If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Diferenciální počet

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5

Lekce 4: Lokální extrémy
Matematika
Diferenciální počet
Vyšetřování průběhu funkcí
Lokální extrémy
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace

Učebna Google
Hledání bodů, ve kterých funkce nabývá nějaký svůj extrém, pomocí první derivace zahrnuje několik kroků. Tento postup bychom si tedy měli dopodrobna rozebrat, abychom pak něco nezapomněli udělat nebo nedělali chyby.
Co kdybychom ti řekli, že jen z předpisu funkce lze odhalit všechna její lokální minima a maxima? Je tomu tak! Stačí nám k tomu první derivace. Ukážeme ti, jak to udělat tak, aby nedošlo k žádným chybám ani abys na nic nezapomněl/a.

Příklad: Hledání lokálních extrémů funkce f(x)=x2x−1

Krok 1: Výpočet f′(x)
K nalezení bodů, ve kterých má f své lokální extrémy, musíme použít f′. Začneme tedy zderivováním funkce f:
f′(x)=x2−2x(x−1)2
Krok 2: Nalezení stacionárních bodů a bodů, kde f není definovaná.
Stacionární body funkce f jsou x-ové hodnoty, které jsou uvnitř definičního oboru a platí, že f′(x)=0, nebo f′ není definovaná. Navíc bychom se měli ještě podívat na body, kde funkce f není definovaná.
Na těchto bodech je důležité to, že znaménko f′ se mezi dvěma těmito po sobě jdoucími body nemění.
V našem případě jde o body x=0, x=1 a x=2.
Krok 3: Nalezení intervalů, na kterých funkce roste nebo klesá
Toto lze udělat mnoha způsoby, my ale máme rádi tabulku s intervaly. V této tabulce si pro každý interval, jehož koncovými body jsou body nalezené v Kroku 2, vybereme jednu zkušební hodnotu x z tohoto intervalu a podíváme se, jaké znaménko má derivace pro tuto hodnotu.
Takhle vypadá tabulka s intervaly pro naši funkci:
IntervalZkušební hodnota xf′(x)Závěr
(−∞;0)x=−1f′(−1)=0,75>0f roste ↗
(0;1)x=0,5f′(0,5)=−3<0f klesá ↘
(1;2)x=1,5f′(1,5)=−3<0f klesá ↘
(2;∞)x=3f′(3)=0,75>0f roste ↗
Krok 4: Nalezení bodů lokálních extrémů
Když už teď víme, na kterých intervalech funkce f roste nebo klesá, můžeme najít body jejích lokálních extrémů. Bod lokálního extrému bude bod, ve kterém je f definovaná a f′ mění znaménko.
V našem případě:
  • f roste před bodem x=0 a poté klesá, přičemž v bodě x=0 je definovaná. Bod x=0 je tedy bod lokálního maxima funkce f.
  • f klesá před bodem x=2 a poté roste, přičemž v bodě x=2 je definovaná. Bod x=2 je tedy bodem lokálního minima funkce f.
  • V bodě x=1 funkce f není definovaná, takže zde nemá žádný extrém.
Příklad 1
Honza měl za úkol zjistit, ve kterých bodech má funkce f(x)=2x3+18x2+54x+50 lokální extrém. Toto je jeho řešení:
Krok 1: f′(x)=6(x+3)2
Krok 2: f′(x)=0 pro x=−3.
Krok 3: f má lokální extrém v bodě x=−3.
Počítal Honza správně? Pokud ne, nalezneš chybu?
Vyber 1 odpověď:

Častá chyba: Neprověření stacionárních bodů

Pamatuj si: Nesmíme předpokládat, že stacionární bod je bodem lokálního extrému. U každého ze stacionárních bodů musíme ověřit, zda je v něm funkce definovaná a zda v něm derivace mění znaménko.
Příklad 2
Eliška měla za úkol zjistit, zda má funkce g(x)=(x2−1)2/3 nějaké lokální maximum. Toto je její řešení:
Krok 1: g′(x)=4x3x2−13
Krok 2: Stacionárním bodem je bod x=0.
Krok 3:
IntervalZkušební hodnota xg′(x)Závěr
(−∞;0)x=−3g′(3)=−2<0g klesá ↘
(0;∞)x=3g′(3)=2>0g roste ↗
Krok 4: g před bodem x=0 klesá a poté roste, takže funkce má lokální minimum v bodě x=0 a nemá žádné lokální maximum.
Počítala Eliška správně? Pokud ne, nalezneš chybu?
Vyber 1 odpověď:

Častá chyba: Opomenutí bodů, ve kterých derivace není definovaná

Pamatuj si: Když hledáme intervaly, kde funkce roste a klesá, tak musíme hledat body, kde je derivace funkce rovna nule a body, kde funkce a její derivace nejsou definované. Pokud některý z těch bodů je zapomenut, tak výsledná tabulka bude pravděpodobně špatně.
Příklad 3
Kuba měl za úkol zjistit, zda má funkce h(x)=x2+1x2 nějaké lokální maximum. Toto je jeho řešení:
Krok 1: h′(x)=2(x4−1)x3
Krok 2: Stacionární body jsou x=−1 a x=1, a h je nedefinovaná v x=0.
Krok 3:
IntervalZkušební hodnota xh′(x)Závěr
(−∞;−1)x=−2h′(−2)=−3,75<0h klesá ↘
(−1;0)x=−0,5h′(−0,5)=15>0h roste ↗
(0;1)x=0,5h′(0,5)=−15<0h klesá ↘
(1;∞)x=2h′(2)=3,75>0h roste ↗
Krok 4: h před bodem x=0 roste a poté klesá, takže h má v bodě x=0 lokální maximum.
Počítal Kuba správně? Pokud ne, nalezneš chybu?
Vyber 1 odpověď:

Častá chyba: Nezkontrolování toho, zda bod leží v definičním oboru funkce

Pamatuj si: Když už jsme našli body, ve kterých funkce mění svůj směr, musíme ještě zkontrolovat, zda je funkce v těchto bodech definovaná, jinak nepůjde o bod lokálního extrému.

Procvič si používání první derivace k určení lokálních extrémů

Příklad 4
Označme f(x)=x3+6x2−15x+2.
Ve kterém bodě x má funkce f lokální maximum ?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 5
Máme polynomiální funkci g a víme, že její derivace je definovaná předpisem g′(x)=x(x+2)(x+4)2.
V kolika bodech má graf funkce g lokální maximum ?
Vyber 1 odpověď:

Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.