Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 10: Souvislost mezi f, f' a f''- Určení toho, kdy funkce roste, pomocí diferenciálního počtu
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Určení inflexních bodů z grafu funkce a jejích derivací
- Průběh funkce a druhá derivace: inflexní bod
- Průběh funkce a druhá derivace: bod lokálního maxima
- Průběh funkce a druhá derivace
- Průběh funkce a druhá derivace
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy (další příklad)
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
Určení toho, kdy funkce roste, pomocí diferenciálního počtu
Když něco zdůvodňujeme pomocí diferenciálního počtu, tak to znamená, že nějakou vlastnost funkce f určujeme pomocí její derivace f'. Na jednom příkladu se můžeš podívat, jak se to udělá v případě, kdy chceme zdůvodnit, že funkce roste.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Na obrázku je modrý graf funkce h a
oranžový graf její první derivace, h'. Čtyři studenti měli pomocí
diferenciálního počtu dokázat, že funkční hodnota h
se zvyšuje pro x větší 0. Přiřaďte komentáře učitele
k odpovědím studentů. Než se dostaneme k odpovědím, hned vidíme,
že náš graf pro x větší 0 skutečně stoupá. K tomu ale nepotřebujeme diferenciální
počet, jen prostě říkáme, že graf stoupá. Máme za úkol toto tvrzení dokázat pomocí
diferenciálního počtu, tedy derivací. Víme, že pokud funkce stoupá, její
první derivace je kladná, tak jako tady. Než se vůbec dostaneme k řešení
studentů, takhle bych úkol řešil já. Ani bych nepotřeboval modrý graf h, stačil
by mi oranžový graf její první derivace. Vidím, že pro x větší než 0
je graf první derivace h kladný. A kde je první derivace funkce kladná,
tam má tečna k této funkci kladný sklon. Graf původní funkce v takovém
bodě tedy nutně stoupá. Teď se podíváme,
jak úkol řešili studenti. Máme přiřaďit komentáře
učitele k řešením. První student napsal: 'Derivace h
se zvyšuje pro x větší než 0.' To je sice pravda, ale vůbec to nesouvisí
s tím, proč se zvyšuje funkční hodnota h. Derivace h by se klidně mohla
zvyšovat a zároveň být pořád záporná, což by ale znamenalo,
že hodnota h se snižuje. Správně měl student odpovědět, že
h s čarou je kladné, ne že se zvyšuje. Takže učitel by namítl: 'To
nevysvětluje, proč se h zvyšuje.' Druhý student napsal: 'hodnota h
roste s tím, jak roste kladné x'. To je sice důvod, proč graf h stoupá,
ale vůbec nezmínil derivaci. Učitel by odpověděl: 'Řešení
nezahrnuje diferenciální počet.' Třetí student napsal:
'Je to nad osou x.' Jenže co myslí tím 'to'? Mluvil student o grafu h
nebo snad h s čarou? Kdyby řekl, že h' s čarou je nad kladné
pro x větší než 0, měl by pravdu. Ale takováto odpověď je příliš vágní,
učitel by napsal něco ve smyslu: 'Vyjádři se prosím přesněji,
taková odpověď nestačí.' A konečně, čtvrtý student napsal:
'Derivace h je kladná pro x větší než 0.' Ano, pokud je derivace funkce v intervalu
kladná, funkce v tomto intervalu stoupá. Takže učitel odpoví:
'Bravo! Přesně tak.'