Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 6
Lekce 3: Vektorové funkceDerivování vektorových funkcí
Na grafu křivky si ukážeme, jak se spočítá a co představuje derivace vektorové funkce. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Díky předchozímu videu teď
snad dostatečně dobře chápeme, jak funguje
vektorová funkce. Zejména jak funguje
vektorová funkce udávající polohu, která v jistém smyslu nahrazuje
tradiční parametrizování křivky. V tomto videu bych vám
rád dal základní představu o tom, co to znamená zderivovat
vektorovou funkci. V tomto případě půjde o derivaci
podle našeho parametru t. Nakreslím si sem
k tomu nový obrázek. Řekněme, že máme
vektorovou funkci r(t)... Bude to ta samá funkce
jako v předchozím videu. ...rovná se x(t) krát jednotkový vektor i
plus y(t) krát jednotkový vektor j. Kdybychom měli tři dimenze,
tak by tu bylo ještě z(t) krát k, ale zůstaňme
u jednoduššího případu. Řekněme, že tato funkce
popisuje nějakou křivku a že tato křivka... Předpokládejme,
že t je mezi ‚a‘ a ‚b‘. Řekněme, že křivka
bude vypadat nějak... Zkusím ji nakreslit,
jak nejlépe umím. Nakreslím sem nějakou křivku,
která mě zrovna napadne. Řekněme, že křivka
vypadá nějak takto. V tomto bodě se
t rovná ‚a‘, takže křivku
procházíme tímto směrem. Zde se
t rovná ‚b‘. Tady se
t rovná ‚a‘. Tohle je
tudíž x(a) a tady
máme y(a). Podobně tady
bude x(b) a zde
bude y(b). V předchozím
videu jsme viděli, že koncové body těchto polohových vektorů
jsou právě body na této křivce. Z předchozího videa tedy víme,
že r(a) odpovídá tomuto bodu. Nechci se k tomu
už příliš vracet. Spíš bych se teď
rád zaměřil na to, jak popsat rozdíl
mezi dvěma body. Vyberme si na křivce
libovolný bod, tedy zvolme nějaké
náhodné t. Pojmenujme
tento bod r(t). Vyberu raději jiný bod,
aby to bylo jasnější. Řekněme... Ještě vyberu
jinou barvu. Řekněme, že toto je
r v nějakém bodě t, který jsme
náhodně zvolili. Toto je r(t). t se zde rovná
‚a‘ plus něco. Zvolili jsme si
tedy nějaké t. Nyní budeme
chtít zjistit... Řekněme, že t nyní o trochu zvětšíme,
že ho zvětšíme o ‚h‘. Bod r(t plus h)... Pokud se na parametr t
díváme jako na čas, tak si můžeme představit,
že se čas trochu posunul, takže i naše částice
se trochu posunula. Řekněme, že jsme
se dostali sem. Tento žlutý bod
je tedy r(t plus h). Jen jsme parametr
o trochu zvětšili, a to o ‚h‘. Nyní si můžeme
položit otázku, jak rychle se
r mění vzhledem k t. Jako první by
nás asi zajímalo, jaký je rozdíl mezi
těmito body. Kdybychom měli... Nakreslím to. Když vezmeme polohový vektor, který nám
vyjde po dosazení (t plus h) do funkce r, a odečteme
od něj r(t), tak co dostaneme? Možná by bylo dobré si zopakovat,
jak se pracuje s vektory, ale v zásadě
dostaneme tento vektor. Nakreslím ho
nějakou zářivou barvou. Vyjde nám tento
růžový vektor. Tento růžový vektor je vektor
r(t plus h) minus r(t). To dává smysl, neboť u sčítání vektorů
je počátek druhého na konci prvního. Tento vektor totiž můžeme napsat
jako r(t) plus tenhle vektor, tedy plus r(t plus h)
minus r(t). Když sčítáme dva vektory,
tak sčítáme... Ujasním to. Sčítáme tento vektor
s tímhle vektorem. Při sčítání kreslíme počátek druhého
vektoru na konec prvního vektoru. Tohle je můj
první vektor, jehož konec je počátkem
tohoto druhého vektoru. Součet těchto dvou vektorů,
jak jsme řekli, by měl být roven
tomuto poslednímu. Mělo by se to
rovnat r(t plus h). Vidíme, že už jen algebraicky
je tomu skutečně tak, protože tyhle dvě věci
se nám odečtou. Snad vám to
dává smysl. Chci, aby to
bylo jasné. Tohle už najednou
není polohový vektor. Už neříkáme, že jde o vektor
začínající v počátku, který udává polohu
jednoho konkrétního bodu. Namísto toho jde o
