Opakování globálních minim a maxim funkce

Bod globálního maxima je bod, ve kterém funkce nabývá svou největší možnou hodnotu. Bod globálního minima je naopak bod, ve kterém funkce nabývá svou nejmenší možnou hodnotu.

Když už víš, jak najít body lokálních extrémů, tak k nalezení bodů globálních extrémů musíš udělat ještě jeden krok, a to podívat se, co se děje na koncích intervalu, na kterém extrémy hledáš.

Věta o nabývání extrémů nám říká, že spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá svého globálního minima a maxima. Těchto extrémů funkce nabývá buď v bodě lokálního extrému uvnitř intervalu, nebo v jednom z koncových bodů intervalu.

Zkusme například najít globální extrémy funkce $h(x)=2x^3+3x^2-12x$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x na intervalu $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3.

$h'(x)=6(x+2)(x-1)$h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, takže stacionárními body jsou body $x=-2$x, equals, minus, 2 a $x=1$x, equals, 1. Tyto body rozdělují uzavřený interval $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 na tři části:

Nyní se podíváme na stacionární body a na koncové body intervalu:

Na uzavřeném intervalu $-3 \leq x \leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 jsou body $[-3;9]$open bracket, minus, 3, ;, 9, close bracket a $[1;-7]$open bracket, 1, ;, minus, 7, close bracket body lokálního minima, zatímco body $[-2;20]$open bracket, minus, 2, ;, 20, close bracket a $[3;45]$open bracket, 3, ;, 45, close bracket jsou body lokálního maxima.

Všimni si, že globálního minima funkce nabývá uvnitř intervalu, zatímco globálního maxima funkce nabývá v krajním bodu intervalu.

Ne všechny funkce mají na celém svém definičním oboru globální maximum nebo minimum. Například lineární funkce $f(x)=x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x nemá globální minimum ani maximum (její hodnota může být libovolně velká nebo malá).

Jiné funkce však na celém svém definičním oboru globální extrém mají. Podívejme se například na funkci $g(x)=xe^{3x}$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript.

$g'(x)=e^{3x}(1+3x)$g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis, takže jediným stacionárním bodem je bod $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.

Představme si, že jdeme po grafu funkce $g$g, a to úplně zleva (tedy od $-\infty$minus, infinity) až úplně doprava (tedy až do $+\infty$plus, infinity).

Nejprve půjdeme stále dolů, dokud se nedostaneme do bodu $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Odsud už půjdeme pořád nahoru. $g$g má tedy v bodě $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction globální minimum a nemá žádné globální maximum.