Věta o nabývání extrémů

Podívejme se na větu o nabývání extrémů, která vychází tak trochu ze selského rozumu. Ve všech takových větách je ale zábavné přemýšlet o krajních případech, o tom, proč je věta vyslovena zrovna takto, což nám dodá trochu více intuice. Věta o nabývání extrémů říká, že když máme nějakou funkci, která je spojitá na uzavřeném intervalu, řekněme na uzavřeném intervalu od ‚a‘ do ‚b‘... Když jde o uzavřený interval, tak to znamená, že zahrnuje krajní body ‚a‘ a ‚b‘. Proto tu máme hranaté závorky namísto těch kulatých. …pak funkce f nabývá globálního maxima a globálního minima, což znamená, že existuje… Toto je logický symbol pro to, že něco existuje. ...existuje globální maximum funkce f na tomto intervalu a také globální minimum funkce f na tomto intervalu. Tak se nad tím trochu zamysleme. Nejspíš je to pro vás celkem intuitivní. Asi si říkáte: „Proč o tom museli vyslovovat větu?“ „Proč tu vůbec musí být předpoklad spojitosti?“ Hned se dostaneme k tomu, proč je spojitost důležitá. Toto je tedy má osa x, toto je má osa y. Nakresleme interval. Interval je od ‚a‘ do ‚b‘. Řekněme, že tohle je ‚a‘ a že tady bude ‚b‘. Řekněme, že toto je f(a). Tady bude f(a). Dále řekněme, že toto je f(b). Tato hodnota je tedy f(b). Dejme tomu, že funkce dělá něco takového. Řekněme, že se funkce na tomto intervalu chová takto. Kreslím to, jak mě zrovna napadne. Nakreslil jsem spojitou funkci. Opravdu jsem nemusel zvednout tužku, když jsem ji tady kreslil. Můžete vidět, že alespoň pro tuto spojitou funkci, kterou jsem nakreslil, je jasné, že na tomto intervalu nabývá globálního maxima a minima. Bod globálního minima? Vypadá to, že minima funkce nabývá tady, když je x rovno řekněme ‚c‘. Toto je tudíž f(c). Globálního maxima na tomto intervalu funkce nabývá zdá se tady, když je x rovno řekněme ‚d‘. Tady pak bude f(d). Toto tvrzení tedy můžeme přeformulovat také tak, že když je f spojitá na uzavřeném intervalu, tak existují body ‚c‘ a ‚d‘ z tohoto intervalu… Jsou to tedy prvky této množiny. …z tohoto intervalu takové, že… Používám tu logický zápis. …takové, že f(c) je menší nebo rovno f(x), které je menší nebo rovno f(d), a to pro všechna x z našeho intervalu. V tomto případě říkáme, že máme minimum v bodě x rovno ‚c‘, to je tady, a maximum v bodě x rovno ‚d‘ a že pro všechna ostatní ‚x‘ z intervalu platí, že funkční hodnota je někde mezi těmito dvěma hodnotami. Mohli bychom si nakreslit další spojité funkce. Nedělám tu důkaz věty o nabývání extrémů, spíš vás s ní chci seznámit a ukázat, proč je takto vyslovena. Mohli byste si tu nakreslit mnoho funkcí, které jsou spojité na tomto uzavřeném intervalu. V tomto případě funkce nabývá svého maxima v bodě ‚b‘ a minima v bodě ‚a‘. U konstantní funkce můžeme vzít libovolný bod jako bod maxima či minima a uvidíme, že tohle bude splňovat. Podívejme se nyní trochu hlouběji na to, proč je nutné, aby byla funkce f spojitá, a proč je zde nutné mít uzavřený interval. Nejprve se zamysleme nad tím, proč musí být funkce f spojitá. Snadno můžeme sestrojit funkci, která na uzavřeném intervalu není spojitá a u které je těžké stanovit minimum a maximum. Zastavte si teď video a zkuste si takovou funkci sestrojit sami. Sestrojte nespojitou funkci na uzavřeném intervalu, u které bude velmi obtížné... U které opravdu nelze na daném intervalu globální minimum či maximum určit. Tak pojďme na to. Nejdřív si namaluji graf. Řekněme, že toto je můj interval. Tady budou body ‚a‘ a ‚b‘. Řekněme, že funkce dělá něco takového. Řekněme, že naše funkce tam, kde bychom čekali, že má maximum, vůbec není definovaná, a tam, kde byste čekali, že má minimum, také není definována. Můžeme říct, že se zde funkce blíží… Když se x blíží k tomuto číslu, funkční hodnota se blíží k téhle hodnotě, ale tato limita nemůže být maximum, protože se k ní funkce nikdy nedostane. Podívejme se na to zblízka. Dejme tomu, že toto číslo je 5. Mohli byste říct, že maximum je 4,9. Pak byste vzali x blíže k této hodnotě a ‚y‘ by bylo 4,99 nebo dokonce 4,999. Pořád můžete přidávat devítky. Není tu tedy žádná maximální hodnota. Zrovna tak tady s minimem. Nakreslím to, aby to vypadalo víc jako minimum. Můžete se k tomu blížit víc a víc, ale žádné minimum není. Řekněme, že tato hodnota je 1. Můžete se dostat k 1,1 či 1,01 nebo 1,0001. Mohli byste dál psát nuly mezi ty dvě jedničky, ale žádné globální minimum není. Teď přejděme k tomu, proč záleží na tom, že jde o uzavřený interval. Proč musíme i krajní body počítat jako možné kandidáty na globální maximum a minimum na daném intervalu. Představme si, že by to byl otevřený interval. Představme si otevřený interval. Někdy, když chceme být přesní, můžeme... Je to uzavřený interval, takže napíšu hranaté závorky, a takto označím otevřený interval. Tady budou body ‚a‘ a ‚b‘. Vezměme velmi jednoduchou funkci, třeba nějakou takovou. Kdyby bylo ‚a‘ v našem intervalu, tak by funkce v ‚a‘ nabyla svého minima. f(a) by bylo minimum a f(b) by bylo, zdá se, maximum. Ale ‚a‘ ani ‚b‘ do intervalu nezahrnujeme. Jde o otevřený interval, takže se můžete čím dál víc blížit k ‚b‘ a dostávat stále větší hodnoty, aniž byste ‚b‘ kdykoli dosáhli, protože ještě jednou opakuji, že bod ‚b‘ nezahrnujeme. Stejně tak byste se mohli blížit k ‚a‘ a dostávat stále menší hodnoty, ale ‚a‘ není v množině bodů, které je možno brát v potaz, takže f(a) nemůže být minimem. Na jedné straně je to velmi intuitivní až téměř zřejmá věta, ale na té druhé je dobré vědět, proč je nutné, aby byla funkce spojitá, a proč je třeba říct, že platí na uzavřeném intervalu.