Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 10: Souvislost mezi f, f' a f''- Určení toho, kdy funkce roste, pomocí diferenciálního počtu
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Určení inflexních bodů z grafu funkce a jejích derivací
- Průběh funkce a druhá derivace: inflexní bod
- Průběh funkce a druhá derivace: bod lokálního maxima
- Průběh funkce a druhá derivace
- Průběh funkce a druhá derivace
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy (další příklad)
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
Průběh funkce a první derivace
Podívejme se blíže na to, jak souvisí chování funkce s chováním její derivace.
Derivace f, prime nám o původní funkci f dává mnoho zajímavých informací. Podívejme se na některé z nich.
Jak pomocí f, prime zjistit, kdy f roste a klesá
Připomeňme, že funkce roste tehdy, když se se zvětšujícími hodnotami x zvětšují i funkční hodnoty.
Na grafu to poznáme tak, že když jdeme směrem doprava, graf jde nahoru. Graf klesající funkce půjde při našem pohybu doprava naopak dolů.
Předpokládejme nyní, že neznáme graf funkce f, ale známe graf její derivace, tedy funkce f, prime.
I teď stále dokážeme říci, kdy f roste nebo klesá, a to díky znaménku derivace f, prime:
- Intervaly, na kterých je f, prime start color #1fab54, start text, k, l, a, d, n, a, with, \', on top, end text, end color #1fab54 (její graf je nad osou x) jsou ty intervaly, na kterých funkce f start color #1fab54, start text, r, o, s, t, e, end text, end color #1fab54.
- Intervaly, na kterých je f, prime start color #aa87ff, start text, z, a, with, \', on top, p, o, r, n, a, with, \', on top, end text, end color #aa87ff (její graf je pod osou x) jsou ty intervaly, na kterých funkce f start color #aa87ff, start text, k, l, e, s, a, with, \', on top, end text, end color #aa87ff.
Když vlastnosti funkce zdůvodňujeme pomocí její derivace, tak je zdůvodňujeme na základě diferenciálního počtu.
Častá chyba: Špatné porozumění vztahu mezi grafem derivace a jejím znaménkem
Když pracujeme s grafem derivace, je důležité mít na paměti, že následující dvě věci jsou ekvivalentní:
- V jistém bodě nebo na nějakém intervalu platí f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, is less than, 0
- Graf funkce f, prime je v tomto bodě nebo na tomto intervalu pod osou x
(Totéž platí pro f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, is greater than, 0 a graf nad osou x.)
Jak pomocí f, prime zjistit, kde má funkce f lokální minimum nebo maximum
Aby měla funkce f v daném bodě lokální maximum, tak musí před tímto bodem růst a po tomto bodě klesat.
Přímo v bodě lokálního maxima pak funkce neroste ani neklesá.
Na grafu derivace f, prime se to projeví tak, že graf v tomto bodě protíná osu x tak, že před tímto bodem je graf nad osou x a poté je pod osou x.
Častá chyba: Špatné porozumění vztahu mezi funkcí a její derivací
Viděli jsme, že znaménko derivace odpovídá směru původní funkce, tedy tomu, zda původní funkce roste nebo klesá. Z různých jiných vlastností derivace však nemůžeme jen tak vyvozovat důsledky.
Například to, že derivace roste, neznamená, že původní funkce roste (nebo že je kladná). Když má derivace v nějakém bodě x lokální maximum nebo minimum, tak to také neznamená, že původní funkce má v tomto bodě lokální maximum nebo minimum.
Chceš se víc pocvičit? Zkus tohle cvičení.
Častá chyba: Nejasné nebo nepřesné vyjadřování.
Když se díváme na vztah mezi funkcí a její derivací, zajímá nás mnoho věcí: funkce samotná, její derivace, zda funkce roste či klesá, znaménko derivace atd. V každou chvíli je velmi důležité přesně vyjádřit, o čem zrovna mluvíme.
Například v Příkladu 4 nahoře bylo správným zdůvodněním na základě diferenciálního počtu toho, že h roste, to, že h, prime je kladná nebo že její graf je nad osou x. Zdůvodnění jednoho ze studentů znělo tak, že "Je nad osou x." Student ale neřekl, co je nad osou x. Graf funkce h? Graf funkce h, prime? Nebo něco jiného? Podobné zdůvodnění bez přesného vyjadřování nemůže být přijato.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.