Řešený příklad: derivace polární funkce

Funkce r se rovná 3 krát théta krát sin(théta), théta leží mezi 0 a 2pí. Graf funkce r v polárních souřadnicích je složen ze dvou smyček, jak vidíte nahoře. Zkusme se zamyslet nad tím, proč to jsou dvě smyčky. Když théta je 0, tak i r je 0, a jak se théta zvětšuje, začínáme procházet naši první smyčku dokud se théta nerovná pí. Tím jsme si prošli první smyčku od théta rovno 0 do théta rovno pí. Druhá smyčka má větší r, a to je výsledek toho, když jdeme od pí do 2 pí. Mohli byste říci, proč se to neukazuje tady dole? Mezi sin(pí) a sin(2pí) bude tato část záporná, takže se to otočí na tuto stranu. A toto r se stále zvětšuje díky tomuto výrazu 3 krát théta. Když tedy jdeme od pí do dvou pí, procházíme tímto větším kruhem. Bod P na grafu funkce r je zde na ose y. Zjistěte rychlost změny souřadnice x podle théty v bodě P. Zamysleme se nad tím. Nedávají nám x jako funkci. Tu musíme zjistit z toho, co nám bylo zadáno. Pro zopakování polárních souřadnic si řekneme, že pokud je tohle théta, toto je r a toto bude bod na naší křivce pro hodnotu théta. Jak to převedeme na hodnoty x a y? Můžeme si pomoci pravoúhlým trojúhelníkem. Ze základní trigonometrie víme, že délka této základny zde bude přepona. Napíšeme si to, toto bude naše souřadnice x. Naše souřadnice x se bude rovnat přeponě, což je r krát cos(théta). Souřadnice y vyjádřená jako funkce r a théty je r krát sin(théta). To po nás ovšem nechtějí. Toto jsme si tedy zjistili pouze pomocí théty. Jak budeme postupovat dál? Můžeme vzít tento výraz vyjadřující r, samotné r je funkce théty, a nahradit jím toto r zde. Přepíšeme to jako x v závislosti na thétě, to je 3 krát théta krát sin(théta) krát cos(théta). Nyní chceme najít rychlost změny souřadnice x podle théty v určitém bodě. Vypočítejme tedy derivaci x podle théty. Máme tu součin tří výrazů. První výraz, 3 krát théta, potom sin(théta) a potom cos(théta). Můžeme tedy použít součinové pravidlo. Pokud používáte součinové pravidlo na výraz se třemi částmi, postupujete stejně jako o součinu dvou výrazů. První výraz bude derivace první části, což je 3, krát další dva výrazy. Budeme tedy mít 3 krát sin(théta) krát cos(théta). Plus druhá část bude derivace prostředního výrazu krát zbylé dva výrazy. To bude 3 krát théta a poté derivace sin(théta) krát cos(théta). Zde bude tedy cos(théta) na druhou. Nakonec máme derivaci poslední části, což je derivace cos(théta) krát zbylé výrazy. Derivace cos(théta) je −sin(théta), a když to vynásobíme 3 krát théta, krát sin(théta), vyjde nám −3théta krát sinus na druhou z théta. Chceme to vypočítat pro bod P. Jaká je théta pro bod P? Bod P se nachází na naší vnitřní křivce a v tomto bodě bude théta rovna pí lomeno 2. Musíme tedy zjistit, čemu se rovná první derivace x v (pí lomeno 2)? Bude se to rovnat 3 krát sin(pí lomeno 2) což je 1. Potom krát cos(pí lomeno 2), což je 0. To celé bude 0, plus 3 krát (pí lomeno 2) krát cos(pí lomeno 2) na druhou. To je také 0, takže zatím je vše 0. Dál máme minus 3 krát (pí lomeno 2) krát sin(pí lomeno 2) na druhou. Kolik je sin(pí lomeno 2)? Je to 1, i když to umocníme, tak je to stále 1. Celé se to tedy zjednoduší na −3 (pí lomeno 2). Vždycky je dobré se nad tím logicky zamyslet. Dává smysl, aby rychlost změny x podle théty byla −3 krát (pí lomeno 2)? Zamysleme se nad průběhem funkce. Jak se théta zvětuje, x se rozhodně zmenšuje, takže dává smysl, že tu máme záporné znaménko. Tak to máme hotovo, míra změny x podle théty je −3 krát (pí lomeno 2). Jak se théta zvětšuje, x se zmenšuje, takže to alespoň dává smysl.