If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Globální minima a maxima funkce (na celém definičním oboru)

Podíváme se na to, ve kterých bodech svého celého definičního oboru nabývá funkce g(x)=x²ln(x) globální minimum a maximum.

Transkript

Máme funkci g(x) rovná se (x na druhou) krát přirozený logaritmus z x. V tomto videu zkusíme nalézt globální extrémy této funkce g(x), tedy zda existují nějaké body x, ve kterých g nabývá globálního maxima nebo minima. Zajímá nás tedy takzvané globální maximum a minimum. Nejprve se podívejme, jak vypadá definiční obor funkce g. Víme, že do přirozeného logaritmu musíme dosazovat čísla ‚x‘ větší než 0. Definičním oborem jsou tedy všechna reálná čísla větší než 0. x musí být větší než 0. Cokoliv jiného... Přirozený logaritmus z 0 není definovaný, protože není žádné číslo, na které bychom mohli umocnit e tak, aby vyšla 0. Přirozený logaritmus ze záporného čísla pak také není definovaný. Tohle je tedy definiční obor. V definičním oboru jsou všechna reálná čísla x, která jsou větší než 0. Body globálních extrémů tak musí ležet v tomto definičním oboru. Abychom tyto body našli, tak nejprve nalezněme body lokálních extrémů a podívejme se, zda jsou některé z nich dobrými kandidáty na globální extrém. Lokální extrémy najdeme pomocí stacionárních bodů. Zderivujme tedy funkci g. g s čárkou... Použiju novou barvu. ...g(x) s čárkou se rovná... Použijeme vzorec pro derivaci součinu. ...derivaci (x na druhou), což je 2 krát x, krát přirozený logaritmus z x plus (x na druhou) krát derivace přirozeného logaritmu z x, která se rovná 1 lomeno x. (x na druhou) krát (1 lomeno x) můžeme přepsat jako... Můžeme předpokládat, že x je kladné, takže to bude jenom... Vlastně tady ani nic předpokládat nemusím, protože (x na druhou) děleno x se jednoduše rovná x. To bychom měli. Nyní už známe g s čárkou, takže se podívejme na stacionární body. Ve stacionárních bodech je derivace... Jsou to body uvnitř definičního oboru, takže musí splňovat, že x je větší než 0. ...ve kterých je g s čárkou buď nedefinovaná, nebo rovna 0. Zaměřme se nejdřív na to, kdy je g s čárkou rovna 0. Položme ji rovnou nule. 2 krát x krát přirozený logaritmus z x, to celé plus x, se rovná 0. Od obou stran můžeme odečíst x, čímž dostaneme, že 2 krát x krát přirozený logaritmus z x se rovná −x. Když nyní obě strany vydělíme x... To můžeme udělat, protože víme, že x nemůže být 0. V definičním oboru jsou x větší než 0. ...tak dostaneme... Vlastně obě strany vydělme (2 krát x), čímž dostaneme, že přirozený logaritmus z x se rovná minus (1 lomeno 2). −x děleno (2 krát x) je minus (1 lomeno 2). Tohle můžeme napsat také tak, že x se rovná e na minus (1 lomeno 2), protože přirozený logaritmus je logaritmus o základu e. x se rovná e na minus (1 lomeno 2), což můžeme napsat také takto. e na minus (1 lomeno 2) neboli 1 lomeno druhá odmocnina z e. Toto je bod, ve kterém g... Ve kterém je derivace rovna 0. Jde tedy o stacionární bod naší původní funkce g. Je to zároveň jediný bod, ve kterém je g s čárkou rovna 0. Existují nějaké body, v nichž není g s čárkou definovaná? Musí to být body v tomto definičním oboru. Čím by se tohle stalo nedefinovaným? 