If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5

Lekce 10: Souvislost mezi f, f' a f''
Matematika
Diferenciální počet
Vyšetřování průběhu funkcí
Souvislost mezi f, f' a f''
© 2024 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Průběh funkce a druhá derivace

Učebna Google
Díky druhé derivaci funkce můžeme zdůvodnit, proč platí tvrzení o konvexitě funkce a jejích inflexních bodech.
Už víme, že první derivace f′ nám dává informaci o tom, kde původní funkce f roste nebo klesá a kde jsou body lokálních extrémů této funkce.
Druhá derivace f″ nám dává informaci o konvexitě původní funkce f a o tom, kde jsou inflexní body funkce f.

Zopakujme si, co je to konvexita funkce.

Funkce je konvexní tehdy, když její sklon roste. Na jejím grafu to poznáme tak, že vypadá jako údolí, tedy ∪.
Tato funkce f je konvexní (všimni si, že graf má tvar ∪). Povšimni si, že jak se x zvětšuje, sklon funkce roste.
Funkce je konkávní tehdy, když její sklon klesá. Na jejím grafu to poznáme tak, že vypadá jako kopec, tedy ∩.
Tato funkce g je konkávní (všimni si, že graf má tvar ∩). Povšimni si, že jak se x zvětšuje, sklon funkce klesá.
Inflexní bod je bod, ve kterém se mění konvexita funkce.

Co nám f″ říká o konvexitě funkce f

Když je druhá derivace f″ kladná, tak to znamená, že první derivace f′ roste, takže f je konvexní. Záporná f″ pak znamená, že f′ klesá, a tedy že f je konkávní.
f″f′f
kladná +roste ↗konvexní ∪
záporná −klesá ↘konkávní ∩
protíná osu x (mění znaménko)bod lokálního extrému (mění směr)inflexní bod (mění konvexitu)
Tady je jeden grafický příklad:
f″f′f
Všimni si, jak je f konkávní nalevo od bodu x=c a konvexní napravo od bodu x=c.
Příklad 1
f je dvakrát diferencovatelná funkce. Toto je graf její druhé derivace, tedy funkce f″.
Na kterém intervalu je f pouze konvexní?
Vyber 1 odpověď:

Častá chyba: Špatné porozumění vztahu mezi f, f′ a f″

Pamatuj, že aby f byla konvexní, f′ musí být rostoucí a f″ musí být kladná. Jiné chování funkcí f, f′ a f″ spolu nemusí nutně souviset.
Například v Příkladu 1 výše byla f″ konvexní na intervalu ⟨−8;−2⟩, ale to neznamená, že i f je na tomto intervalu konvexní.
Příklad 2
h je dvakrát diferencovatelná funkce. Toto je graf její druhé derivace, tedy funkce h″.
Který z bodů je inflexním bodem funkce h?
Vyber 1 odpověď:

Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.

Častá chyba: Špatná interpretace zadaného grafu

Představ si, že by nějaký student řešil Příklad 2 výše a myslel si, že jde o graf první derivace funkce h. V takovém případě by inflexními body funkce h byly body A a B, protože v těchto bodech h′ mění svůj směr. Tento student by však neměl pravdu, protože v zadání je graf druhé derivace, takže správnou odpovědí je bod D.
Vždy se ujisti, že dobře rozumíš tomu, co máš v zadání. Máš zadaný graf funkce f, její první derivace f′ nebo její druhé derivace f″?
Příklad 3
Níže je nakreslen graf funkce g a graf její druhé derivace g″.
Čtyři studenti měli na základě diferenciálního počtu zdůvodnit to, že bod x=−2 je inflexním bodem funkce g.
Dokážeš spojit komentář učitele se zdůvodněním studenta?
1

Použití druhé derivace k určení toho, zda je extrém funkce minimem nebo maximem

Představ si, že nám někdo řekl, že funkce f má v bodě x=1 extrém a že na intervalu <0;2> je tato funkce konvexní. Dokážeme na základě těchto informací říct, zda jde o bod minima nebo maxima?
Odpověď zní ANO. Vzpomeň si, že graf konvexní funkce má tvar údolí, tedy ∪. Křivka s takovýmto tvarem může mít pouze minimum.
Obdobně platí, že pokud je funkce v bodě svého extrému konkávní, tak je tento extrém jejím maximem.
Příklad 4
Níže je nakreslen graf funkce h a graf její druhé derivace h″.
Když víme, že h′(−4)=0, jak na základě diferenciálního počtu zdůvodníme, že funkce h má v bodě x=−4 lokální maximum?
Vyber 1 odpověď:

Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus tohle cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.