Určení inflexních bodů z grafu funkce a jejích derivací

Inflexní body, kterým se podrobně věnují i jiná naše videa, si dnes ukážeme graficky. Inflexní bod je bod, v němž graf přechází ze stoupání v klesání, nebo naopak. Tady máme graf jisté funkce, ke které teď v několika bodech zobrazím tečnu. Takhle bude tečna vypadat v bodě x rovno −2, všimněte si jejího sklonu. A s tím, jak se začne zvyšovat x, sklon sice zůstává kladný, ale bude se snižovat, klesne pod nulu do záporných hodnot, a dál klesá až zhruba do bodu x rovno −1. Od bodu x rovno −1 se sklon tečny začne znovu zvyšovat. Tím je pro nás bod x rovno −1 zajímavý. Právě jsme si graficky ukázali, proč bude tento bod, x rovno −1, bodem inflexním. Označím si ho tak a ukážu to ještě jednou. Na x rovno −2 je sklon kladný, ale klesá, je záporný a stoupá zase až od x rovno −1. Takhle najdete inflexní bod v samotném grafu funkce, Lze jej ale rozpoznat i na grafu první derivace. V inflexním bodě sklon tečny přechází z klesání do stoupání nebo obráceně. První derivace je jen hodnota sklonu tečny k původnímu grafu, je zobrazena žlutou. Tady vidíme, co potřebujeme. Všimněte si, jak vypadá. Hodnota derivace, tedy sklon tečny k modré funkci, se snižuje až do bodu x rovno −1. Sklon je zpočátku kladný, ale klesá, je záporný, klesá dál až do bodu x rovno −1. Ukážu to znovu, sklon tečny je kladný, klesá, v tomto bodě začíná být záporný, klesá do bodu x rovno −1, odkud sklon tečny, a tedy i hodnota derivace, stoupá. Takže jeden ze způsobů, jak najít inflexní bod, je najít extrém její první derivace. Extrém totiž znamená, že derivace přechází takto z klesání do stoupání, nebo naopak. Zaměřme se teď na druhou derivaci, tedy derivaci derivace, je zakreslená červeně. Trochu oddálím obraz, ať vidíme všechno... Vidíme, že druhá derivace protíná osu x v bodě x rovno −1, proto jej zvýrazním. Přesně tady protíná druhá derivace osu x, právě v inflexním bodě modré funkce. Je to logické, protože kde druhá derivace přechází ze záporných hodnot do kladných, tam první derivace, sklon tečny k modré funkci, přechází z klesání do stoupání. Sklon klesá, sklon stoupá... Důležité je, že druhá derivace musí osu x protnout, nestačí se jí jen dotkonut. Ukážeme si to na bodu [2; 0], graf druhé derivace se tu dotýká osy x, neprotíná ji. To znamená, že graf první derivace nepřechází ze stoupání do klesání. Takže když to shrnu, inflexní body funkce lze vyčíst z grafu jí samotné, i z grafů první a druhé derivace. V původním grafu hledáte bod, kde sklon tečny jde z klesání do stoupání či opačně. V grafu první derivace hledáte funkční minimum nebo funkční maximum. A v grafu druhé derivace hledáte bod, kde graf protíná osu x, pouhý dotek nestačí.