Průběh funkce a druhá derivace: bod lokálního maxima

Zadání úlohy zní: 'První derivace h v bodě x rovno −4 má hodnotu 0. Dokažte pomocí diferenciálního počtu, že v bodě x rovno −4 má h lokální maximum.' Graf funkce h je na obrázku modrý, nemáme první derivaci, ale máme druhou, oranžově. Ze zadání víme, že první derivace, neboli sklon tečny, se rovná 0 v bodě x rovno −4. Nakreslím vám ji sem, sklon tečny je v bodě x rovno −4 skutečně nulový. Jak dokážeme pomocí diferenciálního počtu, že lokální maximum h je v bodě x rovno −4? První možnost zní: 'Druhá derivace je v bodě x rovno −4 záporná.' Pojďme si to rozebrat. Kde je druhá derivace záporná, tam první derivace klesá a funkce je tedy konkávní. To znamená, že křivka bude v bodě x rovno −4 vypadat nějak takto. A pokud je sklon v tomto bodě roven 0, tento bod je skutečně lokálním maximem. Kdyby byla druhá derivace v tomto bodě kladná, funkce by tu byla konvexní, a v bodě x rovno −4 by bylo lokální minimum. Ano, druhá derivace je v bodě x rovno −4 záporná, takže funkce je tu konkávní, neboli připomíná tvarem kopec, a bod, ve kterém je sklon 0, je lokálním maximem. Takže máme správnou odpověď, ale stejně si projdeme i ty ostatní. Odpověď B: 'Funkce h stoupá do bodu x rovno −4, a dále po něm zase klesá.' To je pravda a je to možné zdůvodnění, pokud je funkce h v tomto bodě spojitá. Ukazuje to, proč je na x rovno −4 lokální maximum, ale bez diferenciálního počtu. Odpověď B nesplnila zadání, takže ji můžeme vyřadit. Možnost C: 'Druhá derivace h dosahuje lokálního minima v bodě x rovno −4.' To je pravda, jenže to není důvod, proč se v bodě x rovno −4 nachází lokální maximum. Kdyby bylo lokální minimum druhé derivace kladné, pak by tu funkce h byla konvexní a nedosahovala by tak v tomto bodě lokálního maxima, ale minima. Takže lokální minimum derivace nestačí, odpověď C by musela říct, že je i záporné. Odpověď D: 'h se dvěma čarami je konvexní.' Druhá derivace je skutečně konvexní, to ale neznamená, že funkce h je konkávní. Kdyby byla druhá derivace konvexní, ale kladná, třeba takto, to by znamenalo, že první derivace stále stoupá, takže původní funkce zůstává stále konvexní. A kdyby byla funkce h stále konvexní, nebylo by bodě x rovno −4 lokální maximum. Odpověď D je špatně.