Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 4: Lokální extrémy- Minima a maxima funkcí - úvod
- Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace
- Řešený příklad: hledání lokálních extrémů funkce
- Chyby při určování extrémů funkce - příklad 1
- Chyby při určování extrémů funkce - příklad 2
- Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace
- Lokální minima a maxima funkce
- Opakování lokálních minim a maxim funkce
Chyby při určování extrémů funkce - příklad 2
V tomto videu se podíváme na to, jak se někdo snažil najít extrémy zadané funkce a zda při tom udělal nějaké chyby.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Erin měla
za úkol zjistit, zda funkce f(x) rovna (x na druhou minus
1) na (2 lomeno 3) má lokální maximum. Toto je
její řešení. Tady jsou její jednotlivé kroky
a pak se na konci ptají: „Postupovala Erin správně?
Pokud ne, v čem udělala chybu?“ Zastavte si teď video a
zkuste na to přijít sami. Má Erin pravdu,
nebo udělala chybu? A v čem onu
chybu udělala? Teď to
vyřešme spolu. Zde říká, že takhle
vypadá derivace. Já derivaci spočítám
napravo od její práce. Takže f(x) s čárkou, na to použijeme
vzorec pro derivaci složené funkce. Nejdřív zderivujeme
vnější funkci podle té vnitřní, takže to bude (2 lomeno 3) krát
(x na druhou minus 1) na (2/3 minus 1), tedy na minus (1 lomeno 3), krát derivace
vnitřní funkce podle x. Derivace z (x na druhou minus 1)
podle x je 2 krát x. Je tady
požární hydrant... Ne hydrant, to by byl pořádně
hlučný hydrant, ale venku je požární vůz. Myslím ale,
že už je pryč. Tohle vypadá jako derivace,
kterou spočítala Erin, protože když vynásobíme 2 krát 2 krát x,
tak opravdu vyjde 4 krát x. Ve jmenovateli
je tahle 3 a (x na druhou minus 1)
na minus (1 lomeno 3), to je totéž jako (x na druhou minus 1)
na (1 lomeno 3) ve jmenovateli, což je totéž jako třetí odmocnina
z (x na druhou minus 1). Tohle tedy
vypadá dobře. Je to skutečně derivace
zadané funkce. V kroku 2 máme, že jediným
stacionárním bodem je bod x rovno 0. Podívejme
se na to. Stacionární bod je takový bod, ve kterém
je první derivace buď rovna 0, nebo není definovaná. Skutečně se zdá,
že f(0) s čárkou... Je to 4 krát 0, což je 0, lomeno
(3 krát třetí odmocnina z (0 minus 1)), tedy z −1. Tohle je 3 krát −1, takže
dohromady máme 0 lomeno −3, a to je skutečně
rovno 0. Toto je
tedy pravda. Jeden stacionární
bod je x rovno 0. Otázkou je, zda to je
jediný stacionární bod. Ve stacionárním bodě je derivace
buď nulová, nebo není definovaná. Toto je jediný bod,
v němž je derivace rovna 0, ale dokážeme najít nějaké x,
pro které derivace není definovaná? Co bychom museli dosadit,
aby byl jmenovatel derivace roven 0? Kdyby bylo
(x na druhou minus 1) rovno 0, tak by tu byla
třetí odmocnina z 0, čímž bychom ve
jmenovateli dostali 0. Kdy bude (x na druhou
minus 1) rovno 0? To nastane pro
x rovná se +1 nebo −1. Tohle jsou také
stacionární body, protože v nich f(x) s čárkou
není definovaná. Krok 2 mi tedy
nepřijde správně. Je pravda, že jedním ze
stacionárních bodů je bod x rovno 0, ale není to jediný
stacionární bod, takže sem
napíšu tohle. Tohle je důležité,
protože... Možná si říkáte, co je tak hrozného
na opomenutí těchto stacionárních bodů. Erin našla jeden, třeba je to
zrovna bod lokálního maxima. Jak už jsme ale
řekli i v jiných videích, abychom nalezli lokální
extrémy pomocí první derivace a našli body, ve kterých je
první derivace nulová... Abychom ověřili, zda jde o
bod lokálního maxima nebo minima, musíme zjistit hodnoty
na obou stranách daného bodu a podívat se, zda se
znaménko derivace změnilo. Zároveň dejte pozor,
že nedosazujete hodnotu, která už je za dalším
stacionárním bodem, protože stacionární body jsou místa, ve
kterých derivace může změnit znaménko. Podívejme se, co Erin
udělala v kroku 3. V kroku 3 skutečně zkouší hodnoty na obou
stranách jediného stacionárního bodu, který se jí
podařilo najít. Problémem a důvodem,
proč je tohle trochu pochybné, je to, že tohle už je za
dalším stacionárním bodem, který je menší než 0. Tohle je také za dalším stacionárním
bodem, který je větší než 0. Toto je větší než
stacionární bod 1 a tohle je méně než
stacionární bod −1. Měla zkusit body
x rovno 0,5 a x rovno −0,5. Měla udělat tohle. Měla zkusit třeba −2, −1,
−(1 lomeno 2), 0, (1 lomeno 2), potom 1, o které víme,
že derivace zde není definovaná, a nakonec +2. Tohle je totiž kandidát
na lokální extrém, tohle je kandidát
na lokální extrém a tohle je také kandidát
na lokální extrém. Musíte se podívat, ve kterých z těchto
bodů dochází ke změně znaménka derivace. Musíte vyzkoušet intervaly mezi
těmito stacionárními body. Řekl bych, že hlavní chybu
Erin udělala v kroku 2. Nenašla všechny
stacionární body.