If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Průběh funkce a druhá derivace

Díky druhé derivaci funkce můžeme zdůvodnit, proč platí tvrzení o konvexitě funkce a jejích inflexních bodech.
Už víme, že první derivace f, prime nám dává informaci o tom, kde původní funkce f roste nebo klesá a kde jsou body lokálních extrémů této funkce.
Druhá derivace f, start superscript, prime, prime, end superscript nám dává informaci o konvexitě původní funkce f a o tom, kde jsou inflexní body funkce f.

Zopakujme si, co je to konvexita funkce.

Funkce je konvexní tehdy, když její sklon roste. Na jejím grafu to poznáme tak, že vypadá jako údolí, tedy \cup.
Tato funkce f je konvexní (všimni si, že graf má tvar \cup). Povšimni si, že jak se x zvětšuje, sklon funkce roste.
Funkce je konkávní tehdy, když její sklon klesá. Na jejím grafu to poznáme tak, že vypadá jako kopec, tedy \cap.
Tato funkce g je konkávní (všimni si, že graf má tvar \cap). Povšimni si, že jak se x zvětšuje, sklon funkce klesá.
Inflexní bod je bod, ve kterém se mění konvexita funkce.

Co nám f, start superscript, prime, prime, end superscript říká o konvexitě funkce f

Když je druhá derivace f, start superscript, prime, prime, end superscript kladná, tak to znamená, že první derivace f, prime roste, takže f je konvexní. Záporná f, start superscript, prime, prime, end superscript pak znamená, že f, prime klesá, a tedy že f je konkávní.
f, start superscript, prime, prime, end superscriptf, primef
kladná plusroste \nearrowkonvexní \cup
záporná minusklesá \searrowkonkávní \cap
protíná osu x (mění znaménko)bod lokálního extrému (mění směr)inflexní bod (mění konvexitu)
Tady je jeden grafický příklad:
f, start superscript, prime, prime, end superscriptf, primef
Všimni si, jak je f start color #aa87ff, start text, k, o, n, k, a, with, \', on top, v, n, ı, with, \', on top, end text, end color #aa87ff nalevo od bodu x, equals, c a start color #1fab54, start text, k, o, n, v, e, x, n, ı, with, \', on top, end text, end color #1fab54 napravo od bodu x, equals, c.
Příklad 1
f je dvakrát diferencovatelná funkce. Toto je graf její druhé derivace, tedy funkce f, start superscript, prime, prime, end superscript.
Na kterém intervalu je f pouze konvexní?
Vyber 1 odpověď:

Častá chyba: Špatné porozumění vztahu mezi f, f, prime a f, start superscript, prime, prime, end superscript

Pamatuj, že aby f byla konvexní, f, prime musí být rostoucí a f, start superscript, prime, prime, end superscript musí být kladná. Jiné chování funkcí f, f, prime a f, start superscript, prime, prime, end superscript spolu nemusí nutně souviset.
Například v Příkladu 1 výše byla f, start superscript, prime, prime, end superscript konvexní na intervalu ⟨, minus, 8, ;, minus, 2, ⟩, ale to neznamená, že i f je na tomto intervalu konvexní.
Příklad 2
h je dvakrát diferencovatelná funkce. Toto je graf její druhé derivace, tedy funkce h, start superscript, prime, prime, end superscript.
Který z bodů je inflexním bodem funkce h?
Vyber 1 odpověď:

Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.

Častá chyba: Špatná interpretace zadaného grafu

Představ si, že by nějaký student řešil Příklad 2 výše a myslel si, že jde o graf první derivace funkce h. V takovém případě by inflexními body funkce h byly body A a B, protože v těchto bodech h, prime mění svůj směr. Tento student by však neměl pravdu, protože v zadání je graf druhé derivace, takže správnou odpovědí je bod D.
Vždy se ujisti, že dobře rozumíš tomu, co máš v zadání. Máš zadaný graf funkce f, její první derivace f, prime nebo její druhé derivace f, start superscript, prime, prime, end superscript?
Příklad 3
Níže je nakreslen graf funkce g a graf její druhé derivace g, start superscript, prime, prime, end superscript.
Čtyři studenti měli na základě diferenciálního počtu zdůvodnit to, že bod x, equals, minus, 2 je inflexním bodem funkce g.
Dokážeš spojit komentář učitele se zdůvodněním studenta?
1

Použití druhé derivace k určení toho, zda je extrém funkce minimem nebo maximem

Představ si, že nám někdo řekl, že funkce f má v bodě x, equals, 1 extrém a že na intervalu is less than, 0, ;, 2, is greater than je tato funkce konvexní. Dokážeme na základě těchto informací říct, zda jde o bod minima nebo maxima?
Odpověď zní ANO. Vzpomeň si, že graf konvexní funkce má tvar údolí, tedy \cup. Křivka s takovýmto tvarem může mít pouze minimum.
Obdobně platí, že pokud je funkce v bodě svého extrému konkávní, tak je tento extrém jejím maximem.
Příklad 4
Níže je nakreslen graf funkce h a graf její druhé derivace h, start superscript, prime, prime, end superscript.
Když víme, že h, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 0, jak na základě diferenciálního počtu zdůvodníme, že funkce h má v bodě x, equals, minus, 4 lokální maximum?
Vyber 1 odpověď:

Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus tohle cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.