Derivování vektorových funkcí

Díky předchozímu videu teď snad dostatečně dobře chápeme, jak funguje vektorová funkce. Zejména jak funguje vektorová funkce udávající polohu, která v jistém smyslu nahrazuje tradiční parametrizování křivky. V tomto videu bych vám rád dal základní představu o tom, co to znamená zderivovat vektorovou funkci. V tomto případě půjde o derivaci podle našeho parametru t. Nakreslím si sem k tomu nový obrázek. Řekněme, že máme vektorovou funkci r(t)... Bude to ta samá funkce jako v předchozím videu. ...rovná se x(t) krát jednotkový vektor i plus y(t) krát jednotkový vektor j. Kdybychom měli tři dimenze, tak by tu bylo ještě z(t) krát k, ale zůstaňme u jednoduššího případu. Řekněme, že tato funkce popisuje nějakou křivku a že tato křivka... Předpokládejme, že t je mezi ‚a‘ a ‚b‘. Řekněme, že křivka bude vypadat nějak... Zkusím ji nakreslit, jak nejlépe umím. Nakreslím sem nějakou křivku, která mě zrovna napadne. Řekněme, že křivka vypadá nějak takto. V tomto bodě se t rovná ‚a‘, takže křivku procházíme tímto směrem. Zde se t rovná ‚b‘. Tady se t rovná ‚a‘. Tohle je tudíž x(a) a tady máme y(a). Podobně tady bude x(b) a zde bude y(b). V předchozím videu jsme viděli, že koncové body těchto polohových vektorů jsou právě body na této křivce. Z předchozího videa tedy víme, že r(a) odpovídá tomuto bodu. Nechci se k tomu už příliš vracet. Spíš bych se teď rád zaměřil na to, jak popsat rozdíl mezi dvěma body. Vyberme si na křivce libovolný bod, tedy zvolme nějaké náhodné t. Pojmenujme tento bod r(t). Vyberu raději jiný bod, aby to bylo jasnější. Řekněme... Ještě vyberu jinou barvu. Řekněme, že toto je r v nějakém bodě t, který jsme náhodně zvolili. Toto je r(t). t se zde rovná ‚a‘ plus něco. Zvolili jsme si tedy nějaké t. Nyní budeme chtít zjistit... Řekněme, že t nyní o trochu zvětšíme, že ho zvětšíme o ‚h‘. Bod r(t plus h)... Pokud se na parametr t díváme jako na čas, tak si můžeme představit, že se čas trochu posunul, takže i naše částice se trochu posunula. Řekněme, že jsme se dostali sem. Tento žlutý bod je tedy r(t plus h). Jen jsme parametr o trochu zvětšili, a to o ‚h‘. Nyní si můžeme položit otázku, jak rychle se r mění vzhledem k t. Jako první by nás asi zajímalo, jaký je rozdíl mezi těmito body. Kdybychom měli... Nakreslím to. Když vezmeme polohový vektor, který nám vyjde po dosazení (t plus h) do funkce r, a odečteme od něj r(t), tak co dostaneme? Možná by bylo dobré si zopakovat, jak se pracuje s vektory, ale v zásadě dostaneme tento vektor. Nakreslím ho nějakou zářivou barvou. Vyjde nám tento růžový vektor. Tento růžový vektor je vektor r(t plus h) minus r(t). To dává smysl, neboť u sčítání vektorů je počátek druhého na konci prvního. Tento vektor totiž můžeme napsat jako r(t) plus tenhle vektor, tedy plus r(t plus h) minus r(t). Když sčítáme dva vektory, tak sčítáme... Ujasním to. Sčítáme tento vektor s tímhle vektorem. Při sčítání kreslíme počátek druhého vektoru na konec prvního vektoru. Tohle je můj první vektor, jehož konec je počátkem tohoto druhého vektoru. Součet těchto dvou vektorů, jak jsme řekli, by měl být roven tomuto poslednímu. Mělo by se to rovnat r(t plus h). Vidíme, že už jen algebraicky je tomu skutečně tak, protože tyhle dvě věci se nám odečtou. Snad vám to dává smysl. Chci, aby to bylo jasné. Tohle už najednou není polohový vektor. Už neříkáme, že jde o vektor začínající v počátku, který udává polohu jednoho konkrétního bodu. Namísto toho jde o můžeme říci "čistý" vektor, který udává změnu mezi dvěma jinými polohovými vektory. Mluvím o tomto vektoru. Tento vektor udává změnu. Řekněme, že nás teď