Chyby při určování extrémů funkce - příklad 2

Erin měla za úkol zjistit, zda funkce f(x) rovna (x na druhou minus 1) na (2 lomeno 3) má lokální maximum. Toto je její řešení. Tady jsou její jednotlivé kroky a pak se na konci ptají: „Postupovala Erin správně? Pokud ne, v čem udělala chybu?“ Zastavte si teď video a zkuste na to přijít sami. Má Erin pravdu, nebo udělala chybu? A v čem onu chybu udělala? Teď to vyřešme spolu. Zde říká, že takhle vypadá derivace. Já derivaci spočítám napravo od její práce. Takže f(x) s čárkou, na to použijeme vzorec pro derivaci složené funkce. Nejdřív zderivujeme vnější funkci podle té vnitřní, takže to bude (2 lomeno 3) krát (x na druhou minus 1) na (2/3 minus 1), tedy na minus (1 lomeno 3), krát derivace vnitřní funkce podle x. Derivace z (x na druhou minus 1) podle x je 2 krát x. Je tady požární hydrant... Ne hydrant, to by byl pořádně hlučný hydrant, ale venku je požární vůz. Myslím ale, že už je pryč. Tohle vypadá jako derivace, kterou spočítala Erin, protože když vynásobíme 2 krát 2 krát x, tak opravdu vyjde 4 krát x. Ve jmenovateli je tahle 3 a (x na druhou minus 1) na minus (1 lomeno 3), to je totéž jako (x na druhou minus 1) na (1 lomeno 3) ve jmenovateli, což je totéž jako třetí odmocnina z (x na druhou minus 1). Tohle tedy vypadá dobře. Je to skutečně derivace zadané funkce. V kroku 2 máme, že jediným stacionárním bodem je bod x rovno 0. Podívejme se na to. Stacionární bod je takový bod, ve kterém je první derivace buď rovna 0, nebo není definovaná. Skutečně se zdá, že f(0) s čárkou... Je to 4 krát 0, což je 0, lomeno (3 krát třetí odmocnina z (0 minus 1)), tedy z −1. Tohle je 3 krát −1, takže dohromady máme 0 lomeno −3, a to je skutečně rovno 0. Toto je tedy pravda. Jeden stacionární bod je x rovno 0. Otázkou je, zda to je jediný stacionární bod. Ve stacionárním bodě je derivace buď nulová, nebo není definovaná. Toto je jediný bod, v němž je derivace rovna 0, ale dokážeme najít nějaké x, pro které derivace není definovaná? Co bychom museli dosadit, aby byl jmenovatel derivace roven 0? Kdyby bylo (x na druhou minus 1) rovno 0, tak by tu byla třetí odmocnina z 0, čímž bychom ve jmenovateli dostali 0. Kdy bude (x na druhou minus 1) rovno 0? To nastane pro x rovná se +1 nebo −1. Tohle jsou také stacionární body, protože v nich f(x) s čárkou není definovaná. Krok 2 mi tedy nepřijde správně. Je pravda, že jedním ze stacionárních bodů je bod x rovno 0, ale není to jediný stacionární bod, takže sem napíšu tohle. Tohle je důležité, protože... Možná si říkáte, co je tak hrozného na opomenutí těchto stacionárních bodů. Erin našla jeden, třeba je to zrovna bod lokálního maxima. Jak už jsme ale řekli i v jiných videích, abychom nalezli lokální extrémy pomocí první derivace a našli body, ve kterých je první derivace nulová... Abychom ověřili, zda jde o bod lokálního maxima nebo minima, musíme zjistit hodnoty na obou stranách daného bodu a podívat se, zda se znaménko derivace změnilo. Zároveň dejte pozor, že nedosazujete hodnotu, která už je za dalším stacionárním bodem, protože stacionární body jsou místa, ve kterých derivace může změnit znaménko. Podívejme se, co Erin udělala v kroku 3. V kroku 3 skutečně zkouší hodnoty na obou stranách jediného stacionárního bodu, který se jí podařilo najít. Problémem a důvodem, proč je tohle trochu pochybné, je to, že tohle už je za dalším stacionárním bodem, který je menší než 0. Tohle je také za dalším stacionárním bodem, který je větší než 0. Toto je větší než stacionární bod 1 a tohle je méně než stacionární bod −1. Měla zkusit body x rovno 0,5 a x rovno −0,5. Měla udělat tohle. Měla zkusit třeba −2, −1, −(1 lomeno 2), 0, (1 lomeno 2), potom 1, o které víme, že derivace zde není definovaná, a nakonec +2. Tohle je totiž kandidát na lokální extrém, tohle je kandidát na lokální extrém a tohle je také kandidát na lokální extrém. Musíte se podívat, ve kterých z těchto bodů dochází ke změně znaménka derivace. Musíte vyzkoušet intervaly mezi těmito stacionárními body. Řekl bych, že hlavní chybu Erin udělala v kroku 2. Nenašla všechny stacionární body.