Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě: rovnice

Funkce g se rovná jedna lomeno x. Pomůže nám věta o střední hodnotě odůvodnit, že rovnice první derivace funkce g se rovná 1/2 má řešení, pro −1 je menší než x, které je menší než 2? Pokud ano, napište odůvodnění. Pozastavte si video a zkuste na to přijít sami. Ještě než vůbec začneme uvažovat o aplikaci věty o střední hodnotě, musíme si zkontrolovat, že funkce je spojitá na uzavřeném intervalu a diferencovatelná na otevřeném intervalu. Tento interval je otevřený, uzavřený interval by obsahoval i koncové body. Mohli byste ale rychle přijít na to, že oba tyto intervaly obsahují nulu, a pokud se x rovná nule, potom je funkce nedefinovaná. Pokud je nedefinovaná, potom také v tomto bodě nebude spojitá ani diferencovatelná. Tedy ne, není spojitá ani diferencovatelná na tomto intervalu. Pojďme na druhou část. Můžeme pomocí věty o střední hodnotě najít takové c, pro které platí, že rovnice první derivace funkce g(c) se rovná −1/2 má řešení, pokud c má být mezi 1 a 2? Pokud ano, napište odůvodnění. Znovu si pozastavte video. Řešíme zde otevřený i uzavřený interval mezi body 1 a 2. Jedná se o racionální funkci a ta je spojitá a diferencovatelná ve všech bodech svého definičního oboru. Její definiční obor obsahuje tento otevřený i uzavřený interval. Každý bod v otevřeném/uzavřeném intervalu je obsažen v definičním oboru této funkce. Můžeme tedy napsat, že funkce g je racionální. Z toho zjistíme i že je spojitá a diferencovatelná ve všech bodech svého definičního oboru. Uzavřený interval od 1 do 2 je v definičním oboru. Zkusme zjistit, jaká je průměrná rychlost změny od jedné do dvou. Máme g(2) minus g(1) lomeno 2 minus 1, což se rovná 1/2 minus 1 lomeno 1, což se rovná −1/2. Proto podle věty o střední hodnotě musí existovat c, pro které 1 je menší než c, které je menší než 2. První derivace g(c) se rovná průměrné rychlosti změny mezi koncovými body. To je −1/2. A máme hotovo, čili můžeme napsat, že je to pravda a toto je naše odůvodnění.