Chyby při určování extrémů funkce - příklad 1

Pamela měla za úkol zjistit, kde má funkce h(x) rovno x na třetí minus 6(x na druhou) plus 12x lokální extrém. Toto je její řešení. V kroku 1 to vypadá, že zkoušela spočítat derivaci. V kroku 2 se snažila zjistit, kdy je derivace rovna nule, přičemž jí vyšlo, že to nastane v bodě x rovno 2, takže řekla, že to je stacionární bod. V kroku 3 došla k závěru, že h má v tomto bodě lokální extrém. Postupovala Pamela správně? Pokud ne, kde udělala chybu? Zastavte si video, zkuste si příklad spočítat a rozhodněte, zda Pamela postupovala správně. Já to teď zkusím spočítat vedle jejího řešení. Nejprve spočítám derivaci. h(x) s čárkou... Půjde jen o vzorec pro derivaci mocniny. ...se rovná 3 krát (x na druhou), což je derivace x na třetí... 2 krát −6 je −12, takže minus 12 krát x a derivace (12 krát x) je +12. Z tohoto výrazu můžeme vytknout 3, čímž dostaneme, že to je 3 krát (x na druhou minus 4 krát x plus 4). Tahle část se skutečně rovná (x minus 2) na druhou, takže je to dohromady rovno 3 krát (x minus 2) na druhou. Pamelin první krok je tedy v pořádku. Nyní krok 2. Řešením rovnice h(x) s čárkou se rovná 0 je bod x rovná se 2. Ano, to je pravda. Když si vezmeme 3 krát (x minus 2) na druhou, což se rovná h(x) s čárkou, tedy první derivaci funkce h, a položíme to rovno nule, tak to bude platit pouze pro x rovno 2. Každý bod, ve kterém je první derivace buď rovna nule, nebo v něm není definovaná, je skutečně stacionárním bodem. Tento krok je tedy v pořádku. V kroku 3 máme, že h má lokální extrém v bodě x rovno 2. Tady Pamela učinila odvážný závěr. Tvrdí, že protože derivace je v daném bodě nulová, tak jde o bod lokálního extrému. Podívejme se, zda lze tento závěr opravdu udělat. Aby měla funkce lokální extrém, tak musí její graf vypadat nějak takto, přičemž lokální extrém by pak byl zde. V tomto případě je sklon nejprve kladný, poté se v tomto bodě rovná nule a následně je záporný. Lokální extrém může nastat ještě v jednom případě. Toto je případ lokálního maxima, ale také můžeme mít lokální minimum, ke kterému dochází zde. Přímo v bodě lokálního minima je sklon funkce nulový, ale předtím je záporný a při průchodu tímto bodem se mění na kladný. Někdy se ovšem může stát, že první derivace je rovna nule, ale přesto nejde o bod lokálního extrému. Můžeme totiž mít bod, který vypadá například takhle. V tomto bodě je sklon funkce, tedy její derivace, rovna nule... První derivace je zde rovna nule, ale všimněme si, že sklon je nejprve kladný, pak je tady roven nule, ale následně je zase kladný. Nemůžeme tedy dojít k tomu, že jen z toho důvodu, že derivace je rovna nule, jde určitě o bod lokálního extrému. Určitě to je stacionární bod, takže krok 2 je správně, ale abychom mohli učinit tento závěr, tak se musíme podívat, jak se derivace chová před a po průchodu tímto bodem, a ověřit, že při průchodu daným bodem mění znaménko. Tak to teď zkusme udělat. Připravme si na to tabulku. Nakreslím si zde menší tabulku. Udělám to trochu rovnější. Do sloupců napíšu x a h(x) s čárkou. Víme, že pro x rovno 2 je h(2) s čárkou 0. Jde o náš stacionární bod. Zkusme teď třeba, nevím... Podívejme se, co se děje, když je x rovno 1 a když je x rovno 3. Vybral jsem nějaký menší a nějaký větší bod než 2. Vyjde nám... Když se x rovná 1, tak h(1) s čárkou je 3 krát (1 minus 2) na druhou. 1 minus 2 je −1, tohle na druhou nám dá +1 a ještě krát 3, to pořád vyjde kladné. Pro x rovno 3 máme (3 minus 2) na druhou krát 3, což se také rovná 3. Jde tedy o ten případ, který jsem tu před chvilkou kreslil. Sklon je kladný před průchodem stacionárním bodem, ve kterém je roven nule, načež je opět kladný. Z tohoto důvodu je třeba provést tohle ověření, abychom určili, zda jde o lokální extrém. Vyšlo nám tedy, že toto není bod lokálního extrému. Nejde o bod lokálního maxima ani minima. Pamela tak nepostupovala správně, protože udělala chybu v kroku 3. Aby mohla učinit tento závěr, tak by se musela podívat na chování první derivace před a po průchodu tímto bodem.