Určení konvexity funkce z grafu

Níže je nakreslený graf funkce f(x). Zvýrazni interval, na kterém je f(x) s čárkou, nebo můžeme říct první derivace x... Pardon, první derivace funkce ‚f‘ podle ‚x‘. ...je větší než 0 a f(x) se dvěma čárkami, tedy druhá derivace funkce ‚f‘ podle ‚x‘, je menší než 0. Zamysleme se tedy, co po nás chtějí. Hledáme interval, na kterém je první derivace větší než 0. To znamená, že směrnice tečny musí být kladná, což znamená, že funkce musí být na daném intervalu rostoucí. Když se podíváme sem, tak v celé této části grafu funkce zřejmě klesá, načež se sklon v tomto bodě rovná 0. Poté funkce roste až do tohoto bodu, ve kterém je sklon nulový, a následně funkce opět klesá. Tato první podmínka nám tedy říká, že musí jít o nějakou část tohoto intervalu. Potom po nás chtějí, aby byla druhá derivace menší než 0. To znamená, že sklon, ať už je kladný nebo záporný, klesá. Funkce bude na daném intervalu konkávní. Sklon může být kladný, ale bude čím dál tím méně kladný. Hledáme tedy interval, na němž je sklon kladný, ale stává se čím dál méně kladným. Když se podíváme sem, sklon tu je kladný, ale roste. Graf je stále strmější a strmější, načež náhle začne být méně a méně strmý až do tohoto bodu, kde je sklon roven 0. Námi hledaným intervalem tak bude tento interval. Sklon je kladný, funkce je zřejmě rostoucí, ale roste čím dál pomaleji. Vyberu tedy tohle. Udělejme ještě jeden příklad. Níže je nakreslen graf funkce f(x). Zvýrazni interval, na kterém je f(x) s čárkou větší než 0... Máme tedy totéž co minule, funkce musí být rostoucí, ale musí růst čím dál tím pomaleji. Funkce musí být rostoucí... Funkce je rostoucí v celé této části. Vidíme, že zde je graf velmi strmý, načež se stává méně a méně strmým. Směrnice tečny se blíží k 0, tedy i rychlost, s jakou roste funkční hodnota. Vybral bych tedy něco z téhle oblasti.