můžeme říci "čistý" vektor, který udává změnu mezi
dvěma jinými polohovými vektory. Mluvím
o tomto vektoru. Tento vektor
udává změnu. Řekněme,
že nás teď zajímá... Jak by to vypadalo algebraicky,
kdybychom to takto rozepsali? Tohle se rovná... Čemu se rovná
r(t plus h)? Je to x v bodě... Napíšu to
jinam. Toto se rovná
x(t plus h) krát jednotkový vektor i plus y(t plus h) krát
jednotkový vektor j... Zatím jsme
napsali tohle. Tato část
se rovná tomuhle. ...minus tohle,
takže minus... Napíšu to
na nový řádek. Mohl bych to napsat sem,
ale asi by mi došlo místo. ...minus x(t)... r(t) se rovná
x(t) krát i plus... Ještě tu ale máme tohle minus,
takže tady bude minus y(t) krát j. Vlastně sem radši
napíšu minus... Napíšu to takhle. ...a zde bude plus. Takhle je lépe vidět,
že jde o tento vektor. Jen jsme
dosadili t. Máme tu tedy
x(t) plus y(t) a nyní můžeme
roznásobit. Když závorku roznásobíme
tímhle minus, dostaneme minus x(t)
a minus y(t). Při sčítání
vektorů... Možná by bylo dobré si ho zopakovat,
pokud jste ho delší dobu neviděli. ...sčítáme
příslušné složky. Sečteme x-ové složky
a y-ové složky. Tohle se tím
pádem rovná... Přepíšu si to dolů, protože na to
budu potřebovat víc místa. Přepíšu to sem. Vyjde nám,
že r(t plus h) minus r(t) se rovná... Teď dám k sobě
x-ové a y-ové složky. ...se rovná
součet x-ových složek, ale zde je minus,
takže tuto hodnotu odečteme od té horní, což nám dá
x(t plus h) minus x(t), tohle celé krát jednotkový
vektor ve směru osy x, k čemuž nyní přičteme výraz
y(t plus h) minus y(t) vynásobený jednotkovým
vektorem j ve směru osy y. Jenom jinak zapisuji to,
co máme nahoře. Tohle nám udává, jaká je změna
mezi libovolnými dvěma hodnotami r, když známe
změnu vzdálenosti. Změna vzdálenosti mezi libovolnými
dvěma polohovými vektory je zde ‚h‘. Na začátku videa jsme si řekli,
že chceme zjistit, jaká je změna... Bude nás zajímat
okamžitá změna vzhledem k t. Chceme tedy vědět, jak moc se vektor ‚r‘
změní za časový úsek ‚h‘. Místo ‚h‘ jsme mohli napsat Δt
a šlo by o to samé. Tento výraz nyní
vydělíme ‚h‘. Víme, že náš vektor
se takto změnil, a tímhle ukážeme,
že to bylo za časový úsek ‚h‘. Je to velmi
podobné směrnici. Směrnice je svislá změna děleno
vodorovná změna neboli Δy děleno... Neboli změna y
děleno změna x. I zde chceme mít změnu hodnoty
naší funkce děleno změna x, takže tohle
celé vydělíme... Ne děleno změnou x,
ale děleno změnou t. Změna t je v tomto
případě rovna ‚h‘. Rozdíl mezi
(t plus h) a t je h. Všechno tedy
vydělíme h. Když nějaký vektor
násobíme nebo dělíme skalárem, tak každou z jeho složek vynásobíme
nebo vydělíme tímto skalárem. Vyjde nám
tohle. Pro libovolný konečný rozdíl ‚h‘
nám tento výraz říká, jak moc se náš vektor r
změní za časový úsek ‚h‘. Když nás ale
zajímá okamžitá změna, podobně jako když jsme
se začali učit diferenciální počet... Tehdy jsme si řekli,
že tohle vypadá jako směrnice přímky a že by nám
to dobře fungovalo, kdyby se jednalo
o křivku tohoto tvaru, tedy kdyby
šlo o přímku. Kdyby naše křivka
vypadala nějak takhle, tak by nám tohle udávalo průměrnou
změnu našeho polohového vektoru... Můžeme si tu představit
dva polohové vektory. Tohle je jeden. Všechny budou v tomto
případě rovnoběžné. Polohové vektory vlastně
nemusí být vždycky rovnoběžné, ale... Nemusí být rovnoběžné,
ale můžeme je nakreslit i takto. Tenhle výraz by popisoval změnu
mezi těmito vektory za úsek ‚h‘, tedy jak rychle se
tyto polohové vektory mění, když se hodnota
parametru změní o tolik. Na tohle h se můžeme
dívat jako na Δt. Některým lidem se zdá
jednodušší použít h, jiní mají
raději Δt. Nás ale zajímá
okamžitá... Pracujeme tu s křivkami
a diferenciálním počtem. Tohle by nám stačilo jen
v lineárním světě algebry. Co s tím
