Zadání úlohy zní: 'První derivace h
v bodě x rovno −4 má hodnotu 0. Dokažte pomocí diferenciálního počtu, že
v bodě x rovno −4 má h lokální maximum.' Graf funkce h je na obrázku modrý, nemáme
první derivaci, ale máme druhou, oranžově. Ze zadání víme, že první derivace, neboli
sklon tečny, se rovná 0 v bodě x rovno −4. Nakreslím vám ji sem, sklon tečny je
v bodě x rovno −4 skutečně nulový. Jak dokážeme pomocí diferenciálního počtu,
že lokální maximum h je v bodě x rovno −4? První možnost zní: 'Druhá derivace
je v bodě x rovno −4 záporná.' Pojďme si to rozebrat. Kde je druhá derivace záporná, tam první
derivace klesá a funkce je tedy konkávní. To znamená, že křivka bude v bodě
x rovno −4 vypadat nějak takto. A pokud je sklon v tomto bodě roven 0,
tento bod je skutečně lokálním maximem. Kdyby byla druhá derivace v tomto bodě
kladná, funkce by tu byla konvexní, a v bodě x rovno −4 by
bylo lokální minimum. Ano, druhá derivace je v bodě x rovno −4
záporná, takže funkce je tu konkávní, neboli připomíná tvarem kopec, a bod, ve
kterém je sklon 0, je lokálním maximem. Takže máme správnou odpověď,
ale stejně si projdeme i ty ostatní. Odpověď B: 'Funkce h stoupá do bodu
x rovno −4, a dále po něm zase klesá.' To je pravda a je to možné zdůvodnění,
pokud je funkce h v tomto bodě spojitá. Ukazuje to, proč je na x rovno −4 lokální
maximum, ale bez diferenciálního počtu. Odpověď B nesplnila zadání,
takže ji můžeme vyřadit. Možnost C: 'Druhá derivace h dosahuje
lokálního minima v bodě x rovno −4.' To je pravda, jenže to není důvod, proč se
v bodě x rovno −4 nachází lokální maximum. Kdyby bylo lokální minimum druhé derivace
kladné, pak by tu funkce h byla konvexní a nedosahovala by tak v tomto bodě
lokálního maxima, ale minima. Takže lokální minimum derivace nestačí,
odpověď C by musela říct, že je i záporné. Odpověď D: 'h se dvěma
čarami je konvexní.' Druhá derivace je skutečně konvexní, to
ale neznamená, že funkce h je konkávní. Kdyby byla druhá derivace konvexní, ale
kladná, třeba takto, to by znamenalo, že první derivace stále stoupá, takže
původní funkce zůstává stále konvexní. A kdyby byla funkce h stále konvexní,
nebylo by bodě x rovno −4 lokální maximum. Odpověď D je špatně.