Úvod do stacionárních bodů funkce

Nakreslil jsem si žlutě tuto na první pohled šílenou funkci. Podívejme se, kdy tato funkce nabývá své maximální a minimální hodnoty. Pro účely tohoto videa předpokládejme, že graf této funkce jde stále dolů, jak se x-ové hodnoty zmenšují, a stejně tak že jde stále dolů, když jsou x-ové hodnoty větší než ‚x‘ v intervalu, který jsem nakreslil. Jakou maximální hodnotu nabývá naše funkce? Jen od pohledu můžeme vidět, že k tomu dojde v tomto bodě. Tuto hodnotu nazveme globální maximum, protože funkce nikdy nenabyde větší hodnotu než je tahle. Můžeme říci, že funkce nabývá svého globálního maxima v bodě x₀, protože funkční hodnota v bodě x₀ je větší než funkční hodnoty f(x), a to pro všechna ostatní x z definičního oboru. To je poměrně zřejmé, když se na to podíváme. Podívejme se, jestli najdeme i globální minimum. Ne, protože tato funkce může nabýt libovolně zápornou hodnotu. Její hodnoty se blíží k minus nekonečnu, když se x blíží k minus nekonečnu a když se x blíží k plus nekonečnu. Takže nemáme... Napíšu to. ...nemáme žádné globální minimum. Teď se vás zeptám na něco jiného. Má funkce nějaká lokální minima nebo lokální maxima? Minima je množné číslo od slova minimum a maxima je množné číslo od slova maximum. Má funkce nějaká lokální minima? Lokální minimum znamená, jak si asi dokážete představit, že funkční hodnota v daném bodě je menší než funkční hodnoty okolo toho bodu. Tento bod tedy vypadá jako lokální minimum. Nenapíšu vám teď úplně formální definici, ale můžeme to říci tak, že bod x₁ je bodem lokálního minima, pokud existuje takové okolí bodu x₁, na kterém je f(x₁) menší než f(x) pro všechna x v tomto okolí. Takové body se snadno poznají už od pohledu. Jde o nejnižší bod grafu funkce f v okolí daného bodu ‚x‘. Máme ještě nějaká další lokální minima? Vypadá to, že ne. A co lokální maxima? Tento bod... Nakreslím ho fialovou. Nebo raději ne, nechci lidi mást, tak radši touhle barvou. ...tento bod vypadá jako lokální maximum. Ne lox, to je něco úplně jiného. Lokální maximum. Můžeme tedy říci, že v bodě x₁... Pardon, v bodě x₂. V bodě x₂ má funkce lokální maximum, protože f(x₂) je větší než f(x) pro všechna x z okolí bodu x₂. Nemluvím úplně formálně, ale jen od pohledu vidíte, co tím myslím. To bychom tedy měli. Našli jsme všechna maxima a minima, kterým se dohromady říká extrémy funkce. Nyní se podívejme, jak tyto extrémy najít pomocí derivace funkce. Koukněme se na derivaci v každém z těchto bodů. Kdybych chtěl nakreslit tečnu v tomto prvním bodě... Udělám to jinou barvou než hnědou. ...kdybych chtěl nakreslit tečnu, tak by vypadala nějak takhle. Její směrnice je 0, takže f(x₀) s čárkou se rovná 0, protože směrnice tečny v tomto bodě je 0. A co tady? Tečna bude opět vypadat nějak takhle, takže f(x₁) s čárkou se také rovná 0. A jak to bude tady? V tomto bodě tečna není dobře definovaná. Když jdeme do našeho bodu, tak je sklon kladný, načež se hned stane záporným, takže f(x₁) s čárkou není definováno. Napíšu „nedefinováno“. Bude nás tedy zajímat... Nedělám tu formální důkaz, spíš chci, abyste získali nějakou intuici. Vidíme, že v bodě nějakého extrému... Nemluvím teď o případech, kdy je x krajním bodem intervalu. Aby bylo jasné, co tím teď myslím, když mluvím o krajních bodech intervalu, tak řekněme, že funkce je... Řekněme, že máme interval s tímto počátečním bodem a že funkce začíná v tomto bodě a pak pokračuje dál. Tady by bylo maximum, ale v krajním bodě. Nyní nebudeme mluvit o krajních bodech, budeme mluvit o bodech uvnitř intervalu nebo o bodech z neomezeného intervalu. Nemluvíme tedy o bodech jako jsou tyto, ale budou nás zajímat body uvnitř intervalu. Když tedy máme bod uvnitř zkoumaného intervalu, tak půjde o bod minima nebo maxima... Intuitivně jsme si to ukázali tady. ...pokud... Tedy když v bodě, který není krajním bodem intervalu, nastane minimum nebo maximum... Můžeme ho označit jako bod x rovná se ‚a‘. Když víme, že funkce má minimum nebo maximum v nějakém bodě x rovno ‚a‘, který není krajním bodem zkoumaného intervalu, tak nám to říká něco zajímavého, co už jsme intuitivně nahlédli, a to že derivace v bodě x rovno ‚a‘ je buď rovna 0, nebo není definovaná. Na našem grafu vidíme obě dvě možnosti. Zde je derivace nulová, tady taky a zde není derivace definovaná. Pro body, v nichž je derivace buď rovna 0, nebo není definovaná, máme vlastní název. Říkáme jim stacionární body. U naší funkce jsou stacionárními body x₀ a x₁, kde je derivace nulová, a také x₁, kde derivace není definovaná. Máme-li tedy nějaký bod, který není krajním bodem intervalu a v němž funkce nabývá minima nebo maxima, tak jde určitě o stacionární bod. Platí to ale i obráceně? Pokud najdeme nějaký stacionární bod, tedy bod, v němž je derivace rovna 0, nebo není definovaná, půjde o bod maxima nebo minima? Abychom si to představili, uvažme tento bod, který označím jako x₃. Když v tomto bodě nakreslíme tečnu a podíváme se na její směrnici, tak to vypadá, že f(x₃) s čárkou se rovná 0. Podle naší definice stacionárního bodu je tedy bod x₃ také stacionárním bodem, ale v tomto bodě zřejmě nenastává ani minimum, ani maximum. Takže bod minima nebo maxima, který není krajním bodem intervalu, je určitě stacionární bod, ale ve stacionárním bodě funkce ještě nemusí mít minimum nebo maximum. Aby to bylo jasné, tak v těchto bodech nastává minimum nebo maximum, ale tento bod, který je taky stacionární... Všechno jsou to stacionární body, ale toto není bod minima ani maxima. V dalším videu se podíváme, jak můžete rozhodnout, zda má funkce ve stacionárním bodě své minimum nebo maximum.