Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy (další příklad)

Máme zadané tři grafy. Jeden z nich je grafem funkce f, jiný její první derivace a další druhé derivace. My jen nevíme, který je který. Takže, jako vždy, zastavte video a zkuste na to přijít sami. Já projdu grafy jeden po druhém a zkusím si představit, jak by vypadala derivace. U prvního grafu vidíme, že sklon tečny začíná záporný a čím dál více klesá, směrem k této svislé asymptotě se blíží zápornému nekonečnu. Derivace by zleva byla záporná a klesala, vlastně by zhruba kopírovala tenhle graf, alespoň k této asymptotě, odkud má doprava sklon tečny vysokou zápornou hodnotu, ale s tím, jak jdeme dál doprava, sklon se blíží 0. Takže od této asymptoty je první derivace velmi záporná a blíží se ose x. První derivace by vypadala jako tento fialový graf vpravo. Graf uprostřed být první derivace nemůže, protože tu má kladnou hodnotu, což by znamenalo, že první graf má někde kladný sklon, jenže on všude klesá. Tomu odpovídá fialový graf, takže oranžový by mohl být funkce f a fialový f s čarou. Jak by však vypadala první derivace modrého grafu? Sklon tečny je záporný, k asymptotě se dál snižuje, derivace by vypadala asi takto. Od asymptoty dál je sklon kladný a velmi vysoký, ale pak postupně klesá k 0. První derivace modrého grafu by vypadala jako oranžový graf. Takže modrý graf je funkce f, oranžový graf je jeho první derivace, f s čarou, a jak už víme, fialový graf je derivací oranžového grafu, takže f se dvěma čarami. To vypadá dobře. Pro úplnost si nakreslíme ještě derivaci tohoto grafu. Sklon je zleva záporný a klesá, asi takto, derivace by tu přibližně kopírovala graf, a za asymptotou je sklon kladný, ale postupně klesá k nule, nějak takhle. Derivace fialového grafu tvarem hodně připomíná oranžový graf. Ale víme, že fialový graf nemůže být f, protože potom by nám přebýval modrý graf. Proto musí modrý graf být f, oranžový f s čarou a fialový f se dvěma čarami.