Určení konvexity funkce algebraicky

Máme tu funkci g, jejímž předpisem je polynom čtvrtého stupně. Rád bych našel intervaly, na kterých je funkce g konvexní nebo konkávní. Připomeňme si, jak to vypadá. Konvexní. Funkce je na intervalu konvexní, když její sklon roste. Graf funkce pak vypadá jako písmeno U. Vidíme, že tady je sklon záporný. S rostoucím x se pak stává méně záporným, blíží se nule, pak se rovná nule, načež se stává kladným a poté je čím dál tím víc kladný. Sklon tedy neustále roste. V řeči derivací to znamená, že první derivace na daném intervalu roste. Aby byla první derivace na daném intervalu rostoucí, tak druhá derivace, tedy f(x) se dvěma čárkami... Raději to napíšu s ‚g‘, v tomto příkladu používám funkci ‚g‘. Aby byla první derivace rostoucí, tak g… Konvexní funkce znamená, že její první derivace je rostoucí, což znamená, že druhá derivace je větší než 0. U konkávní funkce to je opačně. Konkávní. Funkce je na intervalu konkávní, když její sklon klesá. g(x) s čárkou klesá, což můžeme říci také tak, že druhá derivace je menší než 0. Opět to tu mohu nakreslit. Pro malá ‚x‘ máme kladný sklon, který je čím dál tím menší, blíží se nule, pak se rovná nule, následně je záporný a poté čím dál tím zápornější. S rostoucím ‚x‘ sklon neustále klesá. Abychom tedy našli intervaly, na kterých je ‚g‘ konvexní či konkávní, musíme spočítat druhou derivaci funkce g a najít body, ve kterých se druhá derivace může změnit z kladné na zápornou nebo ze záporné na kladnou. To budou body, ve kterých druhá derivace buď není definována, nebo je rovna 0. Poté se podíváme, co funkce dělá mezi těmito body. Díky tomu už budeme vědět, na kterých intervalech je ‚g‘ konvexní nebo konkávní. Pusťme se do toho. Nejprve spočítejme první derivaci, tedy g(x) s čárkou. Použijeme vzorec pro derivaci mocniny. 4 krát −1 je −4, tohle krát x na třetí, plus... 2 krát 6 je 12, tohle krát x na prvou, což můžeme napsat jako 12 krát x, dále −2 krát můžeme říci x na nultou, což je ale jednoduše −2, a nakonec derivace −3, přičemž derivace konstanty je 0. Teď spočítáme druhou derivaci. g(x) se dvěma čárkami se rovná… 3 krát −4 je −12, tohle krát x na druhou. Exponent jsme zmenšili o 1. Plus 12. Podívejme se, kde by tohle mohlo být nedefinováno. Naše druhá derivace je kvadratický výraz, který je definovaný pro všechna x, takže se nikdy nestane, že by nebyla definovaná. Zajímavé body, v nichž se druhá derivace může změnit ze záporné na kladnou nebo z kladné na zápornou, jsou tedy ty body, pro které je tento výraz roven 0. Pojďme je najít. Hledáme body, pro které je −12 krát (x na druhou) plus 12 rovno 0. Od obou stran odečteme 12 a dostaneme, že −12 krát (x na druhou) je rovno −12. Když teď obě strany vydělíme −12, vyjde nám, že x na druhou se rovná 1, takže x je rovno plus nebo minus... x se rovná plus nebo minus odmocnina z 1, což je samozřejmě 1. Druhá derivace je tedy rovna nule v bodech +1 a −1. Intervaly, kde je původní funkce konkávní nebo konvexní, budou ohraničeny +1 a −1. Tak se nad tím zamysleme. Nakreslím si k tomu číselnou osu. Použiji nějakou hezkou barvu. Řekněme, že... Nakreslím to trochu větší. A je to, aspoň jsem využil volné místo. Tady bude 0, zde budou −1 a −2, toto bude +1 a tohle +2. Víme, že v bodech x rovno −1 a x rovno 1 je druhá derivace rovna 0. Zamysleme se nad tím, co se děje mezi těmito body, tedy zda je druhá derivace záporná či kladná. Z toho už budeme schopni říct, kde je původní funkce konvexní nebo konkávní. Na tomto prvním intervalu… Jde o interval od minus nekonečna do −1. Dosaďme nějaké číslo z tohoto intervalu, čímž zjistíme, zda je druhá derivace kladná nebo záporná. Jednoduché by mohlo být dosadit −2, což leží v tomto intervalu. Spočítejme tedy g se dvěma čárkami v bodě −2. To bude −12 krát 4, protože (−2) na druhou je +4... Je to tedy −48 plus 12, což je rovno −36. Důležité je si uvědomit, že když je derivace záporná v tomto bodě, tak je záporná na celém intervalu, protože neprochází nulou ani není v žádném z těchto bodů nespojitá. Proto jsme to tak vybrali. Na celém tomto intervalu je tedy g(x) se dvěma čárkami menší než 0, což znamená, že původní funkce je na tomto intervalu konkávní. Nyní přejděme k intervalu mezi −1 a 1. Jde o otevřený interval mezi −1 a 1. Zkusme dosadit nějaké číslo. Zkusme dosadit 0, to se bude dobře počítat. g se dvěma čárkami v bodě 0... Když je ‚x‘ nula, toto je také nula, takže se to celé bude rovnat 12. Důležité je, že druhá derivace je větší než 0, takže původní funkce je na tomto intervalu konvexní. Tedy na intervalu mezi −1 a 1. Nakonec se podívejme na interval, kde je ‚x‘ větší než 1, tedy na interval od 1 do nekonečna, chceme-li to zapsat takto. Zkusme dosadit nějaké číslo. Spočítejme g se dvěma čárkami v bodě 2, protože 2 leží v tomto intervalu. g se dvěma čárkami v bodě 2 bude stejné jako g se dvěma čárkami v bodě −2, protože ať už máme +2 nebo −2, po umocnění na druhou je to 4. Budeme tedy mít 4 krát −12, což je −48, a k tomu přičteme 12, což nám dá −36. Toto je −36, takže funkce je na tomto intervalu opět konkávní. Už předtím jsem si vykreslil graf. Ujistěme se, že náš výsledek opravdu odpovídá grafu. Informace o konvexitě funkce jsme získali, aniž bychom graf skutečně vykreslili, ale teď by bylo dobré si to ověřit pohledem na graf. Zkusím, aby byly příslušné intervaly pod sebou. Toto je docela přesné. Vlastně to mohu trochu zmenšit. Ještě trochu posunu obrazovku. Tvrdím, že funkce je konkávní na intervalu od minus nekonečna až do −1. To vypadá správně. Zdá se, že sklon neustále klesá až do bodu x rovno −1, přičemž pak začne růst. Od tohoto bodu sklon roste až do… Přímo v bodě −1 pak dochází ke změně. Nechám tu tedy takovou mezeru bez barvy. Zde sklon roste... Udělám to stejnou barvou. Sklon roste a roste až do bodu x rovno 1. Pak sklon opět začne klesat a funkce je zase konkávní. Chci to udělat oranžově. Funkce je opět konkávní. To, co jsme zjistili pomocí derivace a algebraických úprav, snadno vidíme i z grafu.