Řešený příklad: Složky vektoru podle velikosti a směru (první část)

V této lekci jsem si pro vás nachystal příklad, který nám umožní zopakovat si spoustu věcí, které už jste se naučili. Typickou vektorovou veličinou je třeba síla, takže máme tři mravence, kteří se přetahují o zrnko cukru. Mravenec A táhne zrnko silou F A, která má složky minus čtyři a minus dva milinewtony. Mravenec B táhne zrnko silou o velikosti F B, velikost té síly je pět milionewtonů a ta síla svírá s osou x úhel 70 stupňů. A pak tam máme Ferdu Mravence, který to bude zachraňovat. A Ferda Mravenec vyvine sílu 7 milinewtonů a potřebuje to zrnko dostat do mraveniště. To mraveniště je ve směru osy x. Zkusme si to zadání nakreslit. Nakreslíme si tady soustavu souřadnic, máme tu osu x a y. A aby se nám do toho dobře kreslilo, tak si tady uděláme síť a popíšeme si osu x a osu y a zkusme si nakreslit tu sílu F A. F A má složky minus čtyři a minus dva milinewtony, takže na ose x půjde minus čtyři milinewtony, na ose y minus 2 milinewtony. A toto je tedy vektor síly F A, popíšeme si to, že je to vektor F A. Jak je to s tou silou F B? Ta má svírat s osou x úhel 70 stupňů. Nachystáme si tady úhel 70 stupňů, označíme si ho jako alfa. No a ta síla F B půjde tímto směrem a bude mít délku 5 milinewtonů, takže délka tady tohoto vektoru by měla být 5 tady těch našich jednotek. Toto je síla F B, mraveniště je ve směru osy x. To znamená někde tady. A teď vidíme, že tady ti dva mravenci ten kousek cukru asi do mraveniště nedotáhnou, že oni ho táhnou někam doleva nahoru a my potřebujeme, aby ta výslednice sil, která působí na to zrnko cukru, měla směr osy x. To znamená, ten Ferda Mravenec musí působit nějakou silou, která způsobí to, že výslednice všech sil od všech tří těch mravenců bude mít směr osy x. Velikost té síly F M známe, to je sedm milinewtonů a máme zjistit, jaký úhel ta síla F M svírá s osou x. Abychom se nemuseli trápit s každým z těch mravenců zvlášť, tak si síly od toho mravence A a od mravence B sečteme. A budeme to dělat napřed geometricky a pak si to vždycky spočítáme. Takže když chceme sečíst vektory F A a F B, tak vlastně doplníme ten obrazec na rovnoběžník. To znamená, tady tento vektor přeneseme sem, no a výsledná síla potom bude vypadat takhle. A označíme si, že je to síla F AB. Takže to je součet těch sil F A a F B. A ten Ferda Mravenec vlastně bojuje s tou silou F AB. Ještě tam máme jeden problém, tu sílu F A známe, ta má složky minus čtyři a minus dva. Když to budeme chtít spočítat, ten součet těch dvou sil, tak bychom potřebovali znát složky i té síly F B. No ale u té známé jenom velikost a známe úhel, který svírá s osou x. Zkusíme si to tedy rozkreslit. Tady jsem nakreslil, jak to bude vypadat ve zvětšeném obrázku, takže tady máme tu sílu F B. Tady je ten úhel alfa. A my chceme zjistit složky té síly, to znamená F Bx, to je tady ta vodorovná složka a F By, to je tady ta svislá složka. Vidíme, že tady máme pravoúhlý trojúhelník, tady toto je pravý úhel. A v tom pravoúhlém trojúhelníku máme zadanou přeponu, máme zadaný úhel a chceme spočítat tady tuto stranu F Bx, to je přilehlá, nu přilehlá ku přeponě, to je kosinus alfa. Takže napíšeme si tady, že F Bx je FB krát kosinus alfa, můžeme tam dosadit, takže za FB dosadíme těch pět milionewtonů, za alfa dosadíme sedmdesát stupňů. A když to spočítáme, tak máme tu 5 krát kosinus sedmdesáti a to je jedna celá sedm. Dobře, takže ta složka síly F Bx má velikost 1,7 milinewtonů. Teď spočítáme tu složku y. No to je tady tahle, takže to je vlastně protilehlá, protilehlá ku přeponě, to je sinus, takže F By je F B krát sinus alfa. Zase je to pět krát sinus sedmdesáti. Znovu si otevřeme kalkulačku, místo kosinus tam napíšeme sinus, a máme 4 celé 7. Dobře, už máme složky té síly F B. Ona má složky jedna celá sedm a čtyři celé sedm miliewtonů. A teď známe jak tu sílu F A, tu máme