Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 1: Věta o střední hodnotě- Věta o střední hodnotě
- Příklad na větu o střední hodnotě: polynomiální funkce
- Příklad na větu o střední hodnotě: odmocninná funkce
- Použití věty o střední hodnotě
- Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě: tabulka
- Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě: rovnice
- Význam diferencovatelnosti ve větě o střední hodnotě
- Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě
- Aplikace věty o střední hodnotě
- Opakování věty o střední hodnotě
Věta o střední hodnotě
Věta o střední hodnotě říká, že pokud je funkce f spojitá na uzavřeném intervalu ⟨a;b⟩ a diferencovatelná na otevřeném intervalu (a;b), pak existuje takový bod c v intervalu (a;b), že f'(c) je rovno průměrné rychlosti změny funkční hodnoty na ⟨a;b⟩. Jinak řečeno, existuje tečna ke grafu v nějakém bodě intervalu (a;b), která je rovnoběžná se sečnou grafu, jež graf protíná v bodech x=a a x=b. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Podívejme se, zda rozumíme
Větě o střední hodnotě. A jak uvidíme, až si rozebereme
některé matematické pojmy a symboly, jedná se o docela
intuitivní větu. Pojďme si představit
nějakou funkci f. A o této funkci víme
několik věcí. Víme, že je spojitá na
uzavřeném intervalu, kde x je mezi 'a' a 'b'. Když použijeme tyto závorky,
mluvíme o uzavřeném intervalu. Tedy zahrnujeme bod 'a' z této
strany a bod 'b' z pravé strany. Pozn. překladatele: v češtině
označujeme jako . A spojitá znamená
jen to, že funkce nemá žádné mezery nebo
skoky na tomto uzavřeném intervalu. Pojďme dále předpokládat,
že je funkce diferencovatelná na otevřeném intervalu
mezi body 'a' a 'b'. Teď tedy říkáme,
že je v pořádku, pokud funkce není diferencovatelná
přímo v bodech 'a' a 'b'. Diferencovatelná znamená,
že existuje definovaná derivace. Že funkci mezi těmito
body lze derivovat. Je tedy diferencovatelná na
otevřeném intervalu (a;b). Toto jsou tedy omezení,
se kterými budeme pracovat ve Větě o střední hodnotě. Pojďme si to zkusit
představit. Toto je moje funkce. Toto je moje osa y
a zde je osa x. A nakreslím náš interval.
Toto je a, toto je b. A řekněme, že funkce
vypadá nějak takto. Můžeme nakreslit
libovolnou funkci. Řekněme, že moje funkce
vypadá nějak takto. V tomto bodě je hodnota
na ose x rovna a. A hodnota na
ose y je f(a). V tomto bodě je hodnota
na ose x rovna b a hodnota na
ose y je rovna f(b). To, co nám Věta o
střední hodnotě říká je, že když vezmeme průměrnou
změnu na intervalu, tak v nějakém bodě, alespoň v
nějakém z tohoto otevřeného intervalu, je okamžitá rychlost změny stejná
jako průměrná rychlost změny. Teď si znázorníme,
co to znamená. Pojďme spočítat
průměrnou změnu. Průměrná změna mezi
bodem 'a' a bodem 'b' bude sklon sečny. Toto je tedy sečna. Vše, co nám Věta o
střední hodnotě říká, je, že v nějakém bodě
tohoto intervalu bude okamžitý sklon tečny
roven sklonu této sečny. A pohledově můžeme
vidět, že zde to vypadá, že skon tečny bude
stejný jako sklon sečny. Také to vypadá, na
stejný případ zde. Sklon tečny bude zde
stejný jako sklon sečny. A to intuitivně
dává smysl. V nějakém bodě bude okamžitý
sklon stejný jako průměrný sklon. Jak bychom toto
zapsali matematicky? Pojďme spočítat průměrný
sklon na tomto intervalu. Průměrná změna,
sklon sečny, bude změna y zde
lomeno změnou x. Jaká je naše změna y? Změna y je
f(b) minus f(a). Toto celé lomeno
změna x. Tedy lomeno
b minus a... Napíši to
správnou barvou. ...Připomeňme si,
o co tady jde. Toto zde je graf
funkce y rovno f(x). Říkáme, že sklon sečny,
neboli průměrná změna na intervalu (a;b)
je změna y... toto je řecké písmeno delta,
označení pro změnu, ...lomeno změna
na ose x. Což je samozřejmě
rovno tomuto. A Věta o střední
hodnotě nám říká, že když víme o těchto
dvou vlastnostech funkce, tak zde existuje nějaká
hodnota x, mezi body 'a' a 'b'. Tedy v otevřeném intervalu (a;b)
existuje nějaká hodnota c. Můžeme říci, že hodnota c
leží na otevřeném intervalu (a;b). Nebo můžeme říci, že existuje hodnota c,
kde a je menší než c a to je menší než b. Tedy nějaké c
v tomto intervalu, kde okamžitá změna
v této hodnotě x je stejná jako průměrná
rychlost změny. Existuje tedy nějaké c
v tomto otevřeném intervalu, kde průměrná rychlost změny je rovna
okamžité rychlosti změny v tomto bodě. To je celé, co
věta říká. A jak jsme viděli na
tomto grafu, toto by mohlo být naše c nebo
toto by také mohlo být naše c. Podívejme se, máme
f spojitou na uzavřeném intervalu , f diferencovatelnou na
otevřeném intervalu (a;b) a pak platí tento zápis. Co to vlastně
znamená? Vše, co nám
to říká je, že v nějakém bodě tohoto intervalu
je okamžitá rychlost změny stejná jako průměrná rychlost
změny na celém intervalu. V dalším videu vám zkusím ukázat
reálný příklad, kde to využít.