Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě: tabulka

Tato tabulka zobrazuje vybrané hodnoty diferencovatelné funkce f. Můžeme použít Větu o střední hodnotě, abychom řekli, že existuje hodnota c taková, že derivace funkce f v bodě c je rovno 5 a hodnota c je větší než 4 a menší než 6? Pokud ano, zdůvodněte. Abychom mohli použít Větu o střední hodnotě, funkce f musí být diferencovatelná na otevřeném intervalu a spojitá na uzavřeném intervalu. Vypadá to, že toto je splněno. Pokud je diferencovatelná na intervalu, je určitě i spojitá na tomto intervalu. Zde je uvedeno, že se jedná o obecně diferencovatelnou funkci. Tedy na jakémkoli intervalu. Další částí je si říci, pokud je splněna tato podmínka, potom pro sklon sečny mezi body [4; f(4)] a [6; f(6)] platí, že alespoň jeden bod mezi 4 a 6 bude mít derivaci rovnu sklonu sečny. Pojďme zjistit, jaký je sklon sečny mezi body [4; f(4)] a [6; f(6)]. Pokud je to rovno 5, potom můžeme použít Větu o střední hodnotě. Pokud to není rovno 5, Větu o střední hodnotě nelze aplikovat. Pojďme to udělat. f(6) minus f(4) to celé lomeno 6 minus 4 je rovno 7 minus 3 to celé lomeno 2. A to je rovno 2. Tedy 5 není rovno 2. Nemůžeme tedy použít Větu o střední hodnotě. Dám sem ještě vykřičník pro zdůraznění. Pojďme na další část. Můžeme pomocí Věty o střední hodnotě zdůvodnit, že rovnice f(x) s čárkou je rovno −1 má řešení v intervalu, kde x je větší než 0 a menší než 2? Pokud ano, zdůvodněte. Pojďme na to. Vezměme sklon sečny, tedy f(2) minus f(0) to celé lomeno 2 minus 0. Dostáváme −2 minus 0 to celé lomeno 2. Což je rovno −2 lomeno 2 tedy −1. A také víme, že jsou splněny podmínky spojitosti a diferencovatelnosti. Můžeme tedy říci, že jelikož je funkce f obecně diferencovatelná, bude diferencovatelná a spojitá na uzavřeném intervalu od 0 do 2. Musí být diferencovatelná jen na otevřeném intervalu. Ale je lepší, že je diferencovatelná i na uzavřeném intervalu, protože na uzavřeném intervalu musí být spojitá. A jelikož f je obecně diferencovatelná, je diferencovatelná a spojitá na intervalu ⟨0; 2⟩. Takže Věta o střední hodnotě nám říká, že existuje nějaké x v intervalu ⟨0; 2⟩ takové, že derivace funkce f v bodě x je rovna sklonu sečny. Nebo můžeme říct průměrné rychlosti změny. Tedy je rovna −1. A mohu tedy napsat "Ano". A toto bude mé zdůvodnění. Toto je sklon sečny, neboli průměrná rychlost změny. A jelikož f je obecně diferencovatelná, je diferencovatelná a spojitá i na tomto uzavřeném intervalu. Potom nám Věta o střední hodnotě říká, že existuje x v tomto intervalu, pro které je f(x) s čárkou rovno −1. A máme hotovo.