Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 7: Určování konvexity a inflexních bodů- Určení konvexity funkce algebraicky
- Určení inflexních bodů funkce algebraicky
- Chyby při hledání inflexních bodů: nedefinovaná druhá derivace
- Chyby při hledání inflexních bodů: neprověření kandidátů
- Hledání inflexních bodů pomocí druhé derivace
- Určování konvexity funkce
- Hledání inflexních bodů funkce
- Opakování konvexity funkce
- Opakování inflexních bodů funkce
Chyby při hledání inflexních bodů: nedefinovaná druhá derivace
Kandidátem na inflexní bod jsou body, pro které je druhá derivace nulová a body, pro které druhá derivace není definovaná. Je důležité, abychom žádného možného kandidáta nepřehlédli.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Robert měl za
úkol zjistit, jaké inflexní body má funkce g(x),
která se rovná třetí odmocnině z ‚x‘. Toto je
jeho řešení. Dole se nás
pak ptají: „Postupoval Robert správně? Pokud ne, v čem udělal chybu?“ Zastavte si video a zkuste
to nejprve vyřešit sami. Teď se na to
podívejme společně. Naše původní funkce g(x) se
rovná třetí odmocnině z ‚x‘, což je totéž jako
x na (1 lomeno 3). Vypadá to, že v kroku 1 chtěl
Robert spočítat první a druhou derivaci. První derivace je derivace mocniny,
takže vyjde (1 lomeno 3) krát x na... Exponent zmenšíme o 1,
takže tohle vypadá dobře. Druhou derivaci zjistíme tak,
že tohle vynásobíme (1 lomeno 3), což se rovná
minus (2 lomeno 9), a minus (2 lomeno 3) zmenšíme o 1,
což nám skutečně dá minus (5 lomeno 3), takže tohle taky
vypadá dobře. Nakonec se to
Robert pokusil přepsat. Pořád tu máme
minus (2 lomeno 9) a potom Robert
správně poznal, že je to totéž jako mít
x na (5 lomeno 3) ve jmenovateli a že x na (5 lomeno 3) je to samé co
třetí odmocnina z (x na pátou). Zatím to všechno
vypadá dobře. Krok 1 je správně. V kroku 2 to vypadá, že
se Robert snažil najít řešení... Snažil se najít ta čísla ‚x‘, pro
která je druhá derivace rovna 0. Je skutečně pravda, že
tato rovnice nemá řešení, tedy že tato druhá derivace
nebude nikdy rovna 0. Aby to bylo rovno 0,
čitatel by musel být rovný 0, ale 2 se nikdy
nebude rovnat 0, takže tohle
je správně. V kroku 3 Robert říká, že funkce
g nemá žádné inflexní body. Tohle je trochu
podezřelé. V mnoha případech je inflexní bod ten bod,
ve kterém je druhá derivace rovna 0, i když v té chvíli ještě nevíme, že je to
inflexní bod, je to jen bod podezřelý, u kterého musíme ověřit, že druhá derivace
mění znaménko při průchodu tímto bodem x. Zde nenastává situace, že by
se druhá derivace rovnala 0, ale nesmíme zapomenout, že dalšími
kandidáty na inflexní bod jsou body, pro které druhá derivace
není definovaná. Robert tak tento závěr
nemůže učinit bez toho, aby se podíval, kde není
druhá derivace definovaná. Například mohl napsat, že g se dvěma čárkami
není definovaná pro... Pro které body? Tento výraz není
definovaný pro x rovno 0. 0 na 5 je 0 a třetí
odmocnina z toho je zase 0, takže bychom
dělili nulou. g se dvěma čárkami tedy
není definovaná pro x rovno 0. Z toho důvodu je
bod x rovno... Můžeme říci, že kandidátem na
inflexní bod je bod x rovná se 0. Tento bod teď
musíme vyzkoušet. Můžeme si udělat takovou tradiční tabulku,
kterou jste možná už někdy dřív viděli. V tabulce bude interval,
nebo spíše intervaly, dále dosazované hodnoty
z těchto intervalů, u kterých musíme být pozorní, aby
opravdu ležely v daném intervalu, pak znaménko druhé derivace,
tedy g se dvěma čárkami, a nakonec sloupeček pro
konvexitu funkce g. Aby byl bod x rovno 0
inflexním bodem, musíme změnit
znaménko při... Druhá derivace musí změnit znaménko
při průchodu bodem x rovno 0, což by znamenalo, že konvexita funkce g
se mění při průchodu bodem x rovno 0. Podívejme se tedy na čísla menší než 0,
což je interval od minus nekonečna do 0, a pak na čísla větší než 0,
tedy interval od 0 do nekonečna. Dosazovanými hodnotami
budou řekněme −1 a 1. U těchto hodnot
si musíte dát pozor. Musíte vybrat něco
dostatečně blízko tak, aby mezi těmito dosazovanými
hodnotami nedošlo k ničemu neobvyklému, dokud se nedostaneme k danému
kandidátovi na inflexní bod. Jaké je znaménko druhé
derivace, když je x rovno −1? Když je x rovno −1... (−1) na pátou je −1, třetí odmocnina z −1 je −1, takže budeme mít minus
(2 lomeno 9) děleno −1, což bude
plus (2 lomeno 9). Znaménko tak bude
v tomto případě kladné. Tohle platí obecně pro
libovolné záporné číslo, protože libovolné záporné číslo
na pátou je zase záporné číslo, třetí odmocnina z tohohle
bude taky záporné číslo a záporné číslo dělené záporným
číslem bude nějaké kladné číslo. Vypadá to tedy, že tato dosazovaná hodnota
dobře odráží chování na celém intervalu. Když dosadíme
nějaké kladné číslo, tak po umocnění na pátou
to bude stále kladné, třetí odmocnina z toho
bude taky kladné číslo, ale minus (2 lomeno 9) pak
budeme dělit kladným číslem, takže to
bude záporné. Konvexita funkce g se tedy skutečně
mění při průchodu bodem x rovno 0. Pro x menší než 0
je funkce konvexní, protože druhá
derivace je kladná, a pro x větší než 0
je funkce konkávní. Napíšu to trochu... Konkávní, a to pro
x větší než 0. Při průchodu bodem x rovno 0
tedy došlo ke změně konvexity, což znamená, že x... Měníme znaménko... g se dvěma čárkami mění znaménko
při průchodu bodem x rovno 0 a naše funkce je v bodě
x rovno 0 definovaná, z čehož plyne, že bod
x rovno 0 je inflexní bod. Pokud víte, jak vypadá
graf třetí odmocniny, tak byste viděli, že funkce má
v tomto místě skutečně inflexní bod. A máme to. Robert udělal chybu v kroku 3,
protože g má inflexní bod. Druhá derivace v něm však
není rovna 0, ale je nedefinovaná.