takže tady je bod x rovno ‚c‘. Už od pohledu vidíme, že zde máme lokální maximum. Nyní můžeme použít diferenciální počet a zjistit, co se v tomto bodě děje. Jednu věc víme. Víme, že směrnice tečny, alespoň tak, jak jsem to tu nakreslil, se rovná 0. Můžeme tedy říct, že f s čárkou v bodě ‚c‘ je rovno 0. Dále vidíme, že funkce je konkávní na okolí bodu x rovno ‚c‘. Všimněme si, že sklon neustále klesá. Protože sklon neustále... Nejprve je kladný, pak čím dál tím méně kladný, následně se rovná nule, načež začne být záporný a poté je čím dál tím víc záporný. Víme tedy, že f se dvěma čárkami v bodě ‚c‘ je menší než 0. Neudělal jsem tu žádný hluboký matematický důkaz, ale když máme stacionární bod, ve kterém je f s čárkou... Když máme stacionární bod x rovno ‚c‘, pro který je f(c) s čárkou rovno 0, a když také víme, že druhá derivace v tomto bodě je menší než 0, tak intuitivně dává smysl, že jsme v bodě lokálního maxima. Mohli bychom to udělat i opačně. Kdyby funkce v bodě x rovno ‚c‘ měla lokální minimum, tak její první derivace by stále měla být rovna 0, protože směrnice tečny je v tomto bodě stále nulová. f s čárkou v bodě ‚c‘ je tedy rovno 0. V tomto druhém případě je ale funkce konvexní. Sklon neustále roste. Máme takovou otevřenou mísu. V tomto bodě má tedy funkce lokální minimum, nebo také můžeme říct, že druhá derivace je zde větší než 0. Od pohledu vidíme, že je zde lokální minimum, a také vidíme něco o derivacích, alespoň jak jsem to nakreslil. První derivace je rovna 0 a funkce je konvexní, takže druhá derivace je větší než 0. Tato intuice, kterou jsme si tímto snad vytvořili, je to, co nám říká test pomocí druhé derivace. Říká nám to, že když máme nějakou funkci f… Řekněme, že je to dvakrát diferencovatelná funkce, což znamená, že na nějakém intervalu… Znamená to, že její první i druhá derivace jsou definované. Řekněme, že máme nějaký bod x rovno ‚c‘, ve kterém je první derivace rovna 0, což znamená, že směrnice tečny je v něm nulová a že derivace je definovaná na nějakém okolí bodu x rovno ‚c‘. Pro většinu funkcí, s nimiž počítáme, platí, že když jsou diferencovatelné v ‚c‘, tak jsou diferencovatelné na okolí ‚c‘. Dále předpokládáme, že druhá derivace existuje, tedy že f je dvakrát diferencovatelná. Potom může jít o bod lokálního maxima, nebo o bod lokálního minima, nebo možná nevíme, s čím se setkáváme, možná to není ani bod lokálního minima, ani bod lokálního maxima. Avšak díky druhé derivaci... Když spočítáme druhou derivaci a zjistíme, že je menší než 0, tak jde o bod lokálního maxima. To je ta situace, se kterou jsme tady začali. Pokud je druhá derivace větší než 0, tak jde o tuhle druhou situaci, kdy je funkce konvexní. Tam, kde je sklon nulový, je dno naší mísy, neboli jde o bod lokálního minima. Pokud je druhá derivace nula, tak nelze nic říci. Nevíme, co se v tom bodě doopravdy děje. Nemůžeme o tom nic najisto tvrdit. Teď si udělejme rychlý příklad, abychom viděli, jestli už to chápeme. Řekněme, že máme nějakou dvakrát diferencovatelnou funkci h a že h(8) se rovná 5. Dále víme, že h s čárkou v bodě 8 se rovná 0 a že druhá derivace v bodě x rovno 8 je rovna −4. Když tohle víme, dokážeme říci, zda je bod [8; 5] lokálním minimem, lokálním maximem, anebo zda pro to není dost informací? Nedostatek informací neboli nedokážeme nic říci. Jako vždy si zastavte video a zkuste na to přijít. Máme dvakrát diferencovatelnou funkci a myslím, že můžeme pro jednoduchost předpokládat, že první derivace existuje na nějakém okolí bodu x rovno 8. V tomto příkladu se ‚c‘ rovná 8, takže... Bod [8; 5] určitě leží na zadané křivce. Derivace je rovna 0, takže máme co do činění s jednou z těchto situací, a druhá derivace je menší než 0. Druhá derivace je menší než 0. To nám bylo zadáno. To, že druhá derivace, tedy h se dvěma čárkami, v bodě 8 je menší než 0, nám říká, že nastal tento případ. Takže jen s těmi informacemi, které nám dali, můžeme říct, že v bodě [8; 5] má funkce lokální maximum, neboli že jde o bod lokálního maxima této funkce. Kdyby nám zadali, že druhá derivace je rovna 0, tak bychom řekli, že nelze rozhodnout, a kdyby nám řekli, že druhá derivace je větší než 0, tak by funkce v bodě x rovno 8 měla lokální minimum.