Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 4: Lokální extrémy- Minima a maxima funkcí - úvod
- Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace
- Řešený příklad: hledání lokálních extrémů funkce
- Chyby při určování extrémů funkce - příklad 1
- Chyby při určování extrémů funkce - příklad 2
- Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace
- Lokální minima a maxima funkce
- Opakování lokálních minim a maxim funkce
Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace
Hledání bodů, ve kterých funkce nabývá nějaký svůj extrém, pomocí první derivace zahrnuje několik kroků. Tento postup bychom si tedy měli dopodrobna rozebrat, abychom pak něco nezapomněli udělat nebo nedělali chyby.
Co kdybychom ti řekli, že jen z předpisu funkce lze odhalit všechna její lokální minima a maxima? Je tomu tak! Stačí nám k tomu první derivace. Ukážeme ti, jak to udělat tak, aby nedošlo k žádným chybám ani abys na nic nezapomněl/a.
Příklad: Hledání lokálních extrémů funkce f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction
Krok 1: Výpočet f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
K nalezení bodů, ve kterých má f své lokální extrémy, musíme použít f, prime. Začneme tedy zderivováním funkce f:
Krok 2: Nalezení stacionárních bodů a bodů, kde f není definovaná.
Stacionární body funkce f jsou x-ové hodnoty, které jsou uvnitř definičního oboru a platí, že f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, nebo f, prime není definovaná. Navíc bychom se měli ještě podívat na body, kde funkce f není definovaná.
Na těchto bodech je důležité to, že znaménko f, prime se mezi dvěma těmito po sobě jdoucími body nemění.
V našem případě jde o body x, equals, 0, x, equals, 1 a x, equals, 2.
Krok 3: Nalezení intervalů, na kterých funkce roste nebo klesá
Toto lze udělat mnoha způsoby, my ale máme rádi tabulku s intervaly. V této tabulce si pro každý interval, jehož koncovými body jsou body nalezené v Kroku 2, vybereme jednu zkušební hodnotu x z tohoto intervalu a podíváme se, jaké znaménko má derivace pro tuto hodnotu.
Takhle vypadá tabulka s intervaly pro naši funkci:
| Interval | Zkušební hodnota x | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Závěr |
|---|---|---|---|
| left parenthesis, minus, infinity, ;, 0, right parenthesis | x, equals, minus, 1 | f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0 | f roste \nearrow |
| left parenthesis, 0, ;, 1, right parenthesis | x, equals, 0, comma, 5 | f, prime, left parenthesis, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f klesá \searrow |
| left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis | x, equals, 1, comma, 5 | f, prime, left parenthesis, 1, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f klesá \searrow |
| left parenthesis, 2, ;, infinity, right parenthesis | x, equals, 3 | f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0 | f roste \nearrow |
Krok 4: Nalezení bodů lokálních extrémů
Když už teď víme, na kterých intervalech funkce f roste nebo klesá, můžeme najít body jejích lokálních extrémů. Bod lokálního extrému bude bod, ve kterém je f definovaná a f, prime mění znaménko.
V našem případě:
- f roste před bodem x, equals, 0 a poté klesá, přičemž v bodě x, equals, 0 je definovaná. Bod x, equals, 0 je tedy bod lokálního maxima funkce f.
- f klesá před bodem x, equals, 2 a poté roste, přičemž v bodě x, equals, 2 je definovaná. Bod x, equals, 2 je tedy bodem lokálního minima funkce f.
- V bodě x, equals, 1 funkce f není definovaná, takže zde nemá žádný extrém.
Častá chyba: Neprověření stacionárních bodů
Pamatuj si: Nesmíme předpokládat, že stacionární bod je bodem lokálního extrému. U každého ze stacionárních bodů musíme ověřit, zda je v něm funkce definovaná a zda v něm derivace mění znaménko.
Častá chyba: Opomenutí bodů, ve kterých derivace není definovaná
Pamatuj si: Když hledáme intervaly, kde funkce roste a klesá, tak musíme hledat body, kde je derivace funkce rovna nule a body, kde funkce a její derivace nejsou definované. Pokud některý z těch bodů je zapomenut, tak výsledná tabulka bude pravděpodobně špatně.
Častá chyba: Nezkontrolování toho, zda bod leží v definičním oboru funkce
Pamatuj si: Když už jsme našli body, ve kterých funkce mění svůj směr, musíme ještě zkontrolovat, zda je funkce v těchto bodech definovaná, jinak nepůjde o bod lokálního extrému.
Procvič si používání první derivace k určení lokálních extrémů
Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.