V této lekci jsem si pro vás nachystal
příklad, který nám umožní zopakovat si spoustu věcí, které už jste se naučili.
Typickou vektorovou veličinou je třeba síla, takže máme tři mravence, kteří se
přetahují o zrnko cukru. Mravenec A táhne zrnko silou F A, která má složky
minus čtyři a minus dva milinewtony. Mravenec B táhne zrnko silou o
velikosti F B, velikost té síly je pět milionewtonů a ta síla svírá s osou x
úhel 70 stupňů. A pak tam máme Ferdu Mravence, který to bude zachraňovat. A
Ferda Mravenec vyvine sílu 7 milinewtonů a potřebuje to zrnko dostat do
mraveniště. To mraveniště je ve směru osy x. Zkusme si to zadání nakreslit.
Nakreslíme si tady soustavu souřadnic, máme tu osu x a y. A aby se nám do toho
dobře kreslilo, tak si tady uděláme síť a popíšeme si osu x a osu y a zkusme si
nakreslit tu sílu F A. F A má složky minus čtyři a minus dva milinewtony,
takže na ose x půjde minus čtyři milinewtony, na ose y minus 2 milinewtony. A toto je tedy vektor síly F A, popíšeme
si to, že je to vektor F A. Jak je to s tou silou F B? Ta má svírat s osou x úhel
70 stupňů. Nachystáme si tady úhel 70 stupňů, označíme si ho jako alfa. No a
ta síla F B půjde tímto směrem a bude mít délku 5 milinewtonů, takže délka
tady tohoto vektoru by měla být 5 tady těch našich jednotek. Toto je síla F B,
mraveniště je ve směru osy x. To znamená někde tady. A teď vidíme, že
tady ti dva mravenci ten kousek cukru asi do mraveniště nedotáhnou, že oni ho
táhnou někam doleva nahoru a my potřebujeme, aby ta výslednice sil, která
působí na to zrnko cukru, měla směr osy x. To znamená, ten Ferda Mravenec musí
působit nějakou silou, která způsobí to, že výslednice všech sil od všech tří
těch mravenců bude mít směr osy x. Velikost té síly F M známe, to je sedm
milinewtonů a máme zjistit, jaký úhel ta síla F M svírá s osou x. Abychom se nemuseli trápit s každým z
těch mravenců zvlášť, tak si síly od toho mravence A a od mravence B sečteme. A
budeme to dělat napřed geometricky a pak si to vždycky spočítáme. Takže když
chceme sečíst vektory F A a F B, tak vlastně doplníme ten obrazec na
rovnoběžník. To znamená, tady tento vektor přeneseme sem, no a výsledná síla
potom bude vypadat takhle. A označíme si, že je to síla F AB. Takže to je
součet těch sil F A a F B. A ten Ferda Mravenec vlastně bojuje s tou silou F AB. Ještě tam máme jeden problém, tu sílu F A
známe, ta má složky minus čtyři a minus dva. Když to budeme chtít spočítat, ten
součet těch dvou sil, tak bychom potřebovali znát složky i té síly F B. No
ale u té známé jenom velikost a známe úhel, který svírá s osou x. Zkusíme si to tedy rozkreslit. Tady
jsem nakreslil, jak to bude vypadat ve zvětšeném obrázku, takže tady máme tu
sílu F B. Tady je ten úhel alfa. A my chceme
zjistit složky té síly, to znamená F Bx, to je tady ta vodorovná složka a F By,
to je tady ta svislá složka. Vidíme, že tady máme pravoúhlý trojúhelník, tady
toto je pravý úhel. A v tom pravoúhlém trojúhelníku máme zadanou přeponu,
máme zadaný úhel a chceme spočítat tady tuto stranu F Bx, to je přilehlá, nu
přilehlá ku přeponě, to je kosinus alfa. Takže napíšeme si tady, že F Bx je
FB krát kosinus alfa, můžeme tam dosadit, takže za FB dosadíme těch pět milionewtonů,
za alfa dosadíme sedmdesát stupňů. A když to spočítáme, tak máme tu 5 krát
kosinus sedmdesáti a to je jedna celá sedm. Dobře, takže ta
složka síly F Bx má velikost 1,7 milinewtonů. Teď spočítáme tu složku y. No to je tady tahle, takže to je vlastně
protilehlá, protilehlá ku přeponě, to je sinus, takže F By je F B
krát sinus alfa. Zase je to pět krát sinus sedmdesáti. Znovu si otevřeme kalkulačku, místo
kosinus tam napíšeme sinus, a máme 4 celé 7. Dobře, už máme složky té síly F B. Ona má složky jedna celá sedm a
čtyři celé sedm miliewtonů. A teď známe jak tu sílu F A, tu máme zadanou tady, tak
známe tu sílu F B, a chceme je sečíst. To sečteme snadno, protože stačí sečíst
jejich složky. No a co tím získáme? My tím vlastně nahradíme tady ty dvě síly
F A a F B jednou, její výslednicí F AB. Když to spočítáme, tak napíšeme, že F AB
je součet vektoru F A a vektoru F B. A když to sečteme, tak je to minus čtyři
plus jedna celá 7, to je minus dvě celé tři a minus dva plus čtyři celé sedm, to
je plus 2 celé 7, takže výsledná síla od těch dvou mravenců má složky minus
dvě celé tři a plus dva celá sedm milinewtonů. A to je ta síla, se kterou musí bojovat
ten Ferda Mravenec. Protože on k tomu teďka přijde, vidí, že ti dva to táhnou někam
do pryč, a musí jít nasadit tu svou sílu, aby dostal ten kousek cukru směrem do
mraveniště, aby ta výslednice sil směřovala ve směru osy x. No, aby ta
výslednice byla vodorovná, tak my víme, že ta síla F AB má svislou složku plus
dvě celé sedm milinewtonů, to znamená, je tam síla plus dvě celé sedm milinewtonů směrem
nahoru. Co s tím musí ten Ferda Mravenec udělat?
