Pohyb po křivce: hledání velikosti vektoru rychlosti

Hmotná částice se pohybuje po křivce s rovnicí x krát y rovná se 16 tak, že y-ová souřadnice roste... Podtrhnu to. ...y-ová souřadnice roste konstantní rychlostí 2 jednotky za minutu. To znamená, že rychlost změny y vzhledem k t se rovná 2. Jaká je v jednotkách za minutu velikost vektoru rychlosti částice, když se částice nachází v bodě [4; 4]? To znamená, že x se rovná 4 a y se také rovná 4. Tak se na to podívejme. Nejprve si připomeňme, jak vektor rychlosti vypadá. Rychlost je funkcí času a má dvě složky, jimiž jsou rychlost změny ve směru osy x a rychlost změny ve směru osy y. Rychlost změny ve směru osy x je dx lomeno dt, zatímco rychlost změny ve směru osy y je rovna dy lomeno dt. V zadání máme, že dy lomeno dt je konstantně rovno 2 jednotkám za minutu. V otázce se nás ale neptají na vektor rychlosti, respektive jeho složky, ale ptají se na velikost vektoru rychlosti naší částice. Když máme nějaký vektor... Udělám teď takovou krátkou odbočku. Když máme nějaký vektor ‚a‘ se složkami ‚b‘ a ‚c‘, tak velikost tohoto vektoru... Občas se to zapisuje takto, jindy to můžete vidět zapsáno s dvojitými čárami. ...velikost našeho vektoru, což plyne přímo z Pythagorovy věty, je rovna druhé odmocnině z (b na druhou plus c na druhou), tedy druhé odmocnině z (x-ová složka na druhou plus y-ová složka na druhou). Když nás tedy zajímá velikost vektoru rychlosti částice, tak to zapíšeme jako velikost v... Mohu to dokonce napsat jako funkci proměnné t. ...což se rovná druhá odmocnina z x-ové složky na druhou, tedy z rychlosti změny x vzhledem k času umocněné na druhou, plus y-ová složka na druhou, což v našem případě bude rychlost změny y vzhledem k t umocněná na druhou. Jak spočítáme tyhle dvě věci? Rychlost změny y vzhledem k t už známe. Máme tu, že jde o konstantní rychlost 2 jednotky za minutu. Víme tedy, že tohle se rovná 2, neboli že tohle celé se rovná 4. Jak ale spočítáme rychlost změny x vzhledem k t? Můžeme vzít rovnici, která popisuje naši křivku... Obě strany této rovnice můžeme zderivovat podle t, čímž nám vyjde rovnice obsahující x, y, dx lomeno dt a dy lomeno dt. Tak pojďme na to. Máme tedy rovnici x krát y rovná se 16. Obě strany této rovnice nyní zderivujeme podle t. Napíšu to jinou barvou, abychom to měli trochu pestřejší. Spočítáme derivaci podle ‚t‘ z levé strany a pak derivaci podle ‚t‘ z pravé strany. Na levou stranu se můžeme dívat jako na součin dvou funkcí. Řekneme si, že x je funkce t a že y je také funkce t. Nyní použijeme vzorec pro derivaci součinu a také složené funkce. Bude to derivace první funkce, což je... Derivace x podle x je 1, což teď ještě musíme vynásobit derivací x podle t. Nezapomeňme, že derivujeme podle t, ne podle x. Tohle nyní vynásobíme druhou funkcí, tedy krát y, plus první funkce, což je jen x, krát derivace druhé funkce podle t. Čemu se rovná derivace y podle y? To je 1. A jak vypadá derivace y podle t? Je to dy lomeno dt. Tohle celé se rovná... Derivace konstanty je 0. Teď to zkusme nějak zjednodušit. Zjednoduší se nám to na... Vlastně už to nemusíme nijak zjednodušovat. Stačí jen dosadit známé hodnoty a následně spočítat dx lomeno dt. Víme, že dy lomeno dt je konstanta 2, a zajímá nás velikost vektoru rychlosti částice, když se částice nachází v bodě [4; 4]. Tedy když je x rovno 4 a y je rovno také 4. Teď to sice vypadá trochu nepřehledně, ale máme tu rovnici, kterou umíme vyřešit. Je v ní pouze jedna neznámá, a to rychlost změny x vzhledem k t, když se částice nachází v bodě [4; 4]. Když tohle spočítáme, můžeme to dosadit sem, díky čemuž už spočítáme velikost našeho vektoru rychlosti. Tak si to napišme. Máme tu 4 krát (dx lomeno dt) plus 4 krát 2, tedy plus 8, se rovná 0. Z toho plyne, že 4 krát (dx lomeno dt) se rovná −8, jen jsme od obou stran odečetli 8. Po vydělení obou stran číslem 4 dostaneme, že dx lomeno dt... Sjedu trochu dolů. ...se rovná −2. Rychlost změny x vzhledem k t je tedy −2. Když to umocníme na druhou, tak tady bude 4. Velikost našeho vektoru rychlosti se tudíž rovná druhé odmocnině z (4 plus 4). 4 plus 4 je 8, což je to samé jako 4 krát 2, takže to bude 2 krát druhá odmocnina ze 2 jednotek za minutu. Taková je velikost vektoru rychlosti.