Řešený příklad na pohyb v rovině: vektor zrychlení

Hmotná částice se pohybuje v rovině xy tak, že v jakémkoli čase t větším nebo rovném 0, je jeho polohový vektor roven těmto konkrétním složkám x a y, které jsou obě funkcí času. Jaký je vektor zrychlení částice v čase t je rovno 3? Naše pozice je tedy vektorová funkce. Je to funkce času. Je to vektor. Už nám řekli, že složky našeho vektoru jsou: x je minus 3 krát t na třetí plus 4 krát t na druhou a složka y odpovídá t na třetí plus 2. Když mi dáte jakýkoli čas větší než 0, dosadím ho sem, a vrátím vám odpovídající složky x a y. Toto je jedna forma zápisu vektoru. Jiný způsob zápisu, který můžete znát, je s využíváním jednotkových vektorů ve směru os. Tedy (minus 3 krát t na třetí mocninu plus 4 krát t na druhou) krát x-ový jednotkový vektor ‚i' plus (t na třetí mocninu plus 2) krát y-ový jednotkový vektor ‚j'. Toto je pouze zápis stejné věci. Toto je složka x a toto složka y. Toto je složka v řádku, toto složka ve sloupci, tedy složka y. Klíčové poznání zde je, že máte polohový vektor a vektor rychlosti bude jeho derivace. Takže v(t) bude rovno derivaci r(t). A to bude rovno derivaci jednotlivých složek. Pojďme to udělat. Pokud budeme derivovat složku x podle t, použijeme vzorec na derivaci mocniny. Tedy 3 krát (−3), což je minus 9 krát t na druhou mocninu. A potom přičteme 2 krát 4, tedy 8 krát t na prvou. Tedy plus 8 krát t. A potom zde složka y. Derivace t na třetí mocninu podle t, je 3 krát t na druhou. A derivace 2 je prostě 0. Tedy 3 krát t na druhou. Pokud chceme najít funkci zrychlení, vektorovou funkci, která udává zrychlení v závislosti na čase, musíme zderivovat vektor rychlosti podle času. A to bude rovno... Složku x získáme opět derivací složky x. Jen najdu nějakou barvu, kterou jsem ještě nepoužil, třeba zelenou. Dostáváme 2 krát (−9), což je −18 krát t plus 8, což je derivace 8 krát t, derivováno podle t. A potom toto oranžové, derivace 8 krát t na druhou. Opět tedy vzorec na derivaci mocniny. 2 krát 3 je 6 krát t na prvou, tedy 6 krát t. Právě jsme dvěma derivacemi tohoto polohového vektoru našli funkci, která udává zrychlení. Nyní ji akorát musíme vyhodnotit pro t rovno 3. Naše zrychlení v čase t rovno 3 je rovno následujícímu. Zelená část je −18 krát 3 plus 8. Druhá složka je 6 krát 3. A jak toto zjednodušíme? Toto bude rovno −54 plus 8. Tedy −46. A 6 krát 3 je 18. Vypočítal jsem to správně? Toto je −54 plus 8. −54 plus 4 je −50 a plus další 4 je −46. Ok, takže zde to máte. Tedy (−46; 18) je vektor zrychlení v čase t rovno 3.