Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 10: Souvislost mezi f, f' a f''- Určení toho, kdy funkce roste, pomocí diferenciálního počtu
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Určení inflexních bodů z grafu funkce a jejích derivací
- Průběh funkce a druhá derivace: inflexní bod
- Průběh funkce a druhá derivace: bod lokálního maxima
- Průběh funkce a druhá derivace
- Průběh funkce a druhá derivace
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy (další příklad)
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
Průběh funkce a první derivace
Pomocí údajů o první derivaci funkce můžeme zdůvodnit, proč funkce roste, klesá nebo má v nějakém bodě lokální maximum.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Na obrázku je graf diferencovatelné
funkce f a její první derivace, f s čarou. Tady vidíme modrý graf
funkce f, y se rovná f(x), a tady je okrový
graf f s čarou. Zdůvodněte pomocí diferenciálního počtu,
proč hodnota f klesá pro x větší než 3. Z grafu hned poznáme, že funkce f
skutečně klesá pro x větší než 3. A s tím, jak se zvyšuje x, se zároveň
snižuje funkční hodnota, tedy y. Než se dostaneme k možnostem, jak bychom
to zdůvonili pomocí diferenciálního počtu? Stačí se zaměřit
na první derivaci. Když f klesá, tečna k f má záporný sklon,
což znamená, že f s čarou je taky záporné. A skutečně vidíme, že derivace f
pro x větší než 3 je záporná. Než se dostanu k možnostem, důležité je,
že pro x větší než 3 je f s čarou záporné. Teď si projdeme možnosti. f s čarou klesá
pro x větší než 3. Jenže nás nezajímá, jestli f s čarou
klesá, ale jestli je kladné či záporné. Tam kde je f s čarou záporné, tam f klesá,
protože tečna k f má záporný sklon. f s čarou by klidně mohlo klesat a zároveň
být pořád kladné, to by vypadalo takhle. f s čarou by sice klesalo, ale bylo by
kladné, takže funkce f by stoupala. Odpověď A můžeme vyřadit. S tím, jak se zvyšuje x větší
než 3, hodnota f(x) se snižuje. To je pravda, funkční hodnota f
skutečně klesá s tím, jak stoupá x. Tahle odpověď je ale taky špatná, protože
vůbec nezahrnuje diferenciální počet. f s čarou je záporné
pro x větší než 3. To přesně odpovídá
mému řešení, tady. Záporné f s čarou znamená, že tečna k f má
záporný sklon, neboli že graf f klesá. Tohle je správná odpověď. A odpověď D zní: f s čarou
pro x rovno 0 se rovná -3. To ani nezahrnuje interval x větší než 3,
který nás zajímá, jen mluví o tomto bodě. Takže možnost D je
rozhodně taky špatně. Pojďme vyřešit ještě jeden příklad. Na obrázku je modrý graf funkce
g a oranžový graf její první derivace. Dokažte pomocí diferenciálního počtu,
že lokální minimum g je v bodě x rovno −3. Vidím, že v bodě x rovno −3 se y rovná −6,
což se opravdu jeví jako lokální minimum. Zkusím to napřed vyřešit
bez vybírání z možností. Do bodu x se rovná −3 má první
derivace g zápornou hodnotu, od bodu x se rovná −3 dál má
první derivace hodnotu kladnou. Takhle bych odpověděl já. Je-li totiž derivace před bodem x rovno -3
záporná, funkce g před tímto bodem klesá. A pokud je za tímto bodem derivace kladná,
pak funkce g dál od tohoto bodu stoupá, což dokazuje, že g v bodě x rovno -3
skutečně dosahuje lokálního minima. Možnost A: Bod x rovno -3 je
nejnižším bodem ve své části grafu. To je sice pravda, ale tato odpověď
vůbec nezmiňuje diferenciální počet. Odpověď A můžeme vyřadit. Odpověď B: g s čarou dosahuje
lokálního maxima v bodě [0; 3]. To dokonce není pravda... Aha, ano, g s čarou ano. Ano, lokální maximum
g s čarou je v bodě [0; 3]. To nevypovídá nic o lokálním
minimu funkce g v bodě x rovno −3. Možnost B taky vyřadím. Odpověď C: g s čarou v bodě
x rovno −3 má hodnotu 0. To jen dokazuje, že v tomto bodě se sklon
tečny rovná 0, ne nutně lokální minimum. Funkce může mít v bodě nulovou derivaci,
ale pak dál stejně stoupat/klesat. Přestože sklon tečny v tomto bodě
je 0, není v něm žádné lokální minimum. Možnost C taky vyřadím. Možnost D: graf funkce g s čarou protíná
osu x zdola nahoru v bodě x rovno −3. To je přesně moje odpověď, g s čarou je
před tímto bodem záporné a po něm kladné, což znamená, že sklon tečny k g před tímto
bodem je záporný a po něm kladný. To jasně ukazuje, že v bodě x rovno −3
dosahuje funkce g lokálního minima.