Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 6
Lekce 1: Úvod do parametrických rovnicDerivování parametrických rovnic
V tomto videu spočítáme derivaci funkce definované pomocí parametrických rovnic x=sin(1+3t) a y=2t³ a následně ji vyčíslíme v bodě t=-⅓.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Souřadnice x a y máme
vyjádřené pomocí proměnné t. Když za t postupně dosadíme
všechna reálná čísla, dostaneme tento
zajímavý graf. Dosadíme například t rovná se 0
a spočítáme, čemu se rovná x a y, potom spočítáme x a y pro t rovná se 1
a tak dále pro všechna t, čímž dostaneme
tento zajímavý graf. Cílem tohoto videa ale není jen obdivovat
křivky popsané parametrickými rovnicemi. Chceme na ně také použít
diferenciální počet. Konkrétně chceme spočítat
derivaci y podle x, když se t rovná
minus (1 lomeno 3). Pokud už máte nějaký nápad, tak si
zastavte video a zkuste to spočítat, nebo to teď můžete
počítat spolu se mnou. Hlavní je přijít na to,
jak spočítat derivaci y podle x, když máme oboje definované
pomocí jiné proměnné t. Odpovědí je,
že derivace y podle x se rovná: Derivace y podle t
lomeno derivace x podle t. Kdybychom se na tato písmena d
dívali jako na pouhá čísla, tak by nám po vykrácení dt
skutečně vyšlo to samé. Není to sice formálně
korektní postup, ale když se na
to díváme takhle, tak je snadno vidět,
proč by tohle mohlo dávat smysl. Derivace něčeho podle
něčeho jiného se rovná: Derivace y podle t
lomeno derivace x podle t. Jak nám
tohle pomůže? Derivaci x podle t
i derivaci y podle t už umíme spočítat. Derivace x podle t
se rovná... Derivace vnější funkce
podle té vnitřní je 2 krát sinus... Ouha, derivace sinu
je přece kosinus. ...2 krát kosinus
v bodě (1 plus 3 krát t), což teď musíme vynásobit derivací
vnitřní funkce podle t, která se rovná... Derivace 1 se rovná 0
a derivace (3 krát t) podle t je 3. Zde tedy musíme
vynásobit 3. Takto vypadá
derivace x podle t. Jde jen o derivaci
složené funkce. Je to derivace vnější funkce, tedy 2 krát
sinus něčeho, podle vnitřní funkce... Derivaci vnější funkce 2 krát sinus
něčeho podle (1 plus 3 krát t) máme tady a derivace vnitřní funkce
podle t je toto číslo 3. Spočítat derivaci y podle t
už je o trochu jednodušší. K výpočtu této derivace stačí
použít vzorec pro derivaci mocniny. 3 krát 2 se rovná 6,
tohle krát t na (3 minus 1), tedy 6 krát (t na druhou). Hledaná derivace se tedy rovná
6 krát (t na druhou), to celé lomeno... Máme tu 2 krát 3, takže ve jmenovateli
bude 6 krát cos(1 plus 3 krát t). 6 můžeme pokrátit a zbyde nám t na druhou
lomeno cos(1 plus 3 krát t). Zajímá nás hodnota derivace
pro t rovno minus (1 lomeno 3). Když se t rovná minus (1 lomeno 3),
tak naše derivace bude: (−1 lomeno 3) na druhou
lomeno kosinus v bodě (1 plus... 3 krát (−1 lomeno 3) je −1,
takže to je 1 plus −1, tudíž tu
bude cos(0). cos(0) se rovná 1, takže tohle
celé se rovná 1 lomeno 9. Zkusme si nakreslit,
co se zde děje. Udělám si k tomu
takovou tabulku. V tabulce budou sloupečky
pro t, x a y. Když se t rovná
minus (1 lomeno 3), tak se
x rovná... Tady bude sin(0),
takže x se rovná 0. y se pak rovná
minus (2 lomeno 27). Této hodnotě t tak odpovídá bod
[0; minus(2 lomeno 27)], což je
tento bod. Zajímá nás tedy
směrnice tečny v tomto bodě, která nám tady dole
vyšla jako 1 lomeno 9. Směrnice je 1 lomeno 9,
na což se můžeme dívat třeba tak, že když se posuneme
o 1, 2, 3, 4, 4 a půl doprava, tak se musíme posunout
o půlku jednotky nahoru. Tečna v tomto bodě
tak vypadá nějak takhle. Opět si tu odměřím
1, 2, 3, 4, 4 a půl. Nějak takto by
to mohlo vypadat. Právě jsme tedy spočítali, že směrnice
tečny v tomto bodě je 1 lomeno 9. Nemáme tak jenom
napohled hezkou křivku, ale byli jsme o ní
také něco schopni zjistit.