Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 10: Souvislost mezi f, f' a f''- Určení toho, kdy funkce roste, pomocí diferenciálního počtu
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Určení inflexních bodů z grafu funkce a jejích derivací
- Průběh funkce a druhá derivace: inflexní bod
- Průběh funkce a druhá derivace: bod lokálního maxima
- Průběh funkce a druhá derivace
- Průběh funkce a druhá derivace
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy (další příklad)
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
Určení inflexních bodů z grafu funkce a jejích derivací
V tomto videu určíme inflexní body funkce pomocí jejího grafu a grafů první a druhé derivace. Grafy byly vytvořeny pomocí Desmos.com.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Inflexní body, kterým se podrobně věnují i
jiná naše videa, si dnes ukážeme graficky. Inflexní bod je bod, v němž graf přechází
ze stoupání v klesání, nebo naopak. Tady máme graf jisté funkce, ke které
teď v několika bodech zobrazím tečnu. Takhle bude tečna vypadat v bodě
x rovno −2, všimněte si jejího sklonu. A s tím, jak se začne zvyšovat x, sklon
sice zůstává kladný, ale bude se snižovat, klesne pod nulu do záporných hodnot, a
dál klesá až zhruba do bodu x rovno −1. Od bodu x rovno −1 se sklon
tečny začne znovu zvyšovat. Tím je pro nás bod
x rovno −1 zajímavý. Právě jsme si graficky ukázali, proč bude
tento bod, x rovno −1, bodem inflexním. Označím si ho tak a
ukážu to ještě jednou. Na x rovno −2 je sklon kladný, ale klesá,
je záporný a stoupá zase až od x rovno −1. Takhle najdete inflexní bod
v samotném grafu funkce, Lze jej ale rozpoznat i
na grafu první derivace. V inflexním bodě sklon tečny přechází
z klesání do stoupání nebo obráceně. První derivace je jen hodnota sklonu tečny
k původnímu grafu, je zobrazena žlutou. Tady vidíme, co potřebujeme. Všimněte si, jak vypadá. Hodnota derivace, tedy sklon tečny k modré
funkci, se snižuje až do bodu x rovno −1. Sklon je zpočátku kladný, ale klesá, je
záporný, klesá dál až do bodu x rovno −1. Ukážu to znovu, sklon tečny je kladný,
klesá, v tomto bodě začíná být záporný, klesá do bodu x rovno −1, odkud sklon
tečny, a tedy i hodnota derivace, stoupá. Takže jeden ze způsobů, jak najít inflexní
bod, je najít extrém její první derivace. Extrém totiž znamená, že derivace přechází
takto z klesání do stoupání, nebo naopak. Zaměřme se teď na druhou derivaci, tedy
derivaci derivace, je zakreslená červeně. Trochu oddálím obraz,
ať vidíme všechno... Vidíme, že druhá derivace protíná osu x
v bodě x rovno −1, proto jej zvýrazním. Přesně tady protíná druhá derivace osu x,
právě v inflexním bodě modré funkce. Je to logické, protože kde druhá derivace
přechází ze záporných hodnot do kladných, tam první derivace, sklon tečny k modré
funkci, přechází z klesání do stoupání. Sklon klesá, sklon stoupá... Důležité je, že druhá derivace musí osu x
protnout, nestačí se jí jen dotkonut. Ukážeme si to na bodu [2; 0], graf druhé
derivace se tu dotýká osy x, neprotíná ji. To znamená, že graf první derivace
nepřechází ze stoupání do klesání. Takže když to shrnu, inflexní body funkce lze vyčíst z grafu jí
samotné, i z grafů první a druhé derivace. V původním grafu hledáte bod, kde sklon
tečny jde z klesání do stoupání či opačně. V grafu první derivace hledáte funkční
minimum nebo funkční maximum. A v grafu druhé derivace hledáte bod, kde
graf protíná osu x, pouhý dotek nestačí.