Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 10: Souvislost mezi f, f' a f''- Určení toho, kdy funkce roste, pomocí diferenciálního počtu
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Určení inflexních bodů z grafu funkce a jejích derivací
- Průběh funkce a druhá derivace: inflexní bod
- Průběh funkce a druhá derivace: bod lokálního maxima
- Průběh funkce a druhá derivace
- Průběh funkce a druhá derivace
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy (další příklad)
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
Průběh funkce a druhá derivace: bod lokálního maxima
Když je první derivace funkce rovna 0, tak existenci lokálního maxima funkce můžeme zdůvodnit pomocí druhé derivace.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Zadání úlohy zní: 'První derivace h
v bodě x rovno −4 má hodnotu 0. Dokažte pomocí diferenciálního počtu, že
v bodě x rovno −4 má h lokální maximum.' Graf funkce h je na obrázku modrý, nemáme
první derivaci, ale máme druhou, oranžově. Ze zadání víme, že první derivace, neboli
sklon tečny, se rovná 0 v bodě x rovno −4. Nakreslím vám ji sem, sklon tečny je
v bodě x rovno −4 skutečně nulový. Jak dokážeme pomocí diferenciálního počtu,
že lokální maximum h je v bodě x rovno −4? První možnost zní: 'Druhá derivace
je v bodě x rovno −4 záporná.' Pojďme si to rozebrat. Kde je druhá derivace záporná, tam první
derivace klesá a funkce je tedy konkávní. To znamená, že křivka bude v bodě
x rovno −4 vypadat nějak takto. A pokud je sklon v tomto bodě roven 0,
tento bod je skutečně lokálním maximem. Kdyby byla druhá derivace v tomto bodě
kladná, funkce by tu byla konvexní, a v bodě x rovno −4 by
bylo lokální minimum. Ano, druhá derivace je v bodě x rovno −4
záporná, takže funkce je tu konkávní, neboli připomíná tvarem kopec, a bod, ve
kterém je sklon 0, je lokálním maximem. Takže máme správnou odpověď,
ale stejně si projdeme i ty ostatní. Odpověď B: 'Funkce h stoupá do bodu
x rovno −4, a dále po něm zase klesá.' To je pravda a je to možné zdůvodnění,
pokud je funkce h v tomto bodě spojitá. Ukazuje to, proč je na x rovno −4 lokální
maximum, ale bez diferenciálního počtu. Odpověď B nesplnila zadání,
takže ji můžeme vyřadit. Možnost C: 'Druhá derivace h dosahuje
lokálního minima v bodě x rovno −4.' To je pravda, jenže to není důvod, proč se
v bodě x rovno −4 nachází lokální maximum. Kdyby bylo lokální minimum druhé derivace
kladné, pak by tu funkce h byla konvexní a nedosahovala by tak v tomto bodě
lokálního maxima, ale minima. Takže lokální minimum derivace nestačí,
odpověď C by musela říct, že je i záporné. Odpověď D: 'h se dvěma
čarami je konvexní.' Druhá derivace je skutečně konvexní, to
ale neznamená, že funkce h je konkávní. Kdyby byla druhá derivace konvexní, ale
kladná, třeba takto, to by znamenalo, že první derivace stále stoupá, takže
původní funkce zůstává stále konvexní. A kdyby byla funkce h stále konvexní,
nebylo by bodě x rovno −4 lokální maximum. Odpověď D je špatně.