zadanou tady, tak známe tu sílu F B, a chceme je sečíst. To sečteme snadno, protože stačí sečíst jejich složky. No a co tím získáme? My tím vlastně nahradíme tady ty dvě síly F A a F B jednou, její výslednicí F AB. Když to spočítáme, tak napíšeme, že F AB je součet vektoru F A a vektoru F B. A když to sečteme, tak je to minus čtyři plus jedna celá 7, to je minus dvě celé tři a minus dva plus čtyři celé sedm, to je plus 2 celé 7, takže výsledná síla od těch dvou mravenců má složky minus dvě celé tři a plus dva celá sedm milinewtonů. A to je ta síla, se kterou musí bojovat ten Ferda Mravenec. Protože on k tomu teďka přijde, vidí, že ti dva to táhnou někam do pryč, a musí jít nasadit tu svou sílu, aby dostal ten kousek cukru směrem do mraveniště, aby ta výslednice sil směřovala ve směru osy x. No, aby ta výslednice byla vodorovná, tak my víme, že ta síla F AB má svislou složku plus dvě celé sedm milinewtonů, to znamená, je tam síla plus dvě celé sedm milinewtonů směrem nahoru. Co s tím musí ten Ferda Mravenec udělat? No musí tam dát svoji sílu, která bude mít složku 2 celé 7 milinewtonů dolů. A my víme, že y-ová složka síly od toho Ferdy mravence má být minus 2 celé 7 a že ta velikost síly má být 7 milinewtonů, takže nakreslíme si tady v 7 milinewtonech kružnici, protože ta síla od Ferdy mravence bude končit někde na té kružnici. No a měla by končit tak, aby ta y-ová složka byla minus 2 celé 7 milinewtonů, takže minus 2 celé 7 milinewtonů máme někde tady a napíšeme si to, tady jsme si označili ještě, že je to síla F M, tady že je úhel beta a teď napíšeme, že F My, to znamená y-ová složka té síly F M je vlastně F M krát sinus beta, úhel beta máme tady, a to musí být těch minus 2,7 milinewtonů, aby se ty y-ové složky od těch dvou mravenců a od Ferdy Mravence navzájem vyrušily. Z toho můžeme tedy spočítat, že sinus beta je F My ku F M. Celou tu rovnici vlastně vydělíme F M. A když dosadíme za F My, že je minus 2,7, a za F M dosadíme, že je sedm milinewtonů, tak dostaneme, že beta je 22 celých sedm stupňů. Můžeme to zkusit spočítat. Takže chceme arkus sinus, takže to je inv a sinus, závorka, a je tam minus dvě celé sedm děleno sedmi, zavřít závorku, vypočítat. Takže směr té síly F M musí být 22,7 stupňů. To je úhel, který svírá s osou x a je to taky výsledek toho našeho počítání. Tady to znaménko minus nám říká, že ten úhel měříme směrem dolů. Mohli bychom to dělat i tak, že bychom se tam nezabývali znaménky, to znamená tady řekli, že velikost té složky je 2,7 milinewtonů a pak směr toho úhlu zjistili tady z té grafické představy. Tím jsme tedy vyřešili ten úkol a, ale protože se nám to bude hodit, tak ještě spočítáme x-ovou složku té síly F M. Takže F Mx můžeme spočítat dvěma způsoby, buď z Pythagorovy věty, že je to F M na druhou minus F na druhou My, vezmeme kalkulačku, a zadáme odmocnina závorka sedm na druhou minus 2 celé 7, to minus je tady tohle minus, protože o tohle minus přijdeme, když to umocníme na druhou. Takže 7 na druhou minus 2 celé 7 na druhou, zavřeme závorku a spočítáme a x-ová složka té síly F M je 6 celých 5. Máme tu šest celých pět, ještě to můžeme zkontrolovat, že opravdu tak, jak jsme to zkoušeli graficky, tak ta x-ová složka té síly F M je 6,5 milinewtonů. Někoho možná překvapilo, že jsem tu x-ovou složku toho vektoru F M počítal přes Pythagorovu větu, když jsem mohl použít vzoreček, který už jsme tady jednou použili, když jsme počítali F Bx, a počítali jsme to přes goniometrické funkce. Ono je to vlastně jedno, já když si vezmu kalkulačku, tak můžu říct, že F Mx se rovná F M, to je sedm milinewtonů, krát, a tady máme kosinus, takže napíšeme kosinus a ten úhel je 22,7 stupně, to je jedno, jestli tam dám minus dvacet dva celých sedm nebo 22,7 plus a vyjde mně to zase těch 6 celých 5 milinewtonů. A v dalším videu si zkusíme spočítat ty ostatní příklady, tam už to bude jednodušší.