No musí tam dát svoji sílu, která bude mít složku 2 celé 7 milinewtonů dolů. A my
víme, že y-ová složka síly od toho Ferdy mravence má být
minus 2 celé 7 a že ta velikost síly má být 7 milinewtonů, takže nakreslíme si
tady v 7 milinewtonech kružnici, protože ta síla od Ferdy mravence bude končit
někde na té kružnici. No a měla by končit tak, aby ta y-ová složka byla
minus 2 celé 7 milinewtonů, takže minus 2 celé 7 milinewtonů máme někde tady a
napíšeme si to, tady jsme si označili ještě, že je to síla F M, tady že je úhel
beta a teď napíšeme, že F My, to znamená y-ová složka té síly F M je
vlastně F M krát sinus beta, úhel beta máme tady, a to musí být těch minus 2,7
milinewtonů, aby se ty y-ové složky od těch dvou mravenců a od Ferdy Mravence navzájem
vyrušily. Z toho můžeme tedy spočítat, že sinus beta je F My ku F M. Celou tu rovnici vlastně vydělíme F M.
A když dosadíme za F My, že je minus 2,7, a za F M dosadíme, že je sedm milinewtonů, tak
dostaneme, že beta je 22 celých sedm stupňů. Můžeme to zkusit spočítat. Takže chceme
arkus sinus, takže to je inv a sinus, závorka, a je tam minus dvě celé
sedm děleno sedmi, zavřít závorku,
vypočítat. Takže směr té síly F M musí být 22,7 stupňů. To je úhel, který svírá s osou x a je to
taky výsledek toho našeho počítání. Tady to znaménko minus nám říká, že ten úhel
měříme směrem dolů. Mohli bychom to dělat i tak, že bychom
se tam nezabývali znaménky, to znamená tady řekli, že velikost té složky je 2,7
milinewtonů a pak směr toho úhlu zjistili tady z té grafické představy. Tím jsme
tedy vyřešili ten úkol a, ale protože se nám to bude hodit, tak ještě spočítáme x-ovou
složku té síly F M. Takže F Mx můžeme spočítat dvěma způsoby, buď z
Pythagorovy věty, že je to F M na druhou minus F na druhou My, vezmeme
kalkulačku, a zadáme odmocnina závorka sedm na druhou minus 2 celé 7, to minus je tady tohle
minus, protože o tohle minus přijdeme, když to umocníme na druhou. Takže 7 na
druhou minus 2 celé 7 na druhou, zavřeme závorku a spočítáme a x-ová
složka té síly F M je 6 celých 5. Máme tu šest celých pět, ještě to můžeme
zkontrolovat, že opravdu tak, jak jsme to zkoušeli graficky, tak ta x-ová složka
té síly F M je 6,5 milinewtonů. Někoho možná překvapilo, že jsem tu
x-ovou složku toho vektoru F M počítal přes Pythagorovu větu, když jsem mohl
použít vzoreček, který už jsme tady jednou použili, když jsme počítali F Bx, a
počítali jsme to přes goniometrické funkce. Ono je to vlastně jedno, já když
si vezmu kalkulačku, tak můžu říct, že F Mx se rovná F M, to je sedm milinewtonů,
krát, a tady máme kosinus, takže napíšeme
kosinus a ten úhel je 22,7 stupně, to je jedno, jestli tam dám minus dvacet dva
celých sedm nebo 22,7 plus a vyjde mně to zase těch 6 celých 5 milinewtonů. A v dalším videu si zkusíme spočítat
ty ostatní příklady, tam už to bude jednodušší.