If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Určení inflexních bodů z grafu funkce a jejích derivací

V tomto videu určíme inflexní body funkce pomocí jejího grafu a grafů první a druhé derivace. Grafy byly vytvořeny pomocí Desmos.com.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Inflexní body, kterým se podrobně věnují i jiná naše videa, si dnes ukážeme graficky. Inflexní bod je bod, v němž graf přechází ze stoupání v klesání, nebo naopak. Tady máme graf jisté funkce, ke které teď v několika bodech zobrazím tečnu. Takhle bude tečna vypadat v bodě x rovno −2, všimněte si jejího sklonu. A s tím, jak se začne zvyšovat x, sklon sice zůstává kladný, ale bude se snižovat, klesne pod nulu do záporných hodnot, a dál klesá až zhruba do bodu x rovno −1. Od bodu x rovno −1 se sklon tečny začne znovu zvyšovat. Tím je pro nás bod x rovno −1 zajímavý. Právě jsme si graficky ukázali, proč bude tento bod, x rovno −1, bodem inflexním. Označím si ho tak a ukážu to ještě jednou. Na x rovno −2 je sklon kladný, ale klesá, je záporný a stoupá zase až od x rovno −1. Takhle najdete inflexní bod v samotném grafu funkce, Lze jej ale rozpoznat i na grafu první derivace. V inflexním bodě sklon tečny přechází z klesání do stoupání nebo obráceně. První derivace je jen hodnota sklonu tečny k původnímu grafu, je zobrazena žlutou. Tady vidíme, co potřebujeme. Všimněte si, jak vypadá. Hodnota derivace, tedy sklon tečny k modré funkci, se snižuje až do bodu x rovno −1. Sklon je zpočátku kladný, ale klesá, je záporný, klesá dál až do bodu x rovno −1. Ukážu to znovu, sklon tečny je kladný, klesá, v tomto bodě začíná být záporný, klesá do bodu x rovno −1, odkud sklon tečny, a tedy i hodnota derivace, stoupá. Takže jeden ze způsobů, jak najít inflexní bod, je najít extrém její první derivace. Extrém totiž znamená, že derivace přechází takto z klesání do stoupání, nebo naopak. Zaměřme se teď na druhou derivaci, tedy derivaci derivace, je zakreslená červeně. Trochu oddálím obraz, ať vidíme všechno... Vidíme, že druhá derivace protíná osu x v bodě x rovno −1, proto jej zvýrazním. Přesně tady protíná druhá derivace osu x, právě v inflexním bodě modré funkce. Je to logické, protože kde druhá derivace přechází ze záporných hodnot do kladných, tam první derivace, sklon tečny k modré funkci, přechází z klesání do stoupání. Sklon klesá, sklon stoupá... Důležité je, že druhá derivace musí osu x protnout, nestačí se jí jen dotkonut. Ukážeme si to na bodu [2; 0], graf druhé derivace se tu dotýká osy x, neprotíná ji. To znamená, že graf první derivace nepřechází ze stoupání do klesání. Takže když to shrnu, inflexní body funkce lze vyčíst z grafu jí samotné, i z grafů první a druhé derivace. V původním grafu hledáte bod, kde sklon tečny jde z klesání do stoupání či opačně. V grafu první derivace hledáte funkční minimum nebo funkční maximum. A v grafu druhé derivace hledáte bod, kde graf protíná osu x, pouhý dotek nestačí.