zajímá... Jak by to vypadalo algebraicky, kdybychom to takto rozepsali? Tohle se rovná... Čemu se rovná r(t plus h)? Je to x v bodě... Napíšu to jinam. Toto se rovná x(t plus h) krát jednotkový vektor i plus y(t plus h) krát jednotkový vektor j... Zatím jsme napsali tohle. Tato část se rovná tomuhle. ...minus tohle, takže minus... Napíšu to na nový řádek. Mohl bych to napsat sem, ale asi by mi došlo místo. ...minus x(t)... r(t) se rovná x(t) krát i plus... Ještě tu ale máme tohle minus, takže tady bude minus y(t) krát j. Vlastně sem radši napíšu minus... Napíšu to takhle. ...a zde bude plus. Takhle je lépe vidět, že jde o tento vektor. Jen jsme dosadili t. Máme tu tedy x(t) plus y(t) a nyní můžeme roznásobit. Když závorku roznásobíme tímhle minus, dostaneme minus x(t) a minus y(t). Při sčítání vektorů... Možná by bylo dobré si ho zopakovat, pokud jste ho delší dobu neviděli. ...sčítáme příslušné složky. Sečteme x-ové složky a y-ové složky. Tohle se tím pádem rovná... Přepíšu si to dolů, protože na to budu potřebovat víc místa. Přepíšu to sem. Vyjde nám, že r(t plus h) minus r(t) se rovná... Teď dám k sobě x-ové a y-ové složky. ...se rovná součet x-ových složek, ale zde je minus, takže tuto hodnotu odečteme od té horní, což nám dá x(t plus h) minus x(t), tohle celé krát jednotkový vektor ve směru osy x, k čemuž nyní přičteme výraz y(t plus h) minus y(t) vynásobený jednotkovým vektorem j ve směru osy y. Jenom jinak zapisuji to, co máme nahoře. Tohle nám udává, jaká je změna mezi libovolnými dvěma hodnotami r, když známe změnu vzdálenosti. Změna vzdálenosti mezi libovolnými dvěma polohovými vektory je zde ‚h‘. Na začátku videa jsme si řekli, že chceme zjistit, jaká je změna... Bude nás zajímat okamžitá změna vzhledem k t. Chceme tedy vědět, jak moc se vektor ‚r‘ změní za časový úsek ‚h‘. Místo ‚h‘ jsme mohli napsat Δt a šlo by o to samé. Tento výraz nyní vydělíme ‚h‘. Víme, že náš vektor se takto změnil, a tímhle ukážeme, že to bylo za časový úsek ‚h‘. Je to velmi podobné směrnici. Směrnice je svislá změna děleno vodorovná změna neboli Δy děleno... Neboli změna y děleno změna x. I zde chceme mít změnu hodnoty naší funkce děleno změna x, takže tohle celé vydělíme... Ne děleno změnou x, ale děleno změnou t. Změna t je v tomto případě rovna ‚h‘. Rozdíl mezi (t plus h) a t je h. Všechno tedy vydělíme h. Když nějaký vektor násobíme nebo dělíme skalárem, tak každou z jeho složek vynásobíme nebo vydělíme tímto skalárem. Vyjde nám tohle. Pro libovolný konečný rozdíl ‚h‘ nám tento výraz říká, jak moc se náš vektor r změní za časový úsek ‚h‘. Když nás ale zajímá okamžitá změna, podobně jako když jsme se začali učit diferenciální počet... Tehdy jsme si řekli, že tohle vypadá jako směrnice přímky a že by nám to dobře fungovalo, kdyby se jednalo o křivku tohoto tvaru, tedy kdyby šlo o přímku. Kdyby naše křivka vypadala nějak takhle, tak by nám tohle udávalo průměrnou změnu našeho polohového vektoru... Můžeme si tu představit dva polohové vektory. Tohle je jeden. Všechny budou v tomto případě rovnoběžné. Polohové vektory vlastně nemusí být vždycky rovnoběžné, ale... Nemusí být rovnoběžné, ale můžeme je nakreslit i takto. Tenhle výraz by popisoval změnu mezi těmito vektory za úsek ‚h‘, tedy jak rychle se tyto polohové vektory mění, když se hodnota parametru změní o tolik. Na tohle h se můžeme dívat jako na Δt. Některým lidem se zdá jednodušší použít h, jiní mají raději Δt. Nás ale zajímá okamžitá... Pracujeme tu s křivkami a diferenciálním počtem. Tohle by nám stačilo jen v lineárním světě algebry. Co s tím tedy uděláme? Mohli bychom zkusit udělat limitu pro h blížící se