Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 10: Souvislost mezi f, f' a f''- Určení toho, kdy funkce roste, pomocí diferenciálního počtu
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Průběh funkce a první derivace
- Určení inflexních bodů z grafu funkce a jejích derivací
- Průběh funkce a druhá derivace: inflexní bod
- Průběh funkce a druhá derivace: bod lokálního maxima
- Průběh funkce a druhá derivace
- Průběh funkce a druhá derivace
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy (další příklad)
- Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy
Průběh funkce a druhá derivace
Díky druhé derivaci funkce můžeme zdůvodnit, proč platí tvrzení o konvexitě funkce a jejích inflexních bodech.
Už víme, že první derivace f, prime nám dává informaci o tom, kde původní funkce f roste nebo klesá a kde jsou body lokálních extrémů této funkce.
Druhá derivace f, start superscript, prime, prime, end superscript nám dává informaci o konvexitě původní funkce f a o tom, kde jsou inflexní body funkce f.
Zopakujme si, co je to konvexita funkce.
Funkce je konvexní tehdy, když její sklon roste. Na jejím grafu to poznáme tak, že vypadá jako údolí, tedy \cup.
Funkce je konkávní tehdy, když její sklon klesá. Na jejím grafu to poznáme tak, že vypadá jako kopec, tedy \cap.
Inflexní bod je bod, ve kterém se mění konvexita funkce.
Co nám f, start superscript, prime, prime, end superscript říká o konvexitě funkce f
Když je druhá derivace f, start superscript, prime, prime, end superscript kladná, tak to znamená, že první derivace f, prime roste, takže f je konvexní. Záporná f, start superscript, prime, prime, end superscript pak znamená, že f, prime klesá, a tedy že f je konkávní.
| f, start superscript, prime, prime, end superscript | f, prime | f |
|---|---|---|
| kladná plus | roste \nearrow | konvexní \cup |
| záporná minus | klesá \searrow | konkávní \cap |
| protíná osu x (mění znaménko) | bod lokálního extrému (mění směr) | inflexní bod (mění konvexitu) |
Tady je jeden grafický příklad:
| f, start superscript, prime, prime, end superscript | f, prime | f |
|---|---|---|
Všimni si, jak je f start color #aa87ff, start text, k, o, n, k, a, with, \', on top, v, n, ı, with, \', on top, end text, end color #aa87ff nalevo od bodu x, equals, c a start color #1fab54, start text, k, o, n, v, e, x, n, ı, with, \', on top, end text, end color #1fab54 napravo od bodu x, equals, c.
Častá chyba: Špatné porozumění vztahu mezi f, f, prime a f, start superscript, prime, prime, end superscript
Pamatuj, že aby f byla konvexní, f, prime musí být rostoucí a f, start superscript, prime, prime, end superscript musí být kladná. Jiné chování funkcí f, f, prime a f, start superscript, prime, prime, end superscript spolu nemusí nutně souviset.
Například v Příkladu 1 výše byla f, start superscript, prime, prime, end superscript konvexní na intervalu ⟨, minus, 8, ;, minus, 2, ⟩, ale to neznamená, že i f je na tomto intervalu konvexní.
Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.
Častá chyba: Špatná interpretace zadaného grafu
Představ si, že by nějaký student řešil Příklad 2 výše a myslel si, že jde o graf první derivace funkce h. V takovém případě by inflexními body funkce h byly body A a B, protože v těchto bodech h, prime mění svůj směr. Tento student by však neměl pravdu, protože v zadání je graf druhé derivace, takže správnou odpovědí je bod D.
Vždy se ujisti, že dobře rozumíš tomu, co máš v zadání. Máš zadaný graf funkce f, její první derivace f, prime nebo její druhé derivace f, start superscript, prime, prime, end superscript?
Použití druhé derivace k určení toho, zda je extrém funkce minimem nebo maximem
Představ si, že nám někdo řekl, že funkce f má v bodě x, equals, 1 extrém a že na intervalu is less than, 0, ;, 2, is greater than je tato funkce konvexní. Dokážeme na základě těchto informací říct, zda jde o bod minima nebo maxima?
Odpověď zní ANO. Vzpomeň si, že graf konvexní funkce má tvar údolí, tedy \cup. Křivka s takovýmto tvarem může mít pouze minimum.
Obdobně platí, že pokud je funkce v bodě svého extrému konkávní, tak je tento extrém jejím maximem.
Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus tohle cvičení.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.