Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 7: Určování konvexity a inflexních bodů- Určení konvexity funkce algebraicky
- Určení inflexních bodů funkce algebraicky
- Chyby při hledání inflexních bodů: nedefinovaná druhá derivace
- Chyby při hledání inflexních bodů: neprověření kandidátů
- Hledání inflexních bodů pomocí druhé derivace
- Určování konvexity funkce
- Hledání inflexních bodů funkce
- Opakování konvexity funkce
- Opakování inflexních bodů funkce
Chyby při hledání inflexních bodů: neprověření kandidátů
Kandidátem na inflexní bod jsou ty hodnoty x, pro které je druhá derivace funkce nulová nebo nedefinovaná. Jde ale pouze o kandidáty! Když už jsme je našli, musíme ještě ověřit, že jde skutečně o inflexní body.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Olga má zjistit inflexní body funkce
f rovná se (x minus 2) na čtvrtou. Toto je její řešení. Podívejme se na něj a zkusme zjistit,
jestli postupovala správně. Pokud ne, kde
udělala chybu? Pozastavte si video
a zkuste na to přijít sami. Pojďme se podívat
na její postup. Snaží se zjistit
první derivaci. Zde použijeme
pravidlo o složené funkci. Výsledek bude 4 krát (x minus 2) na třetí
krát derivace (x minus 2), což je 1. Tento krok je správně. Poté to znovu zderivujeme. Derivace bude 3 krát 4, což je
12, krát (x minus 2) na druhou. To celé krát derivace
(x minus 2), což je 1. Stejný výsledek má i Olga,
12 krát (x minus 2) na druhou. První krok tedy vypadá správně. Druhý krok, druhou derivace položíme
rovnu 0, z čehož vyjde, že x se rovná 2. To vypadá správně. Druhá derivace je 12 krát (x minus 2) na
druhou a chceme, aby se to rovnalo 0. To bude fungovat
pouze pro x rovno 2. Krok 2 tedy
vypadá také správně. Ve třetím kroku Olga říká,
že inflexní bod je v x rovno 2. Vychází pouze z toho, že druhá
derivace je 0 pro x rovno 2. Vychází pouze z toho, že druhá
derivace pro 2 je rovna 0. To je ale problém, jelikož nemůžeme říct,
že v bodě 2 je inflexní bod jenom proto, že druhá derivace se
pro x rovno 2 rovná 0. Inflexní bod je tam, kde se průběh funkce mění z konvexní
na konkávní, nebo z konkávní na konvexní. V případě druhé derivace to znamená,
že funkce mění znaménka v bodě x rovno 2. To ovšem musíme otestovat,
protože to neplatí vždy. Pojďme to tedy otestovat. Vytvořme si intervaly. První interval bude od
minus nekonečna do 2. Druhý interval bude
od 2 do plus nekonečna. Můžete si to vyzkoušet
na různých hodnotách. Na základě znaménka druhé derivace
můžeme určit konvexnost nebo konkávnost. Zkusme nějakou
testovací hodnotu. Například 1 je v tomto intervalu
a 3 je v tomto intervalu. 1 minus 2 to celé na druhou
je −1 na druhou, což je 1. Toto celé bude tedy 12,
tedy kladné číslo. 3 minus 2 to celé
na druhou je 1 krát 12. To tedy také bude kladné číslo,
čili to bude konvexní. Podle těchto testovacích hodnot to vypadá,
že funkce je kladná na obě strany od 2. Možná si řeknete, že je potřeba
zkusit nějaké bližší hodnoty. Ovšem když se zaměříte na druhou derivaci,
tak zjistíte, že nikdy nebude záporná. Pro jakoukoliv hodnotu
kromě 2 bude kladná, jelikož všechno umocňujeme na
druhou a násobíme kladným číslem. Tedy pro jakoukoliv jinou hodnotu, než
x rovná se 2, je druhá derivace kladná, což znamená že
funkce bude konvexní a v bodě x rovno 2
není inflexní bod, protože znaménka se nemění při přechodu z
hodnot menších než 2 do větších než 2. Ještě jednou, toto
řešení není správné. V bodě x rovná
se 2 není inflexní bod, protože druhá derivace nemění
znaménko při překročení bodu 2 a konkávita
se tak nemění.