Příklad na větu o střední hodnotě: odmocninná funkce

Nechť f(x) je rovno druhé odmocnině z (4 krát x minus 3). C je číslo, jež splňuje Větu o střední hodnotě pro f v uzavřeném intervalu, kde x je mezi 1 a 3. Tedy 1 je menší nebo rovno x a to je menší nebo rovno 3. Čemu je potom rovno c? Připomeňme si, co znamená, že c splňuje Větu o střední hodnotě pro f. To znamená, že na tomto intervalu je hodnota x rovno c bod, ve kterém je sklon tečny v bodě x je rovno c... Mohu tedy napsat derivace f v bodě c, toto je sklon tečny, kde x je rovno c. ...je roven sklonu sečny, která spojuje tyto dva body. Bude to tedy rovno sklonu sečny mezi body [3; f(3)] a [1; f(1)]. Tedy f(3) minus f(1), to celé lomeno 3 minus 1. A pokud si to chcete představit graficky, bude to vypadat nějak takto. Toto je naše osa x. Zde je 1, 2 a 3. Zde máme bod [1; f(1)]. Můžeme ho rovnou spočítat. Bude to tedy bod [1; 1]. Další bod máme bod [3; ?]. Když dosadíme, dostáváme 4 krát 3 minus 3, tedy 9, z toho druhá odmocnina, tedy bod [3; 3]. Ten bude tedy někde zde. A křivka by mohla vypadat nějak takto. Pokud se tedy zamyslíme nad úsečkou spojující tyto dva body, což je tato úsečka, spojující tyto dva body. Vše, co nám Věta o střední hodnotě říká, je, že existuje bod mezi hodnotami 1 a 3, ve kterém je sklon tečny stejný jako sklon sečny. Řekl bych tedy, že to bude někde zde. My si to ale vypočítáme. Takže nějaký bod, ve kterém je sklon tečny roven sklonu úsečky spojující krajní body a jím odpovídajícím funkčním hodnotám. Toto je tedy bod c. Musíme tedy opravdu vyřešit toto. Pojďme nejdříve najít derivaci f(x), potom můžeme dosadit c a vypočítat tento výraz. Přepíši si f(x). f(x) je rovno (4 krát x minus 3) to celé na jednu polovinu. Takto je jasnější, že chceme použit vzorec na derivaci mocniny a složené funkce. Derivace f v bodě x bude: derivace (4x minus 3) to celé na jednu polovinu podle (4x minus 3). Tedy jedna polovina krát (4x minus 3) to celé na minus jednu polovinu. A to budeme násobit derivací funkce (4 krát x minus 3) podle x. Derivace 4 krát x, podle x, je pouze 4. A derivace minus 3, podle x, je 0. Takže derivace (4 krát x minus 3) podle x je 4. Tedy krát 4. Derivace f v bodě x je rovna 4 krát jedna polovina, což je 2, lomeno druhá odmocnina z (4 krát x minus 3). (4 krát x minus 3) na jednu polovinu by byla odmocnina z (4 krát x minus 3). Ale jelikož je to na minus jednu polovinu, bude to zde ve jmenovateli. Derivaci f v bodě c můžeme přepsat jako 2 lomeno druhá odmocnina z (4 krát c minus 3). A čemu to bude rovno? Už jsme vypočítali, že f(3) je 3. A už víme, že f(1) je 1. Dostáváme tedy (3 minus 1) lomeno (3 minus 1). To bude 2 lomeno 2, což je rovno 1. Existuje tedy bod mezi 1 a 3, ve kterém bude jeho derivace, sklon tečny, rovna 1. Pojďme se podívat, zda toto umíme vyřešit. Můžeme vynásobit obě strany druhou odmocninou z (4 krát c minus 3). A potom dostaneme 2 je rovno druhé odmocnině z (4 krát c minus 3). Udělal jsem jen to, že jsem vynásobil obě strany druhou odmocninou z (4c minus 3), abych se zbavil tohoto jmenovatele. Nyní se můžeme zbavit odmocniny umocněním obou stran rovnice. Ukážu to. Nyní tedy umocníme obě strany. A dostáváme 4 je rovno 4 krát c minus 3. Přičteme 3 na obě strany. Tedy 7 je rovno 4 krát c. Teď obě strany vydělíme 4. Budu pokračovat zde. Dostaneme, že c je rovno 7 lomeno 4. Což je rovno 1 a 3 lomeno 4. Neboli 1,75. Hodnota c je tedy ve skutečnosti trochu blíže, než jsem ji načrtl. Bude na našem grafu někde zde. Vypadá to vlastně dost dobře. Já jsem křivku jen načrtl, takže to určitě není přesné. Věřím, že jste pochopili, o co tu jde. Jenom říkáme, že Věta o střední hodnotě nám dává nějakou hodnotu c, ve které je sklon tečny stejný jako sklon úsečky spojující body [1; f(1)] a [3; f(3)].