Průběh funkce a druhá derivace: inflexní bod

Máme graf dvakrát diferencovatelné funkce g a její druhé derivace g se dvěma čarami. Pracuji se článkem na Khan Academy, 'Průběh funkce a druhá derivace'. Tady máme modrý graf funkce g, a oranžový graf její ne první, ale až druhé derivace. Zadání pokračuje: 'Čtyři studenti měli zdůvodnit pomocí diferenciálního počtu, proč je bod funkce g na x rovno −2 inflexním bodem.' Hned ze začátku vidíme, že by to mohla být pravda. Připomeňme si, co je inflexní bod. Je to místo, kde se křivka mění z konkávní na konvexní nebo naopak. Jinými slovy, je to bod, kde sklon funkce přechází z klesání do stoupání či naopak. A sklon naší funkce je tu kladný, snižuje se, až je záporný, pořád se snižuje... Až se dostaneme na x rovno −2, odkud se sklon zase zvyšuje, je stále méně záporný, v tomto bodě je nulový, dál je kladný a pořád se zvyšuje. Skutečně se zdá, že v bodě x rovno −2 se křivka mění z konkávní na konvexní. Ke zdůvodnění pomocí diferenciálního počtu je potřeba se zaměřit na druhou derivaci. Musíme najít bod, kde graf druhé derivace protíná osu x. Záporná druhá derivace znamená, že sklon g se snižuje, kladná znamená, že se zvyšuje. A druhá derivace skutečně protíná osu x v bodě x rovno −2, což značí inflexní bod. Nestačí, aby byla nulová nebo se osy x jen dotýkala, musí ji protínat, tak jako tady. Pojďme si teď projít odpovědi studentů a zkusme přiřadit učitelovy poznámky. První napsal: 'Hodnota druhé derivace mění znaménko v bodě x rovno −2.' Přesně o tom jsem právě mluvil, kde druhá derivace mění znaménko, protíná osu x, tam první derivace přechází z klesání do stoupání, což znamená inflexní bod. Takže tohle je dobré zdůvodnění pomocí diferenciálního počtu. Pro tuto chvíli přiřadím profesorovu odpověď: 'Bravo! Máš pravdu.' Druhý student napsal: 'Protíná to osu x.' To je příliš vágní, co protíná osu x? Nevíme, jestli mluví o původní funkci, o první, nebo snad o druhé derivaci? Profesor by napsal: 'Buď prosím přesnější, takhle neúplnou odpověď nelze uznat.' Jdeme dál, třetí student napsal: 'Druhá derivace se zvyšuje v bodě x rovno −2.' Jenže to nevysvětluje, proč je na x rovno −2 inflexní bod. Druhá derivace se zvyšuje třeba i na x rovno −2,5 nebo na x rovno −1. To ale neznamená, že je v tom místě inflexní bod. A poslední student napsal: 'Graf g mění křivost na konvexní v bodě x rovno −2.' Ano, ale tahle odpověď vůbec nezahrnuje diferenciální počet, tedy druhou derivaci.