Hlavní obsah
Diferenciální počet
Řešený příklad: derivace polární funkce
Řešený příklad, ve kterém máme zadanou polární funkci a spočítáme rychlost změny 𝘹 vzhledem k θ.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Funkce r se rovná 3 krát théta krát
sin(théta), théta leží mezi 0 a 2pí. Graf funkce r v polárních souřadnicích je
složen ze dvou smyček, jak vidíte nahoře. Zkusme se zamyslet nad tím,
proč to jsou dvě smyčky. Když théta je 0, tak i r je 0,
a jak se théta zvětšuje, začínáme procházet naši první
smyčku dokud se théta nerovná pí. Tím jsme si prošli první smyčku
od théta rovno 0 do théta rovno pí. Druhá smyčka má větší r, a to je
výsledek toho, když jdeme od pí do 2 pí. Mohli byste říci, proč
se to neukazuje tady dole? Mezi sin(pí) a sin(2pí) bude tato část
záporná, takže se to otočí na tuto stranu. A toto r se stále zvětšuje díky
tomuto výrazu 3 krát théta. Když tedy jdeme od pí do dvou pí,
procházíme tímto větším kruhem. Bod P na grafu
funkce r je zde na ose y. Zjistěte rychlost změny
souřadnice x podle théty v bodě P. Zamysleme se
nad tím. Nedávají nám
x jako funkci. Tu musíme zjistit z toho,
co nám bylo zadáno. Pro zopakování polárních souřadnic
si řekneme, že pokud je tohle théta, toto je r a toto bude bod na
naší křivce pro hodnotu théta. Jak to převedeme
na hodnoty x a y? Můžeme si pomoci
pravoúhlým trojúhelníkem. Ze základní trigonometrie víme,
že délka této základny zde bude přepona. Napíšeme si to, toto
bude naše souřadnice x. Naše souřadnice x se bude rovnat
přeponě, což je r krát cos(théta). Souřadnice y vyjádřená jako funkce
r a théty je r krát sin(théta). To po nás
ovšem nechtějí. Toto jsme si tedy
zjistili pouze pomocí théty. Jak budeme
postupovat dál? Můžeme vzít tento výraz vyjadřující r,
samotné r je funkce théty, a nahradit
jím toto r zde. Přepíšeme to jako x
v závislosti na thétě, to je 3 krát théta krát
sin(théta) krát cos(théta). Nyní chceme najít rychlost změny
souřadnice x podle théty v určitém bodě. Vypočítejme tedy
derivaci x podle théty. Máme tu
součin tří výrazů. První výraz, 3 krát théta,
potom sin(théta) a potom cos(théta). Můžeme tedy použít
součinové pravidlo. Pokud používáte součinové
pravidlo na výraz se třemi částmi, postupujete stejně
jako o součinu dvou výrazů. První výraz bude derivace první části,
což je 3, krát další dva výrazy. Budeme tedy mít 3 krát
sin(théta) krát cos(théta). Plus druhá část bude derivace
prostředního výrazu krát zbylé dva výrazy. To bude 3 krát théta a poté
derivace sin(théta) krát cos(théta). Zde bude tedy
cos(théta) na druhou. Nakonec máme derivaci poslední části, což
je derivace cos(théta) krát zbylé výrazy. Derivace cos(théta) je −sin(théta),
a když to vynásobíme 3 krát théta, krát sin(théta), vyjde nám
−3théta krát sinus na druhou z théta. Chceme to
vypočítat pro bod P. Jaká je théta
pro bod P? Bod P se nachází na naší vnitřní křivce a
v tomto bodě bude théta rovna pí lomeno 2. Musíme tedy zjistit, čemu se
rovná první derivace x v (pí lomeno 2)? Bude se to rovnat
3 krát sin(pí lomeno 2) což je 1. Potom krát cos(pí lomeno 2), což je 0. To celé bude 0, plus 3 krát (pí lomeno 2)
krát cos(pí lomeno 2) na druhou. To je také 0,
takže zatím je vše 0. Dál máme minus 3 krát (pí lomeno 2)
krát sin(pí lomeno 2) na druhou. Kolik je sin(pí lomeno 2)? Je to 1, i když to
umocníme, tak je to stále 1. Celé se to tedy
zjednoduší na −3 (pí lomeno 2). Vždycky je dobré se
nad tím logicky zamyslet. Dává smysl, aby rychlost změny x
podle théty byla −3 krát (pí lomeno 2)? Zamysleme se nad
průběhem funkce. Jak se théta zvětuje,
x se rozhodně zmenšuje, takže dává smysl, že tu
máme záporné znaménko. Tak to máme hotovo, míra změny
x podle théty je −3 krát (pí lomeno 2). Jak se théta zvětšuje, x se zmenšuje,
takže to alespoň dává smysl.