Druhá derivace (parametrické funkce)

Máme zde dvě parametrické rovnice, kterými vyjadřujeme souřadnice x a y pomocí proměnné t. Když do těchto funkcí dosadíme všechna možná t a nakreslíme do grafu body s příslušnými souřadnicemi x a y pro tato t, tak nám vyjde nějaká křivka v rovině xy. V tomto videu bych rád spočítal první derivaci y podle x a pak také druhou derivaci y podle x, přičemž jejich předpis bude v obou případech záviset na t. Tak pojďme na to. Nejprve spočítejme první derivaci y podle x. Tohle už jsme viděli i v jiných videích. Rovná se to derivaci y podle t lomeno derivace x podle t, což se rovná... Čemu se rovná derivace y podle t? dy lomeno dt se rovná... Derivace výrazu e na (3 krát t) podle (3 krát t) je e na (3 krát t) a derivace (3 krát t) podle t se rovná 3. Můžeme sem tedy napsat „krát 3“ nebo 3 napíšeme dopředu. Derivace −1 se rovná... Konstanta se při jakékoliv změně t nijak nezmění, takže její derivace je 0. dy lomeno dt se tedy rovná 3 krát e umocněné na (3 krát t). Tohle celé vydělíme... Čemu se rovná derivace x podle t? Derivace x podle t se rovná... Číslo 3 tu zůstane. Derivace výrazu e na (2 krát t) podle (2 krát t) je e na (2 krát t). Dále musíme zderivovat (2 krát t) podle t, což vyjde jako 2. Celkem tak dostaneme 6 krát e umocněné na (2 krát t). Tohle teď můžeme trochu zjednodušit. Napíšu to bílou barvou. Zjednoduší se nám to na e na... Bude to 1 lomeno 2, což je totéž co 3 lomeno 6, krát e na (3 krát t minus 2 krát t). Použil jsem jen vlastnosti mocnin. Když mám tři t a pak dvě odečtu, tak mi zbyde jen jedno t, takže tohle se nám zjednoduší na t. Když už známe první derivaci y podle x v závislosti na t, jak teď spočítáme druhou derivaci y podle x? Dám vám nápovědu. Opět použijeme tenhle vzorec. Chceme-li zjistit rychlost změny něčeho vzhledem k x, tak spočítáme rychlost změny toho něčeho vzhledem k t a vydělíme to rychlostí změny x vzhledem k t. Jak to bude vypadat v tomhle případě? Tohle se rovná derivaci první derivace podle t... Raději to napíšu. V čitateli bude derivace podle t z první derivace, kterou tu takto modře ohraničím. Bude to tedy derivace podle ‚t‘ z (dy lomeno dx), to celé lomeno (dx lomeno dt). Pokud vám není jasné, proč je tohle to samé, co jsme udělali před chvílí, tak vám doporučuji si teď zastavit video a zamyslet se nad tím. Zamyslete se, co jsme tu předtím dělali, když jsme chtěli spočítat derivaci y podle x. Nejprve jsme spočítali derivaci y podle t a pak ji vydělili derivací x podle t. Nyní chceme spočítat druhou derivaci y podle x. Napíšu to sem ještě jednou ve srozumitelnějším tvaru. Chceme vlastně spočítat derivaci podle... Napíšu to ještě jinak. Když jsme chtěli spočítat derivaci podle ‚x‘ z ‚y‘, tak se to rovnalo derivaci y podle t lomeno derivace x podle t. Nyní chceme spočítat derivaci podle x z první derivace podle x. Místo y tak teď všude musíme napsat jeho první derivaci. Tohle se tedy rovná... V čitateli bude derivace podle ‚t‘ z (dy lomeno dx), protože předtím to byla derivace podle ‚t‘ z ‚y‘... Ještě to tady přepíšu, ať je to jasnější. Tohle dám pryč a napíšu to jako derivaci podle ‚t‘ z ‚y‘. Snad už tedy vidíte, že tam, kde předtím bylo y, teď bude dy lomeno dx. Nyní to ještě vydělíme výrazem dx lomeno dt. Tohle teď možná vypadá dost strašidelně a složitě, ale půjde to poměrně jednoduše spočítat. Spočítat derivaci podle ‚t‘ z první derivace znamená zderivovat podle t tohle. To už se spočítá snadno. Derivace tohohle se rovná (1 lomeno 2) krát derivace (e na t) podle t, což je opět e na t. Tohle teď musíme vydělit derivací x podle t, která nám už předtím vyšla jako 6 krát e umocněné na (2 krát t). Tohle můžeme napsat jako... (1 lomeno 2) děleno 6 je 1 lomeno 12 a potom krát e na (t minus 2 krát t), což se rovná (1 lomeno 12) krát e na −t, nebo to můžeme napsat jako 1 lomeno (12 krát e na t). A máme hotovo.