Derivování parametrických rovnic

Souřadnice x a y máme vyjádřené pomocí proměnné t. Když za t postupně dosadíme všechna reálná čísla, dostaneme tento zajímavý graf. Dosadíme například t rovná se 0 a spočítáme, čemu se rovná x a y, potom spočítáme x a y pro t rovná se 1 a tak dále pro všechna t, čímž dostaneme tento zajímavý graf. Cílem tohoto videa ale není jen obdivovat křivky popsané parametrickými rovnicemi. Chceme na ně také použít diferenciální počet. Konkrétně chceme spočítat derivaci y podle x, když se t rovná minus (1 lomeno 3). Pokud už máte nějaký nápad, tak si zastavte video a zkuste to spočítat, nebo to teď můžete počítat spolu se mnou. Hlavní je přijít na to, jak spočítat derivaci y podle x, když máme oboje definované pomocí jiné proměnné t. Odpovědí je, že derivace y podle x se rovná: Derivace y podle t lomeno derivace x podle t. Kdybychom se na tato písmena d dívali jako na pouhá čísla, tak by nám po vykrácení dt skutečně vyšlo to samé. Není to sice formálně korektní postup, ale když se na to díváme takhle, tak je snadno vidět, proč by tohle mohlo dávat smysl. Derivace něčeho podle něčeho jiného se rovná: Derivace y podle t lomeno derivace x podle t. Jak nám tohle pomůže? Derivaci x podle t i derivaci y podle t už umíme spočítat. Derivace x podle t se rovná... Derivace vnější funkce podle té vnitřní je 2 krát sinus... Ouha, derivace sinu je přece kosinus. ...2 krát kosinus v bodě (1 plus 3 krát t), což teď musíme vynásobit derivací vnitřní funkce podle t, která se rovná... Derivace 1 se rovná 0 a derivace (3 krát t) podle t je 3. Zde tedy musíme vynásobit 3. Takto vypadá derivace x podle t. Jde jen o derivaci složené funkce. Je to derivace vnější funkce, tedy 2 krát sinus něčeho, podle vnitřní funkce... Derivaci vnější funkce 2 krát sinus něčeho podle (1 plus 3 krát t) máme tady a derivace vnitřní funkce podle t je toto číslo 3. Spočítat derivaci y podle t už je o trochu jednodušší. K výpočtu této derivace stačí použít vzorec pro derivaci mocniny. 3 krát 2 se rovná 6, tohle krát t na (3 minus 1), tedy 6 krát (t na druhou). Hledaná derivace se tedy rovná 6 krát (t na druhou), to celé lomeno... Máme tu 2 krát 3, takže ve jmenovateli bude 6 krát cos(1 plus 3 krát t). 6 můžeme pokrátit a zbyde nám t na druhou lomeno cos(1 plus 3 krát t). Zajímá nás hodnota derivace pro t rovno minus (1 lomeno 3). Když se t rovná minus (1 lomeno 3), tak naše derivace bude: (−1 lomeno 3) na druhou lomeno kosinus v bodě (1 plus... 3 krát (−1 lomeno 3) je −1, takže to je 1 plus −1, tudíž tu bude cos(0). cos(0) se rovná 1, takže tohle celé se rovná 1 lomeno 9. Zkusme si nakreslit, co se zde děje. Udělám si k tomu takovou tabulku. V tabulce budou sloupečky pro t, x a y. Když se t rovná minus (1 lomeno 3), tak se x rovná... Tady bude sin(0), takže x se rovná 0. y se pak rovná minus (2 lomeno 27). Této hodnotě t tak odpovídá bod [0; minus(2 lomeno 27)], což je tento bod. Zajímá nás tedy směrnice tečny v tomto bodě, která nám tady dole vyšla jako 1 lomeno 9. Směrnice je 1 lomeno 9, na což se můžeme dívat třeba tak, že když se posuneme o 1, 2, 3, 4, 4 a půl doprava, tak se musíme posunout o půlku jednotky nahoru. Tečna v tomto bodě tak vypadá nějak takhle. Opět si tu odměřím 1, 2, 3, 4, 4 a půl. Nějak takto by to mohlo vypadat. Právě jsme tedy spočítali, že směrnice tečny v tomto bodě je 1 lomeno 9. Nemáme tak jenom napohled hezkou křivku, ale byli jsme o ní také něco schopni zjistit.