Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 4: Lokální extrémy- Minima a maxima funkcí - úvod
- Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace
- Řešený příklad: hledání lokálních extrémů funkce
- Chyby při určování extrémů funkce - příklad 1
- Chyby při určování extrémů funkce - příklad 2
- Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace
- Lokální minima a maxima funkce
- Opakování lokálních minim a maxim funkce
Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace
Když už známe stacionární body, jak zjistíme, zda v nich funkce nabývá své minimum, maximum, nebo ani jedno z toho? Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V předchozím videu
jsme viděli, že pokud funkce nabývá svého
minima nebo maxima v bodě x rovno ‚a‘, tak bod ‚a‘ je
stacionárním bodem. Pak jsme ale také viděli,
že naopak to platit nemusí. To, že x rovno ‚a‘ je stacionární bod,
nemusí nutně znamenat, že funkce v tomto bodě
nabývá minima nebo maxima. V tomto videu zkusíme
přijít na nějaká kritéria, zejména taková kritéria, která využívají
derivaci funkce okolo bodu x rovno ‚a‘, která by nám řekla, zda je stacionární bod
bodem minima nebo maxima. Vraťme se nejprve k tomu,
co jsme viděli v předchozím videu. Viděli jsme, že v tomto bodě
funkce nabývá svého maxima. Tento stacionární bod
jsme označili x₀ a stacionárním bodem je proto,
že derivace je v něm nulová. Stacionární bod je totiž bod, ve kterém
je derivace nulová nebo nedefinovaná. Tohle je tedy
stacionární bod. Podívejme se, jak se bude derivace chovat,
když se k tomuto bodu budeme blížit. Aby šlo o bod maxima, tak funkce musí
být rostoucí, když se k němu blížíme. To, že funkce je rostoucí, můžeme také
říci tak, že sklon funkce je kladný. Sklon se sice mění,
ale je stále kladný, což znamená,
že funkce roste. To, že sklon je kladný, znamená,
že derivace je větší než 0, když se blížíme
k našemu bodu. Co se stane, když přejdeme
přes tento bod? Přímo v tomto bodě
je sklon nulový, ale jak přes tento bod přejdeme,
co se musí stát, aby šlo o bod maxima? Funkční hodnoty
musí klesat. Když funkční hodnoty klesají, tak to
znamená, že sklon funkce je záporný, což znamená, že
derivace je záporná. Vypadá to tedy, že jsme
našli pěkné kritérium, pomocí kterého určíme, zda funkce
ve stacionárním bodě nabývá maxima. Řekněme tedy,
že máme stacionární bod ‚a‘. Funkce v tomto bodě
nabývá svého maxima, pokud f(x) s čárkou změní
znaménko z kladného na záporné při průchodu
bodem x rovno ‚a‘. To je přesně to,
k čemu zde došlo. Ověřme, že k tomu dochází i v
druhém bodě maxima, který je zde. Když se k tomuto
bodu blížíme, funkce roste, což znamená,
že sklon je kladný. Sklon je
různě kladný, protože se mění, je stále strmější
a strmější, neboli víc a víc kladný. Je ale určitě kladný
až do tohoto bodu. Po průchodu tímto bodem
se z něho stává záporný sklon. Přímo v tomto bodě
sklon není definovaný, ale při průchodu naším stacionárním bodem
změnil znaménko z kladného na záporné. Oba tyto body tedy splňují
naše kritérium pro bod maxima. Toto kritérium tak zatím
vypadá docela dobře. Nyní ověřme, že tento bod, o kterém z
minulého videa víme, že je stacionární... Označme ho... Myslím, že to byl... Tady bylo x₀, tady x₁ a tady x₂. Tady bylo x₁, zde bylo x₂, takže to bude
bod x₃. Ověřme, že tento bod
nesplňuje naše kritérium. Je totiž vidět, že se
nejedná o maximum. Když se k tomuto bodu blížíme,
sklon funkce je záporný. Po průchodu naším bodem je
sklon stále záporný, funkce stále klesá. Nedochází ke změně znaménka,
a tak tento bod nesplňuje naše kritérium, což je dobře. Nyní zkusme přijít na nějaké
kritérium i pro bod minima. Myslím, že už víte,
co bude asi následovat. V předchozím videu jsme zjistili,
že toto je bod minima. Už od pohledu vidíme,
že je to lokální minimum. Jak vypadá sklon,
když se blížíme k tomuto bodu? Když se k němu blížíme,
tak funkce klesá a její sklon je záporný. f(x) s čárkou je méně než 0,
když se blížíme k našemu bodu. A jakmile bodem
projdeme... Nešlo by o bod minima,
kdyby funkce stále klesala, funkce teď musí růst. Nakreslím to tou
stejnou zelenou. Ihned po průchodu bodem
funkce začíná opět růst, tedy f(x) s čárkou
je větší než 0. Tohle tedy vypadá jako
dobré kritérium pro bod minima. f(x) s čárkou mění při průchodu bodem ‚a‘
znaménko ze záporného na kladné. Máme-li nějaký
stacionární bod ‚a‘, tak funkce v bodě ‚a‘
nabývá svého minima, pokud derivace funkce mění při průchodu
bodem ‚a‘ znaménko ze záporného na kladné. Ze záporného
na kladné. Opět můžeme vidět, že tento stacionární
bod x₃ nesplňuje toto kritérium, protože sklon je
nejdřív záporný, potom je přímo v tomto bodě nulový
a pak zase záporný. Nejedná se tedy o
bod minima ani maxima.