If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Průběh funkce a první derivace

Podívejme se blíže na to, jak souvisí chování funkce s chováním její derivace.
Derivace f nám o původní funkci f dává mnoho zajímavých informací. Podívejme se na některé z nich.

Jak pomocí f zjistit, kdy f roste a klesá

Připomeňme, že funkce roste tehdy, když se se zvětšujícími hodnotami x zvětšují i funkční hodnoty.
Na grafu to poznáme tak, že když jdeme směrem doprava, graf jde nahoru. Graf klesající funkce půjde při našem pohybu doprava naopak dolů.
Předpokládejme nyní, že neznáme graf funkce f, ale známe graf její derivace, tedy funkce f.
I teď stále dokážeme říci, kdy f roste nebo klesá, a to díky znaménku derivace f:
  • Intervaly, na kterých je f kladná (její graf je nad osou x) jsou ty intervaly, na kterých funkce f roste.
  • Intervaly, na kterých je f záporná (její graf je pod osou x) jsou ty intervaly, na kterých funkce f klesá.
Když vlastnosti funkce zdůvodňujeme pomocí její derivace, tak je zdůvodňujeme na základě diferenciálního počtu.
Příklad 1
Máme zde dvě správná zdůvodnění toho, proč je funkce f rostoucí:
A. Se zvětšujícími se hodnotami x se zvětšují i funkční hodnoty funkce f.
B. Derivace f je všude kladná.
Které zdůvodnění je založené na diferenciálním počtu?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 2
Níže je nakreslen graf funkce f a graf její derivace f.
Jak na základě diferenciálního počtu zdůvodníme, že pro x>3 funkce f klesá?
Vyber 1 odpověď:

Častá chyba: Špatné porozumění vztahu mezi grafem derivace a jejím znaménkem

Když pracujeme s grafem derivace, je důležité mít na paměti, že následující dvě věci jsou ekvivalentní:
  • V jistém bodě nebo na nějakém intervalu platí f(x)<0
  • Graf funkce f je v tomto bodě nebo na tomto intervalu pod osou x
(Totéž platí pro f(x)>0 a graf nad osou x.)

Jak pomocí f zjistit, kde má funkce f lokální minimum nebo maximum

Aby měla funkce f v daném bodě lokální maximum, tak musí před tímto bodem růst a po tomto bodě klesat.
Přímo v bodě lokálního maxima pak funkce neroste ani neklesá.
Na grafu derivace f se to projeví tak, že graf v tomto bodě protíná osu x tak, že před tímto bodem je graf nad osou x a poté je pod osou x.
Příklad 3
Níže je nakreslen graf funkce g a graf její derivace g.
Jak na základě diferenciálního počtu zdůvodníme, že funkce g má v bodě x=3 lokální minimum?
Vyber 1 odpověď:

Častá chyba: Špatné porozumění vztahu mezi funkcí a její derivací

Viděli jsme, že znaménko derivace odpovídá směru původní funkce, tedy tomu, zda původní funkce roste nebo klesá. Z různých jiných vlastností derivace však nemůžeme jen tak vyvozovat důsledky.
Například to, že derivace roste, neznamená, že původní funkce roste (nebo že je kladná). Když má derivace v nějakém bodě x lokální maximum nebo minimum, tak to také neznamená, že původní funkce má v tomto bodě lokální maximum nebo minimum.
Příklad 4
Níže je nakreslen graf funkce h a graf její derivace h.
Čtyři studenti měli na základě diferenciálního počtu zdůvodnit to, že pro x>0 funkce h roste.
Dokážeš spojit komentář učitele se zdůvodněním studenta?
1

Chceš se víc pocvičit? Zkus tohle cvičení.

Častá chyba: Nejasné nebo nepřesné vyjadřování.

Když se díváme na vztah mezi funkcí a její derivací, zajímá nás mnoho věcí: funkce samotná, její derivace, zda funkce roste či klesá, znaménko derivace atd. V každou chvíli je velmi důležité přesně vyjádřit, o čem zrovna mluvíme.
Například v Příkladu 4 nahoře bylo správným zdůvodněním na základě diferenciálního počtu toho, že h roste, to, že h je kladná nebo že její graf je nad osou x. Zdůvodnění jednoho ze studentů znělo tak, že "Je nad osou x." Student ale neřekl, co je nad osou x. Graf funkce h? Graf funkce h? Nebo něco jiného? Podobné zdůvodnění bez přesného vyjadřování nemůže být přijato.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.