Hlavní obsah

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5

Lekce 1: Věta o střední hodnotě

Význam diferencovatelnosti ve větě o střední hodnotě

Abychom mohli použít větu o střední hodnotě, daná funkce musí být diferencovatelná. V tomto článku se dozvíš, proč tomu tak je a jak ověřit, že tuto větu můžeme pro daný příklad použít.

Věta o střední hodnotě je existenční věta podobně jako věta o nabývání mezihodnot a věta o nabývání extrémů. Cílem tohoto článku je větu o střední hodnotě dobře pochopit a naučit se, jak ji používat.

Věta o střední hodnotě a její předpoklady

Věta o střední hodnotě říká, že pro funkci

f

, která je diferencovatelná na intervalu od

a

b

, existuje bod

c

v tomto intervalu takový, že

f^{'} (c)

se rovná průměrné rychlosti změny funkční hodnoty naší funkce na tomto intervalu.

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Graficky to znamená, že na grafu funkce, který spojuje počáteční a koncový bod našeho intervalu, existuje bod, ve kterém je tečna ke grafu rovnoběžná se sečnou grafu procházející jeho koncovými body.

Přesně vyjádřené předpoklady věty o střední hodnotě říkají, že

f

musí být diferencovatelná na otevřeném intervalu

(a; b)

a spojitá na uzavřeném intervalu

⟨ a; b ⟩

. Protože z diferencovatelnosti už plyne spojitost, tak můžeme předpoklady formulovat také tak, že funkce musí být diferencovatelná na

(a; b)

a spojitá v bodech

x = a

x = b

O parametrech

a

b

, stejně jako o otevřených a uzavřených intervalech, je důležité mluvit, pokud chceme být matematicky přesní, ale tyto předpoklady vlastně říkají následující:

Aby šlo použít větu o střední hodnotě, tak musí být funkce na daném intervalu diferencovatelná a na krajích intervalu musí být spojitá.

Proč je důležitá diferencovatelnost na intervalu

Abychom pochopili, proč je tento předpoklad důležitý, uvažme následující funkci

f

. Tato funkce má mezi body

x = a

x = b

ostrou špičku, takže na intervalu

(a; b)

není diferencovatelná.

Funkce má celkem dvě možné tečny, přičemž ani jedna z nich není rovnoběžná se sečnou procházející body

x = a

x = b

Proč je důležitá spojitost v krajních bodech intervalu

Abychom to lépe pochopili, uvažme následující funkci

g

Dokud je

g

diferencovatelná na

(a; b)

a spojitá v bodech

x = a

x = b

, věta o střední hodnotě pro ni platí.

Nyní změníme

g

tak, aby nebyla spojitá v bodě

x = b

. Jednostrannou limitu

lim_{x \to b^{-}} g (x)

ponecháme stejnou, ale funkční hodnotu změníme na něco jiného.

Všimni si, že všechny možné tečny na našem intervalu musí být rostoucí přímky, zatímco sečna je klesající. Žádná z tečen tak nemůže být rovnoběžná s touto sečnou.

Obecně platí, že pokud funkce není v krajních bodech intervalu spojitá, tak sečna na celém intervalu nebude spojena s tečnami.

V první sadě příkladů se podíváme na to, kdy lze pro funkci

h

na různých intervalech použít větu o střední hodnotě.

Příklad 1.A

Můžeme pro funkci $h$ ‍ na intervalu $⟨ - 5; - 1 ⟩$ ‍ použít větu o střední hodnotě?

Příklad 2

Graf funkce

f

má v bodě

x = 2

svislou tečnu.

Můžeme pro funkci $f$ ‍ na intervalu $⟨ - 1; 5 ⟩$ ‍ použít větu o střední hodnotě?

Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.

Poznámka: Když větu o střední hodnotě nelze použít, tak to znamená jen to, že si nemůžeme být jisti tím, zda její závěr platí. Neznamená to ale nutně, že její závěr neplatí.

Jinak řečeno, i když větu o střední hodnotě nelze použít, tak může existovat bod, v němž je tečna rovnoběžná se sečnou. My si jen jeho existencí nemůžeme být jistí, ledaže by předpoklady věty o střední hodnotě byly splněny.

Například v poslední úloze nešlo pro funkci

f

na intervalu

⟨ - 1; 5 ⟩

použít větu o střední hodnotě, i když v intervalu

⟨ - 1; 5 ⟩

existují dva body, v nichž je tečna ke grafu rovnoběžná se sečnou procházející koncovými body intervalu.

Příklad 3

Následující tabulka udává několik vybraných hodnot funkce

h

$x$ ‍	$3$ ‍	$7$ ‍	$10$ ‍	$11$ ‍
$h (x)$ ‍	$1$ ‍	$5$ ‍	$- 2$ ‍	$- 6$ ‍

Honza tvrdí, že protože platí

\frac{h (7) - h (3)}{7 - 3} = 1

, musí existovat bod

c

v intervalu

⟨ 3; 7 ⟩

takový, že

h^{'} (c) = 1

Která podmínka stačí k tomu, aby měl Honza pravdu?

Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.

Častá chyba: Nerozpoznání toho, kdy jsou předpoklady splněny

Vraťme se například k Příkladu 3. Předpoklady věty o střední hodnotě bychom běžně formulovali takto:

$h$ ‍ je diferencovatelná na $(3; 7)$ ‍ a spojitá na $⟨ 3; 7 ⟩$ ‍.
$h$ ‍ je diferencovatelná na $(3; 7)$ ‍ a spojitá v bodech $x = 3$ ‍ a $x = 7$ ‍.

Ne vždy však informace o funkci dostaneme v tomhle tvaru. Například je-li

h

diferencovatelná na

⟨ 3; 7 ⟩

, tak jsou předpoklady věty splněny, protože z diferencovatelnosti plyne spojitost.

Dalším příkladem je, kdyby byla

h

diferencovatelná na větším intervalu, například

(2; 8)

. Ačkoliv o spojitosti není ani zmínka, tak z diferencovatelnosti na

(2; 8)

plyne diferencovatelnost na

(3; 7)

i spojitost na

⟨ 3; 7 ⟩

Příklad 4

f

je diferencovatelná funkce. Víme, že

f (1) = - 2

f (5) = 2

Ke každému závěru přiřaď větu, ze které tento závěr plyne.

1

Častá chyba: Použití špatné věty

V tuto chvíli už známe celkem tři existenční věty: větu o nabývání mezihodnot, větu o nabývání extrémů a větu o střední hodnotě. Všechny vypadají podobně, ale platí za různých předpokladů a říkají nám něco o různých typech bodů.

Věta o nabývání mezihodnot říká, že existuje bod, ve kterém funkce nabývá určitou hodnotu mezi dvěma danými hodnotami.
Věta o nabývání extrémů říká, že existují body, ve kterých funkce nabývá svou maximální a minimální hodnotu.
Věta o střední hodnotě říká, že existuje bod, ve kterém derivace nabývá určitou hodnotu.

Předtím, než některou z těchto vět použiješ, se ujisti, že zadání příkladu rozumíš natolik dobře, abys dokázal říct, kterou větu je třeba použít.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.