tedy uděláme? Mohli bychom zkusit udělat
limitu pro h blížící se k 0. Sjedu trochu dolů. Udělejme limitu... Napíšu to nějakou
zářivou barvou. Udělejme... Už mi
dochází barvy. ...limitu pro h blížící se k 0
z obou stran této rovnosti, takže i zde uděláme
limitu pro h blížící se k 0 a také tady bude
limita pro h blížící se k 0. Snažím se tedy zjistit, jak moc se změní
můj vektor při změně parametru t... Jaká je okamžitá změna mého vektoru,
když je změna parametru menší a menší. Tohle už jsme viděli, když jsme se učili
o směrnici a okamžité rychlosti změny, tedy o směrnici tečny. Tenhle výraz ještě
nemáme definovaný. Nezadefinovali jsme si limitu vektorové
funkce ani derivaci vektorové funkce. Toto už ale naštěstí
vypadá docela povědomě. Zde je totiž přímo naše
známá definice derivace. Tohle už jsou
skalární funkce, kterými násobíme vektory,
abychom dostali vektorovou funkci. Podle definice derivace se tohle rovná
x(t) s čárkou neboli dx lomeno dt. Toto se pak rovná
y(t) s čárkou neboli dy lomeno dt. Najednou už tak
můžeme zadefinovat... Není to sice
matematicky formální, ale chci, aby vám to
intuitivně dávalo smysl. Můžeme říci,
že derivace... Tento výraz můžeme nazvat
derivací vektorové funkce r podle t, což můžeme zapsat
jako dr lomeno dt, přičemž si všimněte,
že nad r píšu šipky. Tato derivace
se rovná... r(t) s čárkou
se rovná... Tady máme
derivaci x podle t. ...se rovná x(t) s čárkou krát
jednotkový vektor ve směru osy x plus y(t) s čárkou krát jednotkový vektor
ve směru osy y, tedy krát j. To je poměrně hezký
a jednoduchý vzorec, ale už o trochu těžší je představit si,
co tento vzorec znamená. Když se zamyslíme
nad tím, co se stane... Nakreslím sem velký graf,
abychom to dobře viděli. Řekněme, že naše křivka
vypadá nějak takhle. Tohle bude
naše křivka. Řekněme dále, že nás zajímá
okamžitá změna v tomto bodě, což bude
bod r(t). Nyní si nakresleme r(t plus h),
jak už jsme to jednou udělali. r(t plus h) by mohlo
být někde tady. Tohle je
r(t plus h). V tuto chvíli je rozdíl
mezi těmito vektory, což bude čitatel toho,
co nás zajímá, tedy jak rychle se vektor změní z tohoto
na tenhle vzhledem k t... Těžko se to
představuje. Jedno samostatné video se pak
bude věnovat velikostem těchto vektorů. Bude to vektor... Rozdílem mezi těmito dvěma
vektory je tento vektor. Když ho poté vydělíme ‚h‘,
dostaneme větší vektor, předpokládáme-li,
že ‚h‘ je nějaké malé číslo. Pokud je h menší než 1,
tak dostaneme větší vektor. Tohle je ale průměrná
změna za časový úsek ‚h‘. Jak se však bude
‚h‘ stále více zmenšovat, tak směr vektoru r(t) s čárkou
bude stejný jako směr tečny k této křivce. Myslím, že to
jde docela vidět. Když budou tyto dva
vektory čím dál víc u sebe, tak bude dr čím dál tím menší,
takže změna... Tím dr myslím rozdíl mezi
těmito dvěma vektory, tedy Δr. Δr bude čím
dál tím menší. Umíte si představit,
že kdyby h bylo ještě menší, třeba zde, tak by i rozdíl mezi těmito
dvěma vektory byl menší a vypadal by ještě víc
jako tečný vektor k této křivce. V tomhle případě
však dělíme menším h, takže derivace, tedy limita pro h blížící
se k 0, může být ještě větší číslo. Ve skutečnosti bude
velikost tohoto vektoru... Těžko se
to znázorňuje. ...bude záviset na
parametrizaci dané křivky. Nezávisí ovšem
na tvaru křivky. Směr tohoto vektoru
závisí na tvaru křivky, přičemž směr tohoto vektoru
je stejný jako směr tečny k této křivce. Můžeme si to představit tak,
že tento vektor leží na tečně ke křivce. Velikost tohoto vektoru
je trochu těžké pochopit. Zkusím vám to intuitivně
vysvětlit v následujícím videu. Teď bych rád,
abyste pochopili tohle, protože se nám
to bude hodit, až budeme mluvit o křivkovém integrálu
z vektorových funkcí.