Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 1: Věta o střední hodnotě- Věta o střední hodnotě
- Příklad na větu o střední hodnotě: polynomiální funkce
- Příklad na větu o střední hodnotě: odmocninná funkce
- Použití věty o střední hodnotě
- Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě: tabulka
- Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě: rovnice
- Význam diferencovatelnosti ve větě o střední hodnotě
- Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě
- Aplikace věty o střední hodnotě
- Opakování věty o střední hodnotě
Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě: rovnice
Příklad toho, jak ověřit, že můžeme použít větu o střední hodnotě (když známe rovnici funkce).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Funkce g se rovná
jedna lomeno x. Pomůže nám věta
o střední hodnotě odůvodnit, že rovnice první derivace funkce
g se rovná 1/2 má řešení, pro −1 je menší než x,
které je menší než 2? Pokud ano,
napište odůvodnění. Pozastavte si video a
zkuste na to přijít sami. Ještě než vůbec začneme uvažovat
o aplikaci věty o střední hodnotě, musíme si zkontrolovat, že funkce
je spojitá na uzavřeném intervalu a diferencovatelná
na otevřeném intervalu. Tento interval je otevřený, uzavřený
interval by obsahoval i koncové body. Mohli byste ale rychle přijít na to,
že oba tyto intervaly obsahují nulu, a pokud se x rovná nule,
potom je funkce nedefinovaná. Pokud je
nedefinovaná, potom také v tomto bodě
nebude spojitá ani diferencovatelná. Tedy ne, není spojitá ani
diferencovatelná na tomto intervalu. Pojďme na
druhou část. Můžeme pomocí věty
o střední hodnotě najít takové c, pro které platí, že rovnice první derivace
funkce g(c) se rovná −1/2 má řešení, pokud c má
být mezi 1 a 2? Pokud ano,
napište odůvodnění. Znovu si
pozastavte video. Řešíme zde otevřený i uzavřený
interval mezi body 1 a 2. Jedná se o racionální
funkci a ta je spojitá a diferencovatelná ve všech
bodech svého definičního oboru. Její definiční obor obsahuje
tento otevřený i uzavřený interval. Každý bod v otevřeném/uzavřeném intervalu
je obsažen v definičním oboru této funkce. Můžeme tedy napsat,
že funkce g je racionální. Z toho zjistíme
i že je spojitá a diferencovatelná ve všech
bodech svého definičního oboru. Uzavřený interval od 1
do 2 je v definičním oboru. Zkusme zjistit, jaká je průměrná
rychlost změny od jedné do dvou. Máme g(2) minus g(1)
lomeno 2 minus 1, což se rovná 1/2 minus 1 lomeno 1,
což se rovná −1/2. Proto podle věty o střední
hodnotě musí existovat c, pro které 1 je menší než c,
které je menší než 2. První derivace g(c) se rovná průměrné
rychlosti změny mezi koncovými body. To je −1/2. A máme hotovo, čili můžeme napsat,
že je to pravda a toto je naše odůvodnění.