Řešený příklad: hledání lokálních extrémů funkce

Máme funkci g(x), která se rovná (x na čtvrtou) minus (x na pátou). Chceme zjistit, aniž bychom kreslili graf funkce g... Chceme zjistit, ve kterých bodech x má funkce g(x) lokální maximum. Abychom si připomněli, co je lokální maximum, tak si sem nakreslím nějakou smyšlenou funkci. Lokálního maxima funkce nabývá... Můžeme to zjistit pohledem na graf. Toto vypadá jako lokální maximum, vypadá to jako vršek hory nebo kopce. Všechny tyto body vypadají jako lokální maxima. Co mají společného? V grafu se ve všech těchto bodech funkce mění z rostoucí na klesající. Nebo se dá také říct, že první derivace se mění z kladné na zápornou. Když se podíváme na tento interval, tak g s čárkou je větší než 0. Na dalším intervalu, kde funkce klesá, je ‚g‘ s čárkou menší než 0. Co nás skutečně zajímá je, kdy je ‚g‘ s čárkou… Zajímají nás lokální maxima, což je v zásadě totéž jako ptát se, kdy se hodnota g s čárkou mění z kladné na zápornou? Tedy kdy se z… Napsal jsem to špatně. ...z ‚g‘ s čárkou větší než 0 stane ‚g‘ s čárkou menší než 0. Hodnoty, na které bychom se měli zaměřit, jsou stacionární body. Ve stacionárních bodech je g s čárkou buď rovna 0, nebo není definovaná. Tak se zamysleme, kde je g(x) s čárkou rovna 0? g(x) s čárkou se rovná 0, když... Tak si spočtěme derivaci g(x). Použijeme na to pravidlo pro derivaci mocniny. 4 krát (x na třetí) minus 5 krát (x na čtvrtou) se rovná 0. Z toho můžeme vytknout x na třetí, čímž dostaneme, že (x na třetí) krát (4 minus 5 krát x) se rovná 0. Toto platí pro x rovno 0. Raději to rozepíšu. Toto platí, když je x na třetí rovno 0 nebo (4 minus 5 krát x) je rovno 0. Pro x na třetí platí, že bude rovno 0, když bude x rovno 0. (4 minus 5 krát x) rovno 0... K oběma stranám přičteme 5 krát x, dostaneme, že 4 je rovno 5 krát x. Obě strany teď vydělíme číslem 5 a získáme, že x je rovno 4 lomeno 5. Toto jsou tedy dva body, kde je derivace rovna 0. Existují nějaké body, kde derivace není definovaná? Naší funkcí je mnohočlen, její derivací je opět mnohočlen, tudíž je definována pro všechna reálná čísla. Toto jsou tedy naše dva stacionární body. Teď se podívejme, jak se g s čárkou chová na okolí těchto bodů. Nakreslím si zde číselnou osu, abychom si to lépe představili. Tak tady je číselná osa. Zajímají nás body 0 a (4 lomeno 5). Řekněme, že zde je −1, tady 0 a tohle bude 1. Jeden stacionární bod máme v... Udělám to růžovou. ...jeden stacionární bod je bod x rovno 0. Druhý stacionární bod je bod x rovno (4 lomeno 5). To je zhruba tady. Tady bude 4 lomeno 5. Teď se zamysleme, jaké hodnoty má funkce g s čárkou na těchto intervalech. Tyto stacionární body jsou jediná místa, kde může g s čárkou změnit znaménko. Zamysleme se nejdřív nad tímto… Jen si najdu nějakou novou barvu. ...zamysleme se nad intervalem od minus nekonečna do nuly. Jde o otevřený interval od minus nekonečna do nuly. Z toho jednoduše vybereme hodnotu. Zkusme −1, ta se snadno vyčíslí. Bude to 4 krát (−1) na třetí, to je dohromady 4 krát (−1), minus 5 krát (−1) na čtvrtou, tedy 5 krát 1. Dohromady to bude −4 minus 5, což je −9, takže v tomto bodě je g(x) s čárkou rovna −9. Víme tedy, že na celém tomto intervalu, protože je nalevo od stacionárního bodu, je g(x) s čárkou menší než 0. Naše funkce tedy na tomto intervalu klesá. Víme, že potřebujeme, aby se funkce změnila z rostoucí na klesající. Už teď je jasné, že v tomto stacionárním bodě to nemůže nastat, protože klesáme už nalevo od něj. Zamysleme se nad tím, co se děje na ostatních intervalech. Na intervalu mezi 0 a (4 lomeno 5)... To je tento interval, mezi 0 a (4 lomeno 5). Vyberme si nějaké číslo z tohoto intervalu. Vyberme si například 1 lomeno 2, to by mohlo být jednoduché. Vyčísleme hodnotu g s čárkou v bodě (1 lomeno 2). g(1 lomeno 2) s čárkou se rovná 4 krát (1 lomeno 2) na třetí... (1 lomeno 2) na třetí je 1 lomeno 8, takže zde bude 4 lomeno 8, což je jen 1 lomeno 2, minus 5 krát (1 lomeno 2) na čtvrtou, což je 5 lomeno 16. Toto se rovná (8 lomeno 16) minus (5 lomeno 16), a to se rovná 3 lomeno 16. Důležité ale je, že jde o kladnou hodnotu, takže na tomto modrém intervalu… (4 lomeno 5) napíšu jinou barvou, aby bylo jasné, že nepatří do toho intervalu… Na tomto světle modrém intervalu mezi 0 a (4 lomeno 5) je g(x) s čárkou větší než 0, takže víme, že funkce je rostoucí. Podívejme se tedy, co se děje napravo. Nejjednodušší hodnota na vyčíslení bude 1. Tedy zkusme x rovno 1, které je v tomto intervalu. Když je x rovno 1... g(1) s čárkou se rovná 4 minus 5, a to je −1. g(x) s čárkou je tedy menší než 0. Takže naše funkce g(x) roste zde, potom tady klesá... Pardon, musím si dávat lepší pozor. Funkce g(x) zde klesá, protože její derivace je záporná. Dále funkce roste zde, protože je derivace kladná. Nakonec funkce klesá tady. Ve kterém stacionárním bodě se tedy funkce mění z rostoucí na klesající? To nastává v bodě x rovno (4 lomeno 5), takže funkce má lokální maximum v bodě (4 lomeno 5). Pokud by otázka byla, kde má funkce lokální minimum, tak to by bylo v bodě x rovno 0, kde se g(x) mění z klesající na rostoucí, ale zde jsme odpovídali na to, ve kterém bodě má funkce lokální maximum.