Chyby při hledání inflexních bodů: neprověření kandidátů

Olga má zjistit inflexní body funkce f rovná se (x minus 2) na čtvrtou. Toto je její řešení. Podívejme se na něj a zkusme zjistit, jestli postupovala správně. Pokud ne, kde udělala chybu? Pozastavte si video a zkuste na to přijít sami. Pojďme se podívat na její postup. Snaží se zjistit první derivaci. Zde použijeme pravidlo o složené funkci. Výsledek bude 4 krát (x minus 2) na třetí krát derivace (x minus 2), což je 1. Tento krok je správně. Poté to znovu zderivujeme. Derivace bude 3 krát 4, což je 12, krát (x minus 2) na druhou. To celé krát derivace (x minus 2), což je 1. Stejný výsledek má i Olga, 12 krát (x minus 2) na druhou. První krok tedy vypadá správně. Druhý krok, druhou derivace položíme rovnu 0, z čehož vyjde, že x se rovná 2. To vypadá správně. Druhá derivace je 12 krát (x minus 2) na druhou a chceme, aby se to rovnalo 0. To bude fungovat pouze pro x rovno 2. Krok 2 tedy vypadá také správně. Ve třetím kroku Olga říká, že inflexní bod je v x rovno 2. Vychází pouze z toho, že druhá derivace je 0 pro x rovno 2. Vychází pouze z toho, že druhá derivace pro 2 je rovna 0. To je ale problém, jelikož nemůžeme říct, že v bodě 2 je inflexní bod jenom proto, že druhá derivace se pro x rovno 2 rovná 0. Inflexní bod je tam, kde se průběh funkce mění z konvexní na konkávní, nebo z konkávní na konvexní. V případě druhé derivace to znamená, že funkce mění znaménka v bodě x rovno 2. To ovšem musíme otestovat, protože to neplatí vždy. Pojďme to tedy otestovat. Vytvořme si intervaly. První interval bude od minus nekonečna do 2. Druhý interval bude od 2 do plus nekonečna. Můžete si to vyzkoušet na různých hodnotách. Na základě znaménka druhé derivace můžeme určit konvexnost nebo konkávnost. Zkusme nějakou testovací hodnotu. Například 1 je v tomto intervalu a 3 je v tomto intervalu. 1 minus 2 to celé na druhou je −1 na druhou, což je 1. Toto celé bude tedy 12, tedy kladné číslo. 3 minus 2 to celé na druhou je 1 krát 12. To tedy také bude kladné číslo, čili to bude konvexní. Podle těchto testovacích hodnot to vypadá, že funkce je kladná na obě strany od 2. Možná si řeknete, že je potřeba zkusit nějaké bližší hodnoty. Ovšem když se zaměříte na druhou derivaci, tak zjistíte, že nikdy nebude záporná. Pro jakoukoliv hodnotu kromě 2 bude kladná, jelikož všechno umocňujeme na druhou a násobíme kladným číslem. Tedy pro jakoukoliv jinou hodnotu, než x rovná se 2, je druhá derivace kladná, což znamená že funkce bude konvexní a v bodě x rovno 2 není inflexní bod, protože znaménka se nemění při přechodu z hodnot menších než 2 do větších než 2. Ještě jednou, toto řešení není správné. V bodě x rovná se 2 není inflexní bod, protože druhá derivace nemění znaménko při překročení bodu 2 a konkávita se tak nemění.