Úvod do vektorových funkcí

Řekněme, že máme křivku C, která je popsána parametrizací... Mám problém to slovo vyslovit. ...x rovná se x(t) a y rovná se nějaká funkce y(t), kde t je mezi řekněme ‚a‘ a ‚b‘, takže t je větší nebo rovno ‚a‘ a menší nebo rovno ‚b‘. Můžeme si to nakreslit... Mohl bych to nakreslit takhle... Nakreslím tu obecný obrázek spíše než nějaký konkrétní příklad. Tohle budou osy x a y. Řekněme, že toto je bod na křivce odpovídající hodnotě t rovná se ‚a‘ a že naše křivka vypadá nějak takto. Řekněme, že zde je bod odpovídající hodnotě t rovná se ‚b‘. Tento bod tak má první souřadnici x(b), což je jeho x-ová souřadnice, která odpovídá hodnotě této funkce v bodě ‚b‘, a jeho druhou souřadnicí je y(b). V tomto bodě se t rovná ‚a‘, takže jeho rovinné kartézské souřadnice jsou x(a), což je tato hodnota, a y(a), což je tahle hodnota. Tohle už jsme viděli. Jde o běžný popis křivky pomocí dvou parametrických rovnic. Nyní bych tutéž křivku chtěl popsat pomocí vektorové funkce. Chci tedy zadefinovat nějakou vektorovou funkci... Pokud si nepamatujete, o jaké funkce jde, tak si to teď zopakujeme. Řekněme, že máme vektorovou funkci r. Napíšu nad to takovou šipku. V mnoha učebnicích se to píše tučně a skalární funkce se píší běžným písmem, ale tučná písmena se mi špatně píší, takže nad to raději napíšu šipku. Řekněme, že r je funkce proměnné t. Jejími hodnotami budou polohové vektory. Říkám to proto, že když se o vektorech mluví obecně, tak tyto dva vektory považujeme za stejné, pokud mají stejnou velikost a stejný směr. Jejich počáteční a koncové body nejsou důležité. Důležité je, že jejich velikost a směr jsou stejné. Polohové vektory však všechny začínají v bodě 0, tedy v počátku. Když nějaký vektor nazveme polohovým, tak tím vlastně říkáme, že odpovídá jednomu specifickému bodu. V tomto případě jde o bod ve dvourozměrném prostoru, ale může jít o tří, čtyř, pěti nebo obecně n-rozměrný prostor. Když tedy řekneme, že jde o polohový vektor, tak tím říkáme, že tento vektor přesně odpovídá tomuto bodu v prostoru. Zkusme tedy popsat naši křivku pomocí vektorové funkce, jejímiž hodnotami budou polohové vektory. r(t) bude... Vezmu si na to tutéž růžovou barvu. Nebo raději tuhle zelenou. ...r(t) se rovná x(t) krát jednotkový vektor ve směru osy x... Tyto jednotkové vektory se značí s takovou stříškou nahoře, která nahrazuje šipku. Je to označení pro jednotkové vektory. ...plus y(t) krát j. Kdybychom měli křivku v třírozměrném prostoru, tak by zde bylo ještě plus z(t) krát k, ale naše křivka je ve dvourozměrném prostoru. Funguje to tak, že pro dané t... Stále platí, že t je větší nebo rovno ‚a‘ a menší nebo rovno ‚b‘. Tohle přesně popisuje naši křivku. Znovu si to nakresleme. Nejprve nakreslíme souřadnicové osy. Tohle je osa y a zde je osa x. Když spočítáme ‚r‘ v bodě ‚a‘, což je náš počáteční bod... Tak to spočítejme. r v bodě ‚a‘... Napíšu to sem. Hodnota naší vektorové funkce udávající polohu v bodě t rovná se ‚a‘ se rovná: x(a) krát jednotkový vektor ve směru osy x plus y(a) krát jednotkový vektor ve směru osy y. Jak tohle vypadá? x(a) je tato hodnota a my máme x(a) krát jednotkový vektor. Řekněme, že jednotkový vektor je takto dlouhý. Jeho délka je 1, takže nyní budeme mít na ose x délku x(a). Obdobně dostaneme, že na ose y budeme mít délku y(a). Hlavní ovšem je, že tento vektor, který vznikne součtem těchto skalárních násobků jednotkových vektorů, vypadá nějak... r(a) vypadá nějak takhle. Jde o vektor, který vypadá asi takto. Je to polohový vektor, takže začíná v počátku soustavy souřadnic. Takhle tedy vypadá r(a). Co se stane, když ‚a‘ trochu zvětšíme? Jak vypadá r(a plus něco)? Můžeme to nazvat třeba r(a plus Δ) nebo r(a plus h). Vezmu na to jinou barvu. Řekněme, že máme r... Hodnotu ‚a‘ o trochu zvětšíme. ...máme r v bodě (a plus nějaké malé h). To se rovná x(a plus h) krát jednotkový vektor i plus y(a plus h) krát jednotkový vektor j. Jak to bude vypadat? Jen se trochu posuneme po křivce. Bude to odpovídat bodu [x(a plus h); y(a plus h)], což by mohl být třeba tento bod. Dostaneme tedy nový jednotkový vektor... Pardon, dostaneme nový polohový vektor, ne jednotkový vektor. Polohový vektor nemusí mít délku 1. ...který vypadá nějak takto. Nakreslím ho stejnou barvou jako jsem napsal tohle. Dostaneme vektor, který vypadá nějak takhle. Toto je tedy r(a plus h). Vidíme, že jak budeme hodnotu t zvětšovat, dokud se nebude rovnat b, tak budou tyto polohové vektory popisovat další body na této křivce. Naše křivka tak... Nakreslím ji nějakou jinou barvou. Tato křivka tak vypadá nějak takhle. Jde o tutéž křivku, kterou máme nahoře. Například r(b) je vektor, který vypadá takto. Zkusím ho nakreslit dostatečně rovně. Toto je vektor r(b). Snad tedy vidíte, že tyto polohové vektory popisují tutéž křivku, kterou tu máme popsanou klasickou parametrizací. Chtěl jsem tohle všechno projít, protože nyní se podíváme na to, jak tuto vektorovou funkci zderivovat. Dozvíte se to v následujícím videu.