Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 4: Lokální extrémy- Minima a maxima funkcí - úvod
- Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace
- Řešený příklad: hledání lokálních extrémů funkce
- Chyby při určování extrémů funkce - příklad 1
- Chyby při určování extrémů funkce - příklad 2
- Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace
- Lokální minima a maxima funkce
- Opakování lokálních minim a maxim funkce
Řešený příklad: hledání lokálních extrémů funkce
V tomto videu určíme, ve kterém bodě nabývá funkce g(x)=x⁴-x⁵ lokálního maxima, a to tak, že se podíváme, na kterých intervalech je g' kladná a záporná.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme funkci g(x), která se rovná
(x na čtvrtou) minus (x na pátou). Chceme zjistit, aniž bychom
kreslili graf funkce g... Chceme zjistit, ve kterých bodech x
má funkce g(x) lokální maximum. Abychom si připomněli,
co je lokální maximum, tak si sem nakreslím
nějakou smyšlenou funkci. Lokálního maxima
funkce nabývá... Můžeme to zjistit
pohledem na graf. Toto vypadá jako lokální maximum,
vypadá to jako vršek hory nebo kopce. Všechny tyto body
vypadají jako lokální maxima. Co mají společného? V grafu se ve všech těchto bodech
funkce mění z rostoucí na klesající. Nebo se dá také říct, že první derivace
se mění z kladné na zápornou. Když se podíváme na tento interval,
tak g s čárkou je větší než 0. Na dalším intervalu, kde funkce klesá,
je ‚g‘ s čárkou menší než 0. Co nás skutečně zajímá je,
kdy je ‚g‘ s čárkou… Zajímají nás
lokální maxima, což je v zásadě
totéž jako ptát se, kdy se hodnota g s čárkou
mění z kladné na zápornou? Tedy kdy se z… Napsal jsem
to špatně. ...z ‚g‘ s čárkou větší než 0
stane ‚g‘ s čárkou menší než 0. Hodnoty, na které bychom se měli zaměřit,
jsou stacionární body. Ve stacionárních bodech je g s čárkou
buď rovna 0, nebo není definovaná. Tak se zamysleme,
kde je g(x) s čárkou rovna 0? g(x) s čárkou
se rovná 0, když... Tak si spočtěme
derivaci g(x). Použijeme na to pravidlo
pro derivaci mocniny. 4 krát (x na třetí) minus
5 krát (x na čtvrtou) se rovná 0. Z toho můžeme
vytknout x na třetí, čímž dostaneme, že (x na třetí) krát
(4 minus 5 krát x) se rovná 0. Toto platí pro
x rovno 0. Raději to rozepíšu. Toto platí, když je x na třetí rovno 0
nebo (4 minus 5 krát x) je rovno 0. Pro x na třetí platí, že bude
rovno 0, když bude x rovno 0. (4 minus 5 krát x) rovno 0... K oběma stranám
přičteme 5 krát x, dostaneme, že
4 je rovno 5 krát x. Obě strany teď
vydělíme číslem 5 a získáme, že
x je rovno 4 lomeno 5. Toto jsou tedy dva body,
kde je derivace rovna 0. Existují nějaké body,
kde derivace není definovaná? Naší funkcí je mnohočlen,
její derivací je opět mnohočlen, tudíž je definována
pro všechna reálná čísla. Toto jsou tedy naše
dva stacionární body. Teď se podívejme, jak se g s čárkou
chová na okolí těchto bodů. Nakreslím si zde číselnou osu,
abychom si to lépe představili. Tak tady je
číselná osa. Zajímají nás body
0 a (4 lomeno 5). Řekněme, že zde je −1,
tady 0 a tohle bude 1. Jeden stacionární
bod máme v... Udělám to
růžovou. ...jeden stacionární bod
je bod x rovno 0. Druhý stacionární bod je
bod x rovno (4 lomeno 5). To je zhruba tady. Tady bude
4 lomeno 5. Teď se zamysleme, jaké hodnoty má
funkce g s čárkou na těchto intervalech. Tyto stacionární body jsou jediná místa,
kde může g s čárkou změnit znaménko. Zamysleme se nejdřív
nad tímto… Jen si najdu nějakou
novou barvu. ...zamysleme se nad intervalem
od minus nekonečna do nuly. Jde o otevřený interval
od minus nekonečna do nuly. Z toho jednoduše
vybereme hodnotu. Zkusme −1,
ta se snadno vyčíslí. Bude to 4 krát (−1) na třetí,
to je dohromady 4 krát (−1), minus 5 krát (−1) na čtvrtou,
tedy 5 krát 1. Dohromady to bude
−4 minus 5, což je −9, takže v tomto bodě
je g(x) s čárkou rovna −9. Víme tedy, že na celém tomto intervalu,
protože je nalevo od stacionárního bodu, je g(x) s čárkou
menší než 0. Naše funkce tedy na
tomto intervalu klesá. Víme, že potřebujeme, aby se funkce
změnila z rostoucí na klesající. Už teď je jasné, že v tomto
stacionárním bodě to nemůže nastat, protože klesáme
už nalevo od něj. Zamysleme se nad tím,
co se děje na ostatních intervalech. Na intervalu mezi
0 a (4 lomeno 5)... To je tento interval,
mezi 0 a (4 lomeno 5). Vyberme si nějaké číslo
z tohoto intervalu. Vyberme si například 1 lomeno 2,
to by mohlo být jednoduché. Vyčísleme hodnotu
g s čárkou v bodě (1 lomeno 2). g(1 lomeno 2) s čárkou se rovná
4 krát (1 lomeno 2) na třetí... (1 lomeno 2) na třetí
je 1 lomeno 8, takže zde bude 4 lomeno 8,
což je jen 1 lomeno 2, minus 5 krát (1 lomeno 2) na čtvrtou,
což je 5 lomeno 16. Toto se rovná (8 lomeno 16)
minus (5 lomeno 16), a to se rovná
3 lomeno 16. Důležité ale je,
že jde o kladnou hodnotu, takže na tomto
modrém intervalu… (4 lomeno 5) napíšu jinou barvou, aby
bylo jasné, že nepatří do toho intervalu… Na tomto světle modrém intervalu
mezi 0 a (4 lomeno 5) je g(x) s čárkou
větší než 0, takže víme,
že funkce je rostoucí. Podívejme se tedy,
co se děje napravo. Nejjednodušší hodnota
na vyčíslení bude 1. Tedy zkusme x rovno 1,
které je v tomto intervalu. Když je x rovno 1... g(1) s čárkou se rovná
4 minus 5, a to je −1. g(x) s čárkou je
tedy menší než 0. Takže naše funkce g(x)
roste zde, potom tady klesá... Pardon, musím
si dávat lepší pozor. Funkce g(x) zde klesá,
protože její derivace je záporná. Dále funkce roste zde,
protože je derivace kladná. Nakonec funkce klesá tady. Ve kterém stacionárním bodě se
tedy funkce mění z rostoucí na klesající? To nastává v bodě
x rovno (4 lomeno 5), takže funkce má lokální maximum
v bodě (4 lomeno 5). Pokud by otázka byla,
kde má funkce lokální minimum, tak to by bylo v bodě x rovno 0,
kde se g(x) mění z klesající na rostoucí, ale zde jsme odpovídali na to,
ve kterém bodě má funkce lokální maximum.