Opakování inflexních bodů funkce

Inflexní body (někdy také body inflexe) jsou body, ve kterých se mění konvexita funkce (tvar grafu se mění z $\cup$\cup na $\cap$\cap nebo naopak).

Inflexní body lze najít podobně jako hledáme body lokálních extrémů funkce. Namísto toho, abychom se dívali, kdy první derivace mění znaménko, nás teď ale budou zajímat body, ve kterých své znaménko mění druhá derivace.

Zkusme najít například inflexní body funkce $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+x^3-6x^2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript, plus, x, cubed, minus, 6, x, squared.

Druhá derivace funkce $f$f je $f''(x)=6(x-1)(x+2)$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.

$f''(x)=0$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 pro $x=-2$x, equals, minus, 2 a $x=1$x, equals, 1. Tato derivace je definovaná všude. Body $x=-2$x, equals, minus, 2 a $x=1$x, equals, 1 rozdělí číselnou osu na tři intervaly:

Z každého intervalu do $f''$f, start superscript, prime, prime, end superscript dosadíme jedno číslo, čímž zjistíme, zda je $f''$f, start superscript, prime, prime, end superscript na daném intervalu kladná nebo záporná.

Vidíme, že funkce $f$f mění svou konvexitu jak v bodě $x=-2$x, equals, minus, 2, tak v bodě $x=1$x, equals, 1, takže oba tyto body $x$x jsou inflexními body funkce $f$f.