Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 10: Souvislost mezi f, f' a f''- Určení toho, kdy funkce roste, pomocí diferenciálního počtu
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Určení inflexních bodů z grafu funkce a jejích derivací
- Průběh funkce a druhá derivace: inflexní bod
- Průběh funkce a druhá derivace: bod lokálního maxima
- Průběh funkce a druhá derivace
- Průběh funkce a druhá derivace
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy (další příklad)
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
Ke každému ze tří grafů přiřaď, zda je grafem dané funkce nebo její první či druhé derivace.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Na obrázku je graf funkce f, její první
derivace a její druhé derivace. Naším úkolem je
rozpoznat, který je který. Jako vždy si zastavte video a
zkuste úlohu nejdříve vyřešit sami. Tak, jdeme na to! Začnu tím, že si ke každému grafu načrtnu,
jak by vypadal graf jeho první derivace. Oranžový graf začíná s vysokým, kladným
sklonem, který ale klesá do tohoto bodu, kde se sklon rovná 0, a dál
klesá do záporných hodnot. První derivace této funkce začne v kladném
kvadrantu, v bodě pod maximem protne osu, protože sklon tečny se tu rovná 0, a dál
klesá, alespoň ve zobrazeném intervalu. Mohla by vypadat nějak takhle, možná jinak
zakřivená, ale rozhodně tímto směrem. A hned vidíme, že modrý graf není derivací
oranžového grafu, protože u osy y stoupá. Místo aby přecházel z kladných hodnot do
záporných, jde ze záporných do kladných. Víme, že modrý graf derivací oranžového
grafu nebude, ale co purpurový graf? Ten v daném intervalu klesá, jak má,
protíná osu x ve správném bodě. V prvním intervalu je kladný, ve druhém je
záporný, zkrátka odpovídá sklonu tečny. Nejsme sice zvyklí, aby derivace měla
víc extrémů, než původní funkce, ale v tomto případě by to mohlo být prostě
proto, že nevidíme celou původní funkci. Vidíme, že purpurový graf je tu záporný,
a dál správně klesá k tomuto minimu. Odpovídá tomuto bodu v oranžovém grafu,
jehož sklon je odtud méně a méně záporný, a v tomto bodě je potom sklon
tečny k oranžovému grafu roven 0. Oranžový graf sice vypadá takto, my
ale nemáme zobrazenou jeho druhou část. Takže je dost pravděpodobné, že purpurový
graf je první derivací oranžového grafu. Tohle by mohlo být f
a tohle zase f s čarou. Jak by ale vypadala první
derivace modrého grafu? Sklon je napřed velmi záporný, ale stoupá
až do tohoto bodu, kde se sklon rovná 0. V tomto bodě derivace protíná osu x,
je kladná a zvyšuje se, potom zase klesá, nějak takhle klesá k tomuto bodu, kde
znovu protíná osu x, a dál už jen klesá. Můj hrubý náčrt je dost podobný oranžovému
grafu, mohl by tedy být derivací modrého. Modrý graf je tedy funkce f, oranžový je f
s čarou, purpurový je f se dvěma čarami. To vypadá jako správné řešení, pro jistotu
si načrtneme i derivaci purpurového grafu. Sklon začíná kladný, ale hned v tomto bodě
klesá na 0, derivace by vypadala takto. Zhruba k tomuto bodu sklon tečny klesá,
od něj stoupá, až kousek dál je roven 0. Od tohoto minima pak dále stoupá, má tvar
písmene U, což neodpovídá žádnému grafu. Máme potvrzené, že žádný ze zadaných
grafů není derivací purpurového grafu. Takže víme, že modrý graf je f, oranžový
f s čarou a purpurový f se dvěma čarami.