Úvod do konvexity funkce

Máme tady žlutě nakreslený graf funkce y rovná se f(x). Dále tu je světle fialový graf funkce y rovná se derivace f, tedy y rovná se f(x) s čárkou, a poté je tu v modré barvě graf funkce y rovná se druhá derivace f. Toto je tedy derivace téhle první derivace. Už jsme viděli, jak lze najít lokální minima a maxima funkce. Samozřejmě, pokud před sebou máme graf, tak lehce poznáme, že zde má funkce lokální maximum. Funkce pak dále může nabývat ještě vyšších hodnot. Rovněž snadno nahlédneme, že zde má funkce lokální minimum. Funkce pak tady může nabývat ještě nižších hodnot. Viděli jsme ale, že i když před sebou nemáme graf, ale máme předpis funkce, který jsme schopni zderivovat, tak můžeme... Možná i když funkci nedokážeme zderivovat. ...tak můžeme zjistit, že tohle jsou body lokálního minima nebo maxima. Dělali jsme to tak, že jsme nejprve našli stacionární body funkce. To jsou body, ve kterých derivace funkce buď není definovaná, nebo se rovná nule. Tohle je derivace naší funkce. Nule se rovná tady a tady, takže to budou stacionární body. Nevidím žádný bod, ve kterém by derivace nebyla definovaná. Tyto dva body jsou tedy stacionární body. Jde o podezřelé body, ve kterých má funkce nejspíš lokální minimum nebo maximum. Zda jde o lokální minimum nebo maximum jsme zjistili tak, že jsme se podívali na chování derivace na okolí daného bodu. V tomto případě vidíme, že derivace je kladná, když se k bodu blížíme zleva, a pak se stává zápornou. Derivace se tedy změnila z kladné na zápornou při průchodu tímto bodem, což znamená, že funkce byla rostoucí... Derivace je kladná, takže funkce roste, jak se k bodu blížíme zleva, a pak funkce klesá, jak jdeme napravo od tohoto bodu. To znamená, že jde o bod lokálního maxima. Když se k bodu blížíme zleva, funkce roste, a když jdeme doprava, tak klesá. Tohle je tedy určitě lokální maximum. Podobně, když se podíváme sem, tak vidíme, že derivace je záporná, jak se k tomu bodu blížíme zleva, což znamená, že funkce klesá. Vidíme, že když jdeme od tohoto bodu doprava, tak je derivace kladná. Derivace se změnila ze záporné na kladnou, což znamená, že funkce se v tomto bodě změnila z klesající na rostoucí, což nám říká, že v tomto stacionárním bodě má funkce lokální minimum. Rád bych teď naše znalosti rozšířil o konvexitu funkce. Vím, že to možná špatně vyslovuji. Abychom pochopili konvexitu funkce, podívejme se na druhou derivaci a na to, jak díky ní namísto těchto změn při průchodu bodem poznáme, zda má funkce v daném bodě lokální minimum nebo maximum. Zamysleme se nejdřív, co se děje v této části grafu. Máme tu část křivky, která vypadá trochu jako oblouk, jenž se otevírá směrem dolů. Vypadá to trochu jako A bez čáry uprostřed nebo jako obrácené U. Pak se podíváme na to, co se děje v této části, kde má křivka tvar písmene U. Když začneme v tomto prvním intervalu, vidíme, že je sklon velmi... Udělám to tou samou barvou, kterou jsem použil pro derivaci. ...sklon je velmi kladný. Poté je čím dál tím míň kladný, až se nakonec rovná nule, načež neustále klesá a stává se trochu záporným, pak je víc a víc záporný a nakonec někde tady přestává klesat. Sklon funkce tady přestane klesat. Vidíme to i na grafu derivace. Sklon klesá a klesá až do tohoto bodu, načež začíná růst. V celé této části tedy sklon funkce klesá. Vidíme to i v grafu derivace. Derivace na celém tomto intervalu klesá. Co vidíme, když se podíváme na druhou derivaci? Když první derivace klesá, tak je druhá derivace, tedy derivace