Druhá derivace (vektorové funkce)

Mám tu vektorovou funkci h. Když říkám vektorovou funkci, znamená to, že se jedná o funkci t. Tedy, když mi dáte t, nevrátím vám nějaké číslo, vrátím vám vektor. A jak uvidíte, dostanete dvou dimenzionální vektor. Můžete se na to podívat jako na x-ovou složku vektoru a y-ovou složku vektoru. Pravděpodobně už víte, že existuje několik zápisů i pro dvou rozměrný vektor. Můžete například použít často vídaný inženýrský zápis, kde je x-tá složka vynásobena řádkovým jednotkovým vektorem. Můžete tedy vidět něco takovéhoto. Tedy jednotkový vektor plus y-ová složka. 4 krát t na čtvrtou plus 2 krát t plus 1, to celé násobeno vertikálním jednotkovým vektorem. Obojí tedy popisuje stejnou věc, jedná se jen o jiný zápis. Někdy vidíte vektorové funkce se šipkou nahoře, aby se zdůraznilo, že se jedná o vektorovou funkci. Někdy jen uslyšíte lidi říkat, "nechť h je vektorová funkce" a nenapíšou šipku nahoru. Teď, když to máme vyřešené, to, co nás zajímá, je najít první a druhou derivaci h vzhledem k t. Pojďme na první derivaci. Derivace h vzhledem k t je velmi jednoznačná, jak hned uvidíte. Vezmete si jen derivaci příslušné složky vzhledem k příslušné složce. Toto je x-tá složka vzhledem k t, vezmete její derivaci vzhledem k t. Co dostanete? Použijeme vzorec na derivaci mocniny, tedy 5 krát (-1). Dostanete -5 krát t na (5 - 1), tedy t umocněno na 4. Derivace -6 vzhledem k t je 0. Toto je tedy míra změny složky x. Vzhledem k t. Teď pojďme na složku y. Uděláme to stejně. Derivace vzhledem k t bude... Použijeme opět vzorec na derivaci mocniny. 4 krát 4 je 16 krát t umocněno na 3. Derivace 2 krát t je rovno 2. A derivace konstanty je pouze 0, to už jsme viděli. Tady to tedy máte. Toto je míra změny složky x vzhledem k t. A toto je míra změny složky y vzhledem k t. Vektory mohou reprezentovat mnoho různých věcí. Dvoudimenzionální vektory představíme jako polohový vektor h(t) ve dvou rozměrech. A potom, když se podíváte na míru změny pozice vzhledem k času... Pak toto bude vektor udávající rychlost. Dále když vezmeme derivaci tohoto vzhledem k času, dostaneme vektor udávající zrychlení. Pokud tedy uvažujeme druhou derivaci h vzhledem k t, čemu to bude rovno? Prostě jen znovu použijeme pravidlo na derivaci mocniny. Tedy 4 krát (-5) je rovno -20, krát t umocněno na (4 minus 1), tedy t umocněno na 3. A potom máme 3 krát 16, což je 48 krát t umocněno na 2. A derivace 2 je opět jen 0. Takže zde to máte. Pokud t je čas, pak pro jakýkoli čas můžete použít toto jako pozici, toto jako vektor rychlosti a toto jako vektor zrychlení. Toto vám nyní udává pozici, rychlost a zrychlení. Je důležité si uvědomit, že tyto vektory jinak mohou reprezentovat cokoli.