Derivace polárních funkcí

Máme zde graf funkce r rovná se sinus z (2 krát théta) v polárních souřadnicích. Pokud si již nevybavujete, co to jsou polární souřadnice, vyhledejte si je na Khan Academy, nebo se podívejte na předchozí lekce. Trochu vám přiblížím základy. Zkusme si vysvětlit, proč tento graf vypadá tak, jak vypadá. Každý bod v grafu bychom mohli vyjádřit pomocí souřadnic x a y. Můžeme je ale také vyjádřit pomocí úhlu a poloměru. Tento bod například má nějakou souřadnici x a y. Anebo můžeme nakreslit přímku od počátku k tomuto bodu a specifikovat ho pomocí úhlu théta a r, což je vzdálenost od počátku k tomu bodu. Zkusme si na této křivce vysvětlit, proč je to tak intuitivní. Když théta je 0, potom r bude taky 0. R tedy bude v počátku, a jak se théta bude zvětšovat, r se také bude zvětšovat, a začne se nám tvořit tento tvar květiny/čtyřlístku. Začne to tedy vypadat jako naše křivka a můžeme pokračovat dokola. Co se stane, když se théta rovná pí lomeno 4? Pokud se tedy théta rovná pí lomeno 4, potom sin(2 krát pí lomeno 4) bude sin(pí lomeno 2) a r se bude rovnat 1. Dosáhneme tedy maximálního r. Následně jak se théta bude zvětšovat, r se bude zmenšovat. Nyní si to zkusme vyjádřit pomocí diferenciálního počtu. První otázka by mohla být, jak vyjádříme rychlost změny r podle théty? Pozastavte video a zkuste si to sami. Jaká je první derivace r(théta)? Nemáme tu ve skutečnosti nic nového. Máme pouze jednu proměnnou. Můžeme použít vzorec pro derivaci složené funkci. Uděláme derivaci podle théty. Derivace funkce sin(2 krát théta) podle théty bude cos(2 krát théta), násobeno derivací (2 krát théta) podle théty, což je 2. Násobíme tedy krát 2 nebo můžeme pouze napsat 2 dopředu. To bylo zajímavé, ovšem zkusme si vyjádřit tuto křivku pomocí x a y. Potom se zamysleme nad touto derivací. Pokud chcete přecházet mezi polárním světem a světem kartézských souřadnic, je nutné si uvědomit, že y se rovná r krát sin(théta) a x se rovná r krát cos(théta). Proč to dává smysl? Vezměme si jeden z těchto úhlů a řekněme, že toho je théta a toto je r. Čili výška této strany bude y a délka této strany bude x. Z trigonometrie víme, že sinus je protilehlá strana lomeno přepona. Zde je tedy sin(théta) roven y lomeno přepona, což je r. A kosinus z théty je roven přilehlé straně, nebo pro nás x, lomeno r. Obě strany rovnice musíme vynásobit r, abychom dostali to samé co zde. To je pouze opakování základů, pokud by pro vás postup byl moc rychlý. Nyní to můžeme vyjádřit pouze pomocí thety. Jak to uděláme? Víme, že r se rovná sin(2 krát théta), tak každé r nahradíme sin(2 krát théta). Y tak bude rovno sin (2 krát théta) krát sin(théta) a x bude rovno sin (2 krát théta) krát cos(théta). Tyto výrazy nyní můžeme využít k nalezení rychlosti změny y podle théty. Pozastavte video a zkuste si to sami. Nyní to zkusíme společně. Využijeme našich znalostí derivací. Derivace y podle théty a použijeme součinové pravidlo. Derivace prvního výrazu bude 2 krát cos(2 krát théta), to už jsme viděli. To vychází z pravidla pro derivaci složené funkci. Potom krát druhý výraz, sin(théta), plus první výraz, sin(2 krát théta), potom krát derivace druhého výrazu, což je cos(théta). To samé můžeme udělat pro x, derivace prvního výrazu, což bude 2 krát cos(2 krát théta) krát cos z théty, poté první výraz, sin(2 krát théta) krát derivace druhého výrazu, to je −sin(théta). Můžeme to vypočítat pro určité body. Můžeme například říci, že théta se rovná pí lomeno 4. Když se théta rovná pí lomeno 4, potom budeme v tomto bodě. Zkusme si to vypočítat. Derivace y v bodě (pí lomeno 4) se rovná 2 krát cos(pí lomeno 2). krát sin(pí lomeno 4) plus sin(2 krát pí lomeno 4), což je sin(pí lomeno 2), krát cos(pí lomeno 4). Čemu se to bude rovnat? Cos(pí lomeno 2) je 0, čili toto celé bude 0. Zde je sin(pí lomeno 2), což je 1, cos(pí lomeno 4) je odmocnina ze 2 lomeno 2, takže toto bude odmocnina ze 2 lomeno 2. Bude se to tedy rovnat odmocnině ze 2 lomeno 2. To samé můžeme udělat s x. Derivace x(pí lomeno 4). Máme 2 krát cos(2 krát pí lomeno 4), což bude 2 krát cos(pí lomeno 2). První část bude vypadat stejně, takže první výraz bude 0. Dál minus sin(pí lomeno 2), 2 krát (pí lomeno 4), to je sin(pí lomeno 2), krát sin(pí lomeno 4). Toto bude 1, toto bude odmocnina ze 2 lomeno 2, čili výsledek bude minus odmocnina ze 2 lomeno 2. Pojďme si ukázat, proč to dává smysl. Co se stane, když ze bude zde théta zvětšovat? Pokud trochu zvýšíme thétu z pí lomeno 4, souřadnice y se bude i nadále zvětšovat. Proto dává smysl, že tu máme kladný sklon. Co se ale stane souřadnici x, když se théta zvětší? X se zmenšuje, jak se théta zvětšuje, proto dává smysl tato záporná rychlost změny. Další věc, kterou můžeme zkusit, je najít rychlost změny y podle x. Chceme totiž najít sklon tečny. Vypadá to, že je to −1, ovšem jak to spočítáme? Můžeme to pojmout jako derivaci y podle x, která bude rovna derivaci y podle théty lomeno derivací x podle théty. Pro tuto hodnotu, théta rovno pí lomeno 4, to bude rovno odmocnina ze 2 lomeno 2, to celé lomeno minus odmocnina ze 2 lomeno 2. To se dá zjednodušit a vyjde nám −1, což dává smysl. Toto vypadá jako tečna, která má sklon −1. Doufám, že to všechno do sebe zapadá, a že už se v tom trochu více vyznáte. Zopakovali jsme si polární souřadnice a trochu jsme to rozšířili o derivace.