Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 1: Věta o střední hodnotě- Věta o střední hodnotě
- Příklad na větu o střední hodnotě: polynomiální funkce
- Příklad na větu o střední hodnotě: odmocninná funkce
- Použití věty o střední hodnotě
- Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě: tabulka
- Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě: rovnice
- Význam diferencovatelnosti ve větě o střední hodnotě
- Ověřování předpokladů věty o střední hodnotě
- Aplikace věty o střední hodnotě
- Opakování věty o střední hodnotě
Význam diferencovatelnosti ve větě o střední hodnotě
Abychom mohli použít větu o střední hodnotě, daná funkce musí být diferencovatelná. V tomto článku se dozvíš, proč tomu tak je a jak ověřit, že tuto větu můžeme pro daný příklad použít.
Věta o střední hodnotě je existenční věta podobně jako věta o nabývání mezihodnot a věta o nabývání extrémů. Cílem tohoto článku je větu o střední hodnotě dobře pochopit a naučit se, jak ji používat.
Věta o střední hodnotě a její předpoklady
Věta o střední hodnotě říká, že pro funkci f, která je diferencovatelná na intervalu od a do b, existuje bod c v tomto intervalu takový, že f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis se rovná průměrné rychlosti změny funkční hodnoty naší funkce na tomto intervalu.
Graficky to znamená, že na grafu funkce, který spojuje počáteční a koncový bod našeho intervalu, existuje bod, ve kterém je tečna ke grafu rovnoběžná se sečnou grafu procházející jeho koncovými body.
Přesně vyjádřené předpoklady věty o střední hodnotě říkají, že f musí být diferencovatelná na otevřeném intervalu left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis a spojitá na uzavřeném intervalu ⟨, a, ;, b, ⟩. Protože z diferencovatelnosti už plyne spojitost, tak můžeme předpoklady formulovat také tak, že funkce musí být diferencovatelná na left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis a spojitá v bodech x, equals, a a x, equals, b.
O parametrech a a b, stejně jako o otevřených a uzavřených intervalech, je důležité mluvit, pokud chceme být matematicky přesní, ale tyto předpoklady vlastně říkají následující:
Aby šlo použít větu o střední hodnotě, tak musí být funkce na daném intervalu diferencovatelná a na krajích intervalu musí být spojitá.
Proč je důležitá diferencovatelnost na intervalu
Abychom pochopili, proč je tento předpoklad důležitý, uvažme následující funkci f. Tato funkce má mezi body x, equals, a a x, equals, b ostrou špičku, takže na intervalu left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis není diferencovatelná.
Funkce má celkem dvě možné tečny, přičemž ani jedna z nich není rovnoběžná se sečnou procházející body x, equals, a a x, equals, b.
Proč je důležitá spojitost v krajních bodech intervalu
Abychom to lépe pochopili, uvažme následující funkci g.
Dokud je g diferencovatelná na left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis a spojitá v bodech x, equals, a a x, equals, b, věta o střední hodnotě pro ni platí.
Nyní změníme g tak, aby nebyla spojitá v bodě x, equals, b. Jednostrannou limitu limit, start subscript, x, \to, b, start superscript, minus, end superscript, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis ponecháme stejnou, ale funkční hodnotu změníme na něco jiného.
Všimni si, že všechny možné tečny na našem intervalu musí být rostoucí přímky, zatímco sečna je klesající. Žádná z tečen tak nemůže být rovnoběžná s touto sečnou.
Obecně platí, že pokud funkce není v krajních bodech intervalu spojitá, tak sečna na celém intervalu nebude spojena s tečnami.
V první sadě příkladů se podíváme na to, kdy lze pro funkci h na různých intervalech použít větu o střední hodnotě.
Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.
Poznámka: Když větu o střední hodnotě nelze použít, tak to znamená jen to, že si nemůžeme být jisti tím, zda její závěr platí. Neznamená to ale nutně, že její závěr neplatí.
Jinak řečeno, i když větu o střední hodnotě nelze použít, tak může existovat bod, v němž je tečna rovnoběžná se sečnou. My si jen jeho existencí nemůžeme být jistí, ledaže by předpoklady věty o střední hodnotě byly splněny.
Například v poslední úloze nešlo pro funkci f na intervalu ⟨, minus, 1, ;, 5, ⟩ použít větu o střední hodnotě, i když v intervalu ⟨, minus, 1, ;, 5, ⟩ existují dva body, v nichž je tečna ke grafu rovnoběžná se sečnou procházející koncovými body intervalu.
Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.
Častá chyba: Nerozpoznání toho, kdy jsou předpoklady splněny
Vraťme se například k Příkladu 3. Předpoklady věty o střední hodnotě bychom běžně formulovali takto:
- h je diferencovatelná na left parenthesis, 3, ;, 7, right parenthesis a spojitá na ⟨, 3, ;, 7, ⟩.
- h je diferencovatelná na left parenthesis, 3, ;, 7, right parenthesis a spojitá v bodech x, equals, 3 a x, equals, 7.
Ne vždy však informace o funkci dostaneme v tomhle tvaru. Například je-li h diferencovatelná na ⟨, 3, ;, 7, ⟩, tak jsou předpoklady věty splněny, protože z diferencovatelnosti plyne spojitost.
Dalším příkladem je, kdyby byla h diferencovatelná na větším intervalu, například left parenthesis, 2, ;, 8, right parenthesis. Ačkoliv o spojitosti není ani zmínka, tak z diferencovatelnosti na left parenthesis, 2, ;, 8, right parenthesis plyne diferencovatelnost na left parenthesis, 3, ;, 7, right parenthesis i spojitost na ⟨, 3, ;, 7, ⟩.
Častá chyba: Použití špatné věty
V tuto chvíli už známe celkem tři existenční věty: větu o nabývání mezihodnot, větu o nabývání extrémů a větu o střední hodnotě. Všechny vypadají podobně, ale platí za různých předpokladů a říkají nám něco o různých typech bodů.
- Věta o nabývání mezihodnot říká, že existuje bod, ve kterém funkce nabývá určitou hodnotu mezi dvěma danými hodnotami.
- Věta o nabývání extrémů říká, že existují body, ve kterých funkce nabývá svou maximální a minimální hodnotu.
- Věta o střední hodnotě říká, že existuje bod, ve kterém derivace nabývá určitou hodnotu.
Předtím, než některou z těchto vět použiješ, se ujisti, že zadání příkladu rozumíš natolik dobře, abys dokázal říct, kterou větu je třeba použít.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.