k 0. Sjedu trochu dolů. Udělejme limitu... Napíšu to nějakou zářivou barvou. Udělejme... Už mi dochází barvy. ...limitu pro h blížící se k 0 z obou stran této rovnosti, takže i zde uděláme limitu pro h blížící se k 0 a také tady bude limita pro h blížící se k 0. Snažím se tedy zjistit, jak moc se změní můj vektor při změně parametru t... Jaká je okamžitá změna mého vektoru, když je změna parametru menší a menší. Tohle už jsme viděli, když jsme se učili o směrnici a okamžité rychlosti změny, tedy o směrnici tečny. Tenhle výraz ještě nemáme definovaný. Nezadefinovali jsme si limitu vektorové funkce ani derivaci vektorové funkce. Toto už ale naštěstí vypadá docela povědomě. Zde je totiž přímo naše známá definice derivace. Tohle už jsou skalární funkce, kterými násobíme vektory, abychom dostali vektorovou funkci. Podle definice derivace se tohle rovná x(t) s čárkou neboli dx lomeno dt. Toto se pak rovná y(t) s čárkou neboli dy lomeno dt. Najednou už tak můžeme zadefinovat... Není to sice matematicky formální, ale chci, aby vám to intuitivně dávalo smysl. Můžeme říci, že derivace... Tento výraz můžeme nazvat derivací vektorové funkce r podle t, což můžeme zapsat jako dr lomeno dt, přičemž si všimněte, že nad r píšu šipky. Tato derivace se rovná... r(t) s čárkou se rovná... Tady máme derivaci x podle t. ...se rovná x(t) s čárkou krát jednotkový vektor ve směru osy x plus y(t) s čárkou krát jednotkový vektor ve směru osy y, tedy krát j. To je poměrně hezký a jednoduchý vzorec, ale už o trochu těžší je představit si, co tento vzorec znamená. Když se zamyslíme nad tím, co se stane... Nakreslím sem velký graf, abychom to dobře viděli. Řekněme, že naše křivka vypadá nějak takhle. Tohle bude naše křivka. Řekněme dále, že nás zajímá okamžitá změna v tomto bodě, což bude bod r(t). Nyní si nakresleme r(t plus h), jak už jsme to jednou udělali. r(t plus h) by mohlo být někde tady. Tohle je r(t plus h). V tuto chvíli je rozdíl mezi těmito vektory, což bude čitatel toho, co nás zajímá, tedy jak rychle se vektor změní z tohoto na tenhle vzhledem k t... Těžko se to představuje. Jedno samostatné video se pak bude věnovat velikostem těchto vektorů. Bude to vektor... Rozdílem mezi těmito dvěma vektory je tento vektor. Když ho poté vydělíme ‚h‘, dostaneme větší vektor, předpokládáme-li, že ‚h‘ je nějaké malé číslo. Pokud je h menší než 1, tak dostaneme větší vektor. Tohle je ale průměrná změna za časový úsek ‚h‘. Jak se však bude ‚h‘ stále více zmenšovat, tak směr vektoru r(t) s čárkou bude stejný jako směr tečny k této křivce. Myslím, že to jde docela vidět. Když budou tyto dva vektory čím dál víc u sebe, tak bude dr čím dál tím menší, takže změna... Tím dr myslím rozdíl mezi těmito dvěma vektory, tedy Δr. Δr bude čím dál tím menší. Umíte si představit, že kdyby h bylo ještě menší, třeba zde, tak by i rozdíl mezi těmito dvěma vektory byl menší a vypadal by ještě víc jako tečný vektor k této křivce. V tomhle případě však dělíme menším h, takže derivace, tedy limita pro h blížící se k 0, může být ještě větší číslo. Ve skutečnosti bude velikost tohoto vektoru... Těžko se to znázorňuje. ...bude záviset na parametrizaci dané křivky. Nezávisí ovšem na tvaru křivky. Směr tohoto vektoru závisí na tvaru křivky, přičemž směr tohoto vektoru je stejný jako směr tečny k této křivce. Můžeme si to představit tak, že tento vektor leží na tečně ke křivce. Velikost tohoto vektoru je trochu těžké pochopit. Zkusím vám to intuitivně vysvětlit v následujícím videu. Teď bych rád, abyste pochopili tohle, protože se nám to bude hodit, až budeme mluvit o křivkovém integrálu z vektorových funkcí.