Pohyb po křivce: hledání rychlosti změny y-ové souřadnice částice

Hmotná částice se pohybuje po křivce dané vztahem x na druhou krát y na druhou rovná se 16. Souřadnice x její polohy se mění konstantní rychlostí −2 jednotky za minutu. Jakou rychlostí v jednotkách za minutu se mění souřadnice y polohy v bodě [1; 4]? Přepišme si zadání. Trajektorii bodu určuje vztah x na druhou y na druhou rovná se 16, jak víme odsud. Dál je klíčové, že souřadnice x se mění stálou rychlostí −2 jednotky za minutu. Neboli změna x podle času t se rovná −2 jednotkám vzdálenosti za minutu. My máme spočítat změnu y ve vztahu k času, tedy dy lomeno dt konkrétně v bodě [1; 4], x rovná se 1, y rovná se 4. Hledáme rovnici, jež zahrnuje x, y, změnu x a změnu y podle ‚t‘. Inu, co kdybychom zderivovali obě strany rovnice naší křivky podle ‚t‘? Rozepíšu to, posunu 16, abych měl místo, derivuji obě strany podle ‚t‘. Kdyby vás kdykoli během videa napadlo jak, zastavte video a zkuste to vyřešit sami. Levá strana je v podstatě součin 2 funkcí, takže začneme s derivací první z nich. Derivace x na druhou podle x je 2x, jenže my chceme hodnotu podle ‚t‘, Uplatňujeme pravidlo pro složenou funkci, máme 2x krát derivace x podle ‚t‘. To celé vynásobíme druhou funkcí, 2y na druhou, plus první funkce, x na druhou, krát derivace druhé funkce podle ‚t‘. Je to dle pravidla pro derivaci složené funkce. Derivace y na druhou podle ‚y‘, neboli 2y, krát derivace y podle ‚t‘. A to celé se bude rovnat derivaci 16 podle ‚t‘. 16 je konstantní, v čase se nijak nemění, takže tato derivace bude mít hodnotu 0. A máme rovnici vyjadřující vztah mezi x, y a derivacemi obou z nich podle ‚t‘. Teď ji zjednoduším, bude to 2xy na druhou krát dx lomeno dt, plus... Já ji vlastně nemusím upravovat, zajímá mě jen hodnota derivace y lomeno ‚t‘. Stačí dosadit hodnoty, zajímá nás bod [1; 4], takže x je 1, x na druhou je 1, y je 4, y na druhou je 16, 2y je 8, zadání nám říká, že derivace x lomeno t je −2. Rovnici zjednodušíme, 2 krát 1 krát −2 krát 16 je −4 krát 16, což se rovná −64. Druhý sčítanec je 1 krát 8 krát dy lomeno dt, což je jen 8 dy lomeno dt, přičtu to sem. To celé se rovná 0, když k obou stranám přičteme 64, a dostáváme, že 8 dy lomeno dt rovná se 64. Obě strany vydělíme 8 a máme výsledek: derivace y podle ‚t‘ se rovná 8. Přesněji 8 jednotek vzdálenosti za minutu, jak po nás chtělo zadání. A máme hotovo!