2 krát x a x můžeme vyčíslit pro libovolné x. Přirozený logaritmus z x bude opět definovaný pouze pro x větší než 0, ale my už jsme se na tohle omezili v definičním oboru, takže pro každý bod z tohoto definičního oboru bude derivace definovaná. Když už tohle víme, podívejme se, co se děje na obou stranách tohoto stacionárního bodu. Nakreslím sem číselnou osu, abychom si to lépe představili. Když je tady −1 a zde 0, tak e na... Tohle je něco jako 1 lomeno... Tohle bude něco trochu menšího než 1, takže si sem ještě nakreslím 1 a tady bude 2. Máme tedy stacionární bod 1 lomeno druhá odmocnina z e, což bude někde tady. 1 lomeno druhá odmocnina z e. Víme, že funkce je definovaná jen pro všechna x větší než 0. Podívejme se tedy na interval mezi 0 a tímto stacionárním bodem, což je tento interval. Jde o otevřený interval od 0 do druhé odmocniny z e. Zamysleme se, zda je zde g s čárkou kladná nebo záporná, a potom totéž udělejme pro x větší než 1 lomeno druhá odmocnina z e, což je interval od 1 lomeno druhá odmocnina z e do nekonečna. Zkusme dosadit nějakou hodnotu, která leží ve žlutém intervalu. Zkusme spočítat g s čárkou v bodě... Nevím, třeba g s čárkou v bodě 0,1. 0,1 určitě leží v tomto intervalu. Bude to 2 krát 0,1, což je 0,2, krát přirozený logaritmus z 0,1 a ještě plus 0,1. Tak se na to podívejme. Tohle bude záporné číslo, dokonce to bude poměrně... Určitě to bude větší než −1, protože e na minus prvou je jenom... e na minus prvou je 1 lomeno e, což je 1 lomeno 2,7. 1 lomeno 2,7 bude... Tohle bude přibližně 0,3 nebo 0,4. Abychom dostali 0,1... Tohle je tedy okolo 0,3 nebo 0,4. Abychom dostali 0,1, musíme vzít ještě zápornější číslo, takže můžeme říct, že tohle je méně než −1. Tohle je méně než −1 a násobím to 0,2, takže mi vyjde záporné číslo, které je menší než −0,2. Když k tomu následně přičtu 0,1, tak bude výsledek pořád záporné číslo. Na tomto žlutém intervalu je tedy g(x) s čárkou menší než 0. Bylo by... Měl jsem, nebo spíš mohl jsem, vytáhnout kalkulačku. Spočítal bych to díky ní mnohem jednodušeji. Na tomto intervalu je tedy g(x) s čárkou méně než 0. Nyní se podívejme, co se děje na tomto modrém intervalu. Tohle bude jednodušší, protože můžeme dosadit 1. g(1) s čárkou se rovná 2 krát ln(1) plus 1. Přirozený logaritmus z 1 je 0, takže tohle celé se zjednoduší na 1. Na tomto modrém intervalu... Zkusil jsem bod, který v něm leží. ...je g(x) s čárkou větší než 0. Vypadá to tedy, že naše funkce klesá od 0 do 1 lomeno druhá odmocnina z e a pak už jen roste. Tedy je rostoucí pro všechna x větší než 1 lomeno druhá odmocnina z e. Naše funkce tedy nabývá... Když do tohoto bodu klesá a pak roste, tak nabude globálního minima v bodě x rovno 1 lomeno druhá odmocnina z e. Zapíšu to. Funkce nabývá globálního minima v bodě x rovno 1 lomeno druhá odmocnina z e. Globální maximum funkce nemá, protože když se dostaneme za bod 1 lomeno druhá odmocnina z e, tak... Zamysleme se, co se stane. Funkce půjde... Víme, že funkce bude pořád růst a růst. Můžeme se podívat i na tohle. x na druhou půjde do nekonečna a ln(x) sice bude růst pomaleji než x na druhou, ale také půjde do nekonečna, takže funkce nemá žádné globální maximum. Podívejme se nyní na graf, abychom měli dobrý pocit z toho, co jsme teď dělali analyticky bez grafu. Já už jsem se na graf předem podíval. Zkopíruji ho sem. Takhle vypadá graf naší funkce. Jak můžeme vidět, tenhle bod je 1 lomeno druhá odmocnina z e. Jen od pohledu ale není zřejmé, že jde o tento bod. x rovno 1 lomeno druhá odmocnina z e. Vidíme, že zde funkce skutečně nabývá globálního minima a že nemá žádné globální maximum. Funkce může nabýt libovolně velkou hodnotu.