Hlavní obsah

Diferenciální počet

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5

Lekce 7: Určování konvexity a inflexních bodů

Hledání inflexních bodů pomocí druhé derivace

Nauč se, jak můžeme při hledání inflexních bodů funkce využít její druhou derivaci. Také se dozvíš, jakých chyb se u toho máš vyvarovat.

Inflexní body funkce můžeme najít pomocí její druhé derivace.

Příklad: Hledání inflexních bodů funkce f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript

Krok 1: Výpočet druhé derivace

K nalezení inflexních bodů funkce f potřebujeme použít f, start superscript, prime, prime, end superscript:

\begin{aligned} f'(x)&=5x^4+\dfrac{20}{3}x^3 \\\\ f''(x)&=20x^3+20x^2 \\\\ &=20x^2(x+1) \end{aligned}

Krok 2: Nalezení všech kandidátů

Podobně jako u stacionárních bodů jde o body, ve kterých je f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 nebo ve kterých není f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis definovaná.

f, start superscript, prime, prime, end superscript se rovná nule v bodech x, equals, 0 a x, equals, minus, 1 a je definovaná pro všechna reálná čísla. Našimi kandidáty jsou tedy body x, equals, 0 a x, equals, minus, 1.

Krok 3: Vyšetření konvexity

Interval	Zkušební hodnota x	f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis	Závěr
x, is less than, minus, 1	x, equals, minus, 2	f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0	f je konkávní \cap
minus, 1, is less than, x, is less than, 0	x, equals, minus, 0, comma, 5	f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 2, comma, 5, is greater than, 0	f je konvexní \cup
x, is greater than, 0	x, equals, 1	f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0	f je konvexní \cup

Krok 4: Nalezení inflexních bodů

Když už víme, na kterých intervalech je funkce f konvexní nebo konkávní, dokážeme najít i její inflexní body (tedy body, ve kterých se mění konvexita funkce).

f je před bodem x, equals, minus, 1 konkávní a poté je konvexní, přičemž je v bodě x, equals, minus, 1 také definovaná. Bod x, equals, minus, 1 je tudíž inflexním bodem funkce f.
f je konvexní před i po bodu x, equals, 0, takže nejde o inflexní bod.

Náš výsledek si můžeme zkontrolovat tak, že se podíváme na graf funkce f.

Příklad 1

Olga měla za úkol najít inflexní body funkce f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript. Toto je její řešení:

Krok 1:

\begin{aligned} f'(x)&=4(x-2)^3 \\\\\\ f''(x)&=12(x-2)^2 \end{aligned}

Krok 2: f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 pro x, equals, 2.

Krok 3: Inflexním bodem funkce f je bod x, equals, 2.

Počítala Olga správně? Pokud ne, nalezneš chybu?

(Možnost A)
Práce Olgy je bezchybná.
(Možnost B)
Krok 1 je špatně. Olga špatně zderivovala f, prime.
(Možnost C)
Krok 2 je špatně. Pro x, equals, 2 neplatí f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.
(Možnost D)
Krok 3 je špatně. x, equals, 2 je jen kandidát na inflexní bod.

Častá chyba: Neprověření kandidátů

Pamatuj si: Nesmíme předpokládat, že každý bod, pro který platí f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (nebo ve kterém f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis není definovaná), je inflexním bodem. Místo toho bychom u každého kandidáta měli ověřit, zda v tomto bodě druhá derivace mění znaménko a zda je zde funkce definovaná.

Příklad 2

Robert měl za úkol najít inflexní body funkce g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cube root of, x, end cube root. Toto je jeho řešení:

Krok 1:

\begin{aligned} g'(x)&=\dfrac13x^{-\frac23} \\\\\\ g''(x)&=-\dfrac29x^{-\frac53} \\\\ &=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}} \end{aligned}

Krok 2: g, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 nenastává pro žádný bod.

Krok 3: g nemá žádné inflexní body.

Počítal Robert správně? Pokud ne, nalezneš chybu?

(Možnost A)
Robertova práce je bez chyby.
(Možnost B)
Krok 1 je špatně. Robert špatně zderivoval g.
(Možnost C)
Krok 2 je špatně. g, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 pro nějaký bod platí.
(Možnost D)
Krok 3 je špatně. Robert zapomněl na body, ve kterých g, start superscript, prime, prime, end superscript není definovaná.

Častá chyba: Opomenutí bodů, ve kterých derivace není definovaná

Pamatuj si: Kandidáty na inflexní bod jsou body, ve kterých je druhá derivace nulová, a body, ve kterých druhá derivace není definovaná. Když zapomeneš na body, ve kterých druhá derivace není definovaná, často ti nakonec vyjde špatná odpověď.

Příklad 3

Tomáš měl za úkol zjistit, zda má funkce h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 4, x nějaké inflexní body. Toto je jeho řešení:

Krok 1: h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 4

Krok 2: h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, 0, takže x, equals, minus, 2 je kandidátem na inflexní bod.

Krok 3:

Interval	Zkušební hodnota x	h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis	Závěr
left parenthesis, minus, infinity, ;, minus, 2, right parenthesis	x, equals, minus, 3	h, prime, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0	h je konkávní \cap
left parenthesis, minus, 2, ;, infinity, right parenthesis	x, equals, 0	h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 4, is greater than, 0	h je konvexní \cup

Krok 4: h je před bodem x, equals, minus, 2 konkávní a po bodu x, equals, minus, 2 je konvexní, takže x, equals, minus, 2 je inflexním bodem funkce h.

Počítal Tomáš správně? Pokud ne, nalezneš chybu?

(Možnost A)
Tomášova práce je bezchybná.
(Možnost B)
Krok 1 je špatně. Tomáš funkci h špatně zderivoval.
(Možnost C)
Krok 2 je špatně. Tomáš měl použít h, start superscript, prime, prime, end superscript, ne h, prime.
(Možnost D)
Krok 4 je špatně. Daný bod je inflexním bodem pouze tehdy, když se v něm funkce mění z konvexní na konkávní.

Častá chyba: použití první derivace namísto druhé derivace

Pamatuj si: Když hledáme inflexní body, musíme zjistit, ve kterých bodech mění druhá derivace své znaménko. Když to zjistíme pro první derivaci, najdeme body lokálních extrémů, ne inflexní body.

Příklad 4

Označme g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 12, x, cubed, minus, 42, x, squared, plus, 7.

Které z následujících bodů x jsou inflexními body funkce g?

Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.