Hledání globálních extrémů funkce na uzavřeném intervalu

Řekněme, že máme funkci f(x), která se' rovná 8 krát ln(x) minus (x na druhou) a je definovaná na uzavřeném intervalu mezi 1 a 4. Je to uzavřený interval, takže obsahuje i 1 a 4. Můžeme se na to dívat tak, že jde o definiční obor naší funkce. Když už znáte tohle všechno, tuhle definici naší funkce, tak bych chtěl, abyste našli globální maximum funkce f, jak jsme si ji tady definovali. f je definovaná na tomto uzavřeném intervalu. Zastavte si video a zkuste na to přijít sami. Věta o nabývání extrémů nám říká, že když máme nějaký uzavřený interval... Budu teď mluvit obecně. Řekněme, že tohle je osa x a že máme nějakou funkci definovanou na uzavřeném intervalu. Je několik možností, jak může funkce na tomto uzavřeném intervalu vypadat. Globálního maxima může funkce nabýt v počátečním bodě intervalu. To by vypadalo nějak takhle. Globálního maxima může funkce nabýt v koncovém bodě intervalu, což by mohlo vypadat nějak takhle. Maximum je na konci intervalu. Globálního maxima může funkce nabýt také někde uprostřed, což by mohlo vypadat třeba takhle. V tomto bodě globálního maxima je směrnice tečny rovna 0, tedy derivace v tomto bodě je 0. Nebo můžeme mít funkci, která nabývá globálního maxima uprostřed a vypadá nějak takhle. Když vypadá takhle, tak derivace v tomto bodě není definovaná. Existuje totiž mnoho tečen, které by tímto bodem mohly vést. Musíme tudíž vyzkoušet krajní body, tedy podívat se na funkční hodnotu v počátečním a koncovém bodě intervalu, a pak musíme najít body, ve kterých je derivace rovna 0 nebo není definovaná. Body, ve kterých je derivace buď rovna 0, nebo není definovaná, jsme viděli už dříve a nazýváme je stacionární body. Tohle je tedy... Můžeme předpokládat, že jde o ten samý bod. Tento bod nazveme stacionární bod. To jsou možní kandidáti. Stacionární bod by mohl být i někde tady. Řekněme, že sklon je zde 0. Mohl by být tady. Není to ale maximum ani minimum. Můžeme ovšem udělat to, že až najdeme všechny stacionární body, tak spočítáme funkční hodnotu v těchto stacionárních bodech a v krajních bodech a podíváme se, která hodnota je největší. Všechno jsou to kandidáti na bod globálního maxima funkce f. Nejprve se můžeme podívat na... Nalezněme nejprve stacionární body, protože to stejně budeme muset udělat. Musíme zderivovat f. f(x) s čárkou se rovná... Derivace přirozeného logaritmu z x je 1 lomeno x, takže to bude (8 lomeno x) minus (2 krát x). Tohle teď položme rovno 0. Nyní nás zajímá tato část. K oběma stranám můžeme přičíst 2 krát x, čímž dostaneme, že 8 lomeno x se rovná 2 krát x. Nyní obě strany vynásobíme x a vyjde nám, že 8 se rovná 2 krát (x na druhou). Po vydělení obou stran 2 dostaneme, že 4 se rovná (x na druhou), a kdybychom jen řešili tuto rovnici, vyšlo by nám, že x se rovná +2 nebo −2. My ale říkáme, že funkce je definovaná pouze na tomto intervalu, takže −2 neleží v jejím definičním oboru, a tak nás bude zajímat pouze bod x rovno 2. Tohle určitě je stacionární bod. Našli jsme ale všechny stacionární body? Toto je jediný bod, vyjma −2... Je to jediný bod v našem intervalu, ve kterém je f(x) s čárkou rovna 0. A co body, ve kterých derivace není definovaná? f(x) s čárkou nebude definovaná jedině tehdy, když bude v tomhle jmenovateli 0. 0 ale neleží v tomto intervalu, tudíž jediným stacionárním bodem v tomto intervalu je x rovno 2. Teď musíme spočítat hodnotu ‚f‘ v obou krajních bodech a tomto stacionárním bodě a podívat se, která hodnota je největší. Musíme tedy spočítat f(1), což se rovná 8 krát přirozený logaritmus z 1, to celé minus (1 na druhou). Dále musíme spočítat f(4), což je 8 krát přirozený logaritmus ze 4, od čehož odečteme 4 na druhou neboli 16. Musíme také spočítat f(2). Tohle byly krajní body a toto je stacionární bod. 8 krát přirozený logaritmus ze 2, to celé minus (2 na druhou). Která z těchto hodnot je největší? Asi byste na to chtěli použít kalkulačku, ale zkusme použít naši intuici. Přirozený logaritmus z 1 se rovná 0, protože e na nultou se rovná 1. 8 krát 0 je 0, takže to dohromady bude −1. Teď se podívejme, čemu se rovná tohle. Přirozený logaritmus ze 4... e se rovná 2,7 a nějaké drobné, takže tohle číslo bude mezi 1 a 2. Ve skutečnosti to je... Ano, mezi 1 a 2. To následně vynásobíme 8, takže to bude něco mezi 8 a 16, načež od toho odečteme 16, a tak vyjde něco mezi 0 a −8. Není tedy jasné, když nepoužijeme kalkulačku, ale jen tento hrubý odhad, která z těchto hodnot je větší. Obě jsou to ale záporná čísla. A co tohle? Přirozený logaritmus ze 2, to bude nějaký zlomek. Bude to víc než jedna polovina, a protože je to víc než jedna polovina, tak tohle celé bude větší než 4, což znamená, že celý tento výraz bude kladný. Tohle je záporné, tohle je záporné, ale tohle je kladné. Toto jsou jediní možní kandidáti na bod globálního maxima, takže bych vybral tohle. Funkce svého globálního maxima nabývá v bodě x rovno 2 a toto globální maximum je: 8 krát přirozený logaritmus ze 2, to celé minus 4. Toto je globální maximum na zadaném intervalu, mohli bychom říci „na definičním oboru naší funkce.“ Kdybychom si to chtěli ověřit kalkulačkou, tak samozřejmě můžeme. Tohle jsme už spočítali, takže spočítejme f(4). 8 krát přirozený logaritmus ze 4, to celé minus 16, se rovná −5. Tohle tedy určitě není globální maximum. f(2) je 8 krát přirozený logaritmus ze 2, to celé minus 4, což je, jak jsme řekli, skutečně kladné číslo. To, co nám vyšlo, tedy vypadá dobře.