Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 7: Určování konvexity a inflexních bodů- Určení konvexity funkce algebraicky
- Určení inflexních bodů funkce algebraicky
- Chyby při hledání inflexních bodů: nedefinovaná druhá derivace
- Chyby při hledání inflexních bodů: neprověření kandidátů
- Hledání inflexních bodů pomocí druhé derivace
- Určování konvexity funkce
- Hledání inflexních bodů funkce
- Opakování konvexity funkce
- Opakování inflexních bodů funkce
Hledání inflexních bodů pomocí druhé derivace
Nauč se, jak můžeme při hledání inflexních bodů funkce využít její druhou derivaci. Také se dozvíš, jakých chyb se u toho máš vyvarovat.
Inflexní body funkce můžeme najít pomocí její druhé derivace.
Příklad: Hledání inflexních bodů funkce f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript
Krok 1: Výpočet druhé derivace
K nalezení inflexních bodů funkce f potřebujeme použít f, start superscript, prime, prime, end superscript:
Krok 2: Nalezení všech kandidátů
Podobně jako u stacionárních bodů jde o body, ve kterých je f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 nebo ve kterých není f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis definovaná.
f, start superscript, prime, prime, end superscript se rovná nule v bodech x, equals, 0 a x, equals, minus, 1 a je definovaná pro všechna reálná čísla. Našimi kandidáty jsou tedy body x, equals, 0 a x, equals, minus, 1.
Krok 3: Vyšetření konvexity
Interval | Zkušební hodnota x | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis | Závěr |
---|---|---|---|
x, is less than, minus, 1 | x, equals, minus, 2 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0 | f je konkávní \cap |
minus, 1, is less than, x, is less than, 0 | x, equals, minus, 0, comma, 5 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 2, comma, 5, is greater than, 0 | f je konvexní \cup |
x, is greater than, 0 | x, equals, 1 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0 | f je konvexní \cup |
Krok 4: Nalezení inflexních bodů
Když už víme, na kterých intervalech je funkce f konvexní nebo konkávní, dokážeme najít i její inflexní body (tedy body, ve kterých se mění konvexita funkce).
- f je před bodem x, equals, minus, 1 konkávní a poté je konvexní, přičemž je v bodě x, equals, minus, 1 také definovaná. Bod x, equals, minus, 1 je tudíž inflexním bodem funkce f.
- f je konvexní před i po bodu x, equals, 0, takže nejde o inflexní bod.
Náš výsledek si můžeme zkontrolovat tak, že se podíváme na graf funkce f.
Častá chyba: Neprověření kandidátů
Pamatuj si: Nesmíme předpokládat, že každý bod, pro který platí f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (nebo ve kterém f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis není definovaná), je inflexním bodem. Místo toho bychom u každého kandidáta měli ověřit, zda v tomto bodě druhá derivace mění znaménko a zda je zde funkce definovaná.
Častá chyba: Opomenutí bodů, ve kterých derivace není definovaná
Pamatuj si: Kandidáty na inflexní bod jsou body, ve kterých je druhá derivace nulová, a body, ve kterých druhá derivace není definovaná. Když zapomeneš na body, ve kterých druhá derivace není definovaná, často ti nakonec vyjde špatná odpověď.
Častá chyba: použití první derivace namísto druhé derivace
Pamatuj si: Když hledáme inflexní body, musíme zjistit, ve kterých bodech mění druhá derivace své znaménko. Když to zjistíme pro první derivaci, najdeme body lokálních extrémů, ne inflexní body.
Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.