derivace, záporná. Vidíme, že to tak opravdu je. Na celém tomto intervalu je druhá derivace skutečně záporná. Co se teď stane, když přejdeme do části, kde křivka vypadá jako U? Zde je derivace poměrně záporná, ale pak se začíná... Sice je pořád záporná, ale stává se čím dál tím méně zápornou, až se nakonec v tomto bodě rovná nule, načež je stále více kladná, jak je tady vidět. Na celém tomhle intervalu sklon funkce, tedy její derivace, roste. Sklon roste. Můžeme zde vidět, že v tomhle bodě je sklon nulový. Sklon derivace je nula, samotná derivace se v tuto chvíli nemění. Následně vidíme, že sklon roste. Opět se můžeme podívat, jak bude vypadat druhá derivace, tedy derivace derivace. Když je první derivace rostoucí, druhá derivace musí být kladná. Druhá derivace je zde skutečně kladná. Existuje speciální název pro části grafu, které vypadají jako převrácené nebo normální písmeno U. Řekneme, že v této části je funkce konkávní a že zde je funkce konvexní. Pojďme si zopakovat, jak určíme intervaly, na kterých je funkce konkávní či konvexní. Když máme interval, na kterém je funkce konkávní, tak vidíme několik věcí. Vidíme, že sklon funkce je klesající, což je totéž jako říci, že derivace funkce f je klesající, a to jinak řečeno znamená, že druhá derivace musí být záporná. Jestliže první derivace klesá, druhá derivace musí být záporná. Tohle je tedy totéž jako říci, že druhá derivace musí být na daném intervalu záporná. Je-li tedy druhá derivace záporná, tak je funkce na daném intervalu konkávní. Obdobně... Dělá mi potíže to slovo vyslovit. ...obdobně se podívejme na interval, na němž je funkce konvexní, tedy kde má graf funkce tvar U. Konvexní. Na těchto intervalech je sklon rostoucí. Sklon je záporný, pak méně záporný, ještě méně záporný, nulový, kladný, kladnější, ještě kladnější... Sklon je tedy rostoucí, což znamená, že derivace funkce je rostoucí. To můžeme vidět zde. Hodnota derivace roste. Tohle pak znamená, že na intervalu, kde je funkce konvexní, musí být druhá derivace větší než nula. Když je druhá derivace větší než nula, tak je první derivace rostoucí, a tudíž i sklon funkce je rostoucí. Funkce je na daném intervalu konvexní. Když už jsme si teď zadefinovali, kdy je funkce konkávní a konvexní, dokážeme vymyslet jiný způsob, jak zjistit, zda má funkce v stacionárním bodě lokální minimum nebo maximum? Když má funkce lokální maximum... Máme-li stacionární bod, okolo něhož je funkce konkávní, tak jde o bod lokálního maxima. Funkce musí být konkávní. Ještě to ujasním. Konkávní znamená, že graf se takhle otevírá dolů. Když máme stacionární bod... Předpokládejme, že funkce je konkávní a diferencovatelná na celém tomto intervalu. Ve stacionárním bodě bude sklon roven nule, takže to je tento bod. Když máme konkávní funkci a bod ‚a‘, ve kterém je derivace rovna nula, tak je bod ‚a‘ bodem lokálního maxima. Podobně to platí i tehdy, když je funkce konvexní, což znamená, že její graf vypadá nějak takto. Pokud jsme našli nějaký bod... Stacionární bod může být samozřejmě také bod, ve kterém derivace není definovaná, ale když předpokládáme, že první i druhá derivace jsou definované, tak bude stacionárním bodem ten bod, ve kterém je první derivace rovna nule, neboli pro který platí, že f s čárkou v bodě ‚a‘ se rovná nule. Když je f s čárkou v bodě ‚a‘ rovno nule a funkce je na intervalu okolo bodu ‚a‘ konvexní, tedy když je druhá derivace větší než 0, tak je celkem zřejmé, že se jedná o lokální minimum, tedy že funkce má v bodě ‚a‘ svoje lokální minimum.