Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 5: Globální extrémyHledání globálních extrémů funkce na uzavřeném intervalu
V tomto videu zjistíme, jakou maximální hodnotu nabývá funkce f(x)=8ln(x)-x² na intervalu ⟨1;4⟩. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Řekněme, že máme funkci f(x), která se'
rovná 8 krát ln(x) minus (x na druhou) a je definovaná na
uzavřeném intervalu mezi 1 a 4. Je to uzavřený interval,
takže obsahuje i 1 a 4. Můžeme se na to dívat tak,
že jde o definiční obor naší funkce. Když už znáte tohle všechno,
tuhle definici naší funkce, tak bych chtěl, abyste našli
globální maximum funkce f, jak jsme si
ji tady definovali. f je definovaná na
tomto uzavřeném intervalu. Zastavte si video
a zkuste na to přijít sami. Věta o nabývání
extrémů nám říká, že když máme
nějaký uzavřený interval... Budu teď
mluvit obecně. Řekněme,
že tohle je osa x a že máme nějakou funkci
definovanou na uzavřeném intervalu. Je několik možností, jak může funkce
na tomto uzavřeném intervalu vypadat. Globálního maxima může funkce
nabýt v počátečním bodě intervalu. To by vypadalo
nějak takhle. Globálního maxima může funkce
nabýt v koncovém bodě intervalu, což by mohlo
vypadat nějak takhle. Maximum je na
konci intervalu. Globálního maxima může funkce
nabýt také někde uprostřed, což by mohlo
vypadat třeba takhle. V tomto bodě globálního maxima
je směrnice tečny rovna 0, tedy derivace
v tomto bodě je 0. Nebo můžeme
mít funkci, která nabývá globálního maxima
uprostřed a vypadá nějak takhle. Když vypadá takhle, tak derivace
v tomto bodě není definovaná. Existuje totiž mnoho tečen,
které by tímto bodem mohly vést. Musíme tudíž vyzkoušet
krajní body, tedy podívat se na funkční hodnotu
v počátečním a koncovém bodě intervalu, a pak musíme najít body, ve kterých je
derivace rovna 0 nebo není definovaná. Body, ve kterých je derivace buď
rovna 0, nebo není definovaná, jsme viděli už dříve a nazýváme
je stacionární body. Tohle je tedy... Můžeme předpokládat,
že jde o ten samý bod. Tento bod nazveme
stacionární bod. To jsou
možní kandidáti. Stacionární bod by mohl
být i někde tady. Řekněme, že sklon
je zde 0. Mohl by být tady. Není to ale
maximum ani minimum. Můžeme ovšem
udělat to, že až najdeme
všechny stacionární body, tak spočítáme funkční hodnotu v těchto
stacionárních bodech a v krajních bodech a podíváme se,
která hodnota je největší. Všechno jsou to kandidáti na
bod globálního maxima funkce f. Nejprve se můžeme
podívat na... Nalezněme nejprve stacionární body,
protože to stejně budeme muset udělat. Musíme zderivovat f. f(x) s čárkou se rovná... Derivace přirozeného logaritmu
z x je 1 lomeno x, takže to bude (8 lomeno x)
minus (2 krát x). Tohle teď
položme rovno 0. Nyní nás zajímá
tato část. K oběma stranám
můžeme přičíst 2 krát x, čímž dostaneme, že 8 lomeno x
se rovná 2 krát x. Nyní obě strany
vynásobíme x a vyjde nám, že 8 se rovná
2 krát (x na druhou). Po vydělení obou stran 2 dostaneme,
že 4 se rovná (x na druhou), a kdybychom jen
řešili tuto rovnici, vyšlo by nám, že
x se rovná +2 nebo −2. My ale říkáme, že funkce je
definovaná pouze na tomto intervalu, takže −2 neleží v
jejím definičním oboru, a tak nás bude zajímat
pouze bod x rovno 2. Tohle určitě je
stacionární bod. Našli jsme ale všechny
stacionární body? Toto je jediný bod,
vyjma −2... Je to jediný bod v našem intervalu,
ve kterém je f(x) s čárkou rovna 0. A co body, ve kterých
derivace není definovaná? f(x) s čárkou nebude definovaná jedině
tehdy, když bude v tomhle jmenovateli 0. 0 ale neleží
v tomto intervalu, tudíž jediným stacionárním bodem
v tomto intervalu je x rovno 2. Teď musíme spočítat hodnotu ‚f‘ v obou
krajních bodech a tomto stacionárním bodě a podívat se, která
hodnota je největší. Musíme tedy spočítat f(1), což se
rovná 8 krát přirozený logaritmus z 1, to celé
minus (1 na druhou). Dále musíme
spočítat f(4), což je 8 krát přirozený logaritmus ze 4,
od čehož odečteme 4 na druhou neboli 16. Musíme také
spočítat f(2). Tohle byly krajní body
a toto je stacionární bod. 8 krát přirozený logaritmus ze 2,
to celé minus (2 na druhou). Která z těchto
hodnot je největší? Asi byste na to chtěli použít kalkulačku,
ale zkusme použít naši intuici. Přirozený logaritmus z 1
se rovná 0, protože e na nultou
se rovná 1. 8 krát 0 je 0, takže to
dohromady bude −1. Teď se podívejme,
čemu se rovná tohle. Přirozený logaritmus ze 4... e se rovná 2,7 a nějaké drobné,
takže tohle číslo bude mezi 1 a 2. Ve skutečnosti to je... Ano, mezi 1 a 2. To následně vynásobíme 8,
takže to bude něco mezi 8 a 16, načež od toho
odečteme 16, a tak vyjde něco
mezi 0 a −8. Není tedy jasné, když nepoužijeme
kalkulačku, ale jen tento hrubý odhad, která z těchto
hodnot je větší. Obě jsou to ale
záporná čísla. A co tohle? Přirozený logaritmus ze 2,
to bude nějaký zlomek. Bude to víc
než jedna polovina, a protože je to víc než jedna polovina,
tak tohle celé bude větší než 4, což znamená, že celý
tento výraz bude kladný. Tohle je záporné, tohle je
záporné, ale tohle je kladné. Toto jsou jediní možní kandidáti
na bod globálního maxima, takže bych
vybral tohle. Funkce svého globálního maxima
nabývá v bodě x rovno 2 a toto globální
maximum je: 8 krát přirozený logaritmus
ze 2, to celé minus 4. Toto je globální maximum
na zadaném intervalu, mohli bychom říci „na
definičním oboru naší funkce.“ Kdybychom si to chtěli ověřit kalkulačkou,
tak samozřejmě můžeme. Tohle jsme
už spočítali, takže spočítejme f(4). 8 krát přirozený logaritmus ze 4,
to celé minus 16, se rovná −5. Tohle tedy určitě
není globální maximum. f(2) je 8 krát přirozený logaritmus ze 2,
to celé minus 4, což je, jak jsme řekli,
skutečně kladné číslo. To, co nám vyšlo,
tedy vypadá dobře.