Řešený příklad: Složky vektoru podle velikosti a směru (tlačení krabice)

Máme tady takový náčrtek a nějaké údaje a já vám hned vysvětlím, o co tady dneska půjde. Tady máme krabici, kterou se dva lidé snaží dotlačit směrem k cíli. Z nějakého důvodu ale nemůžu tlačit přesně zezadu, tímto směrem, například proto, že krabice je v tomto místě příliš měkká, takže musí tlačit za rohy, nebo je tam nějaký kámen nebo něco, takže nemůžu tlačit přímo odsud zezadu, takže každý tlačí trošku jiným směrem. A také každý tlačí trochu jinou silou, působí na tu krabici trošku jinou silou. První osoba, dejme tomu osoba A, tlačí tímto směrem. To nám vyjadřuje tento vektor, tato orientovaná úsečka, a působí na krabici silou 330 Newtonů v tomto směru, pod úhlem třiceti pěti stupňů odchýleným od té přímky, bychom mohli říct přímky, která směřuje k cíli. Pak tady máme osobu B, která působí tímto směrem na krabici silou 300 Newtonů, to je velikost toho vektoru, délka té orientované úsečky, a je to pod úhlem 15 stupňů od té přímky, která vede k tomu cíli, takže známe velikosti těch vektorů a známe ty úhly, a teď si to video zastavte a zkuste si spočítat, kolik z té síly opravdu směřuje k cíli, tedy tímto směrem? Kdo víc pomáhá tu krabici dostat do toho cíle? Kdo uplatňuje tímto směrem víc síly, zda osoba A nebo osoba B, a kolik uplatňují tímto směrem síly dohromady? Jaká síla působí na krabici v tomto směru dohromady za osoby A i B? Já budu předpokládat, že už jste si to zkusili, a my si to teď dáme společně. Takže co my vlastně hledáme? My hledáme složku těch vektorů, která směřuje tímto směrem. Nebo také velikost vektorů, které vedou tímto směrem. Kdybychom vzali ten vektor, který vede tímto směrem a pak vektor, který vede tímto směrem, abychom je sečetli, tak bychom dostali tento vektor, takže vektor, který vede tímto směrem, tuhle tu složku těch jednotlivých vektorů. Vysvětlím, překreslím. Začneme vektorem A, já si to tady načrtnu, načrtnu si prvně ten směr k cíli. Víceméně takto. Takže to je ten směr k cíli, teď načrtneme ten vektor, má to mít 35 stupňů, tak, tak nějak zhruba. Takže co my hledáme? Jak už jsem řekla, hledáme tady tuto část, můžeme říct tento vektor. Jak to uděláme? Úplně jednoduše. Určitě už víte, už jsme to dělali tolikrát. Tady si představíme pravoúhlý trojúhelník. Tady je vektor a, jehož velikost, to je vlastně délka té strany, že, jeho velikost je 330 Newtonů. Tady máme třicet pět stupňů a hledáme tedy toto. Můžeme tomu říkat strana třeba ax. A ta strana ax nám vlastně vyjadřuje velikost toho vektoru třeba ax, který vede tímto směrem. A jak to spočítáme? Jednoduše, klasicky, goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku. Máme přilehlou a máme přeponu, přilehlá ku přeponě, to je kosinus. Kosinus třiceti pěti stupňů je ax, stačí napsat ax, nemusíme psát tento zápis s vektorem, už jsme si řekli, že to se rovná, ax děleno 330, vynásobíme obě dvě strany tři sta třiceti a dostaneme, že tři sta třicet krát kosinus třiceti pět stupňů je rovno ax. Když si vytáhneme kalkulačku, tak 330 krát kosinus třiceti pěti, to je, podíváme se, zaokrouhlíme to asi na celé Newtony, to nám bude stačit. Takže to je 270 Newtonů, ax je rovno přibližně dvě stě sedmdesát Newtownů. Výborně. A teď se podíváme na tu stranu b. Úplně stejně, já to nakreslím tady trošku výš, ať tu máme místo na počty, opět směr k cíli, kam bychom rádi dotlačili tu krabici. A teď vektor b, 15 stupňů. No, tak, víceméně. Takže zase hledáme tento vektor, který vede tímto směrem. Opět to uděláme obdobně. Tady si představíme pravoúhlý trojúhelník, nebude ani vidět ta tečka, ale vy to chápete, tady je tečka, pravoúhlý trojúhelník. Tady máme 15 stupňů. Tady je vektor b a vlastně délka té strany je velikost vektoru b, který je 300 Newtownů. A my chceme tedy tuto stranu toho trojúhelníku, neboli velikost tohoto vektoru. Takže zase to můžeme nazvat bx, tu stranu, a délka té strany je rovna velikosti toho vektoru bx, který vede tím směrem. Zase máme přilehlou ku přeponě. To je zase kosinus. Takže kosinus patnácti stupňů, tentokrát, bude roven bx děleno 300. Vynásobíme takto a dostaneme, že 300 krát kosinus patnácti stupňů je roven bx. Úplně obdobně, opět kalkulačka, 300 krát kosinus patnácti, to je rovno, zase zaokrouhlíme na celé Newtony, 290. Bx je zhruba dvě stě devadesát Newtonů. Tak teď už jsme na něco přišli. Vidíme, že tady máme dvě stě sedmdesát, tady máme dvě stě devadesát. Takže hned můžeme zodpovědět první otázku, kdo působí větší silou na krabici v tomto směru. A je to tedy ta druhá osoba, která ačkoliv působí na krabici celkově menší silou, tak ale tímto směrem uplatňuje té síly více, a to 290 Newtonů. Kdybychom chtěli vědět o kolik, 290 minus 270, zhruba o 20 Newtownů více. Takže tím směrem k cíli uplatňuje tato osoba zhruba o 20 Newtownů síly více než ta osoba první, osoba A. Můžeme si to tady i zakreslit, celkem ten náčrtek i sedí. Když si to představíme, tak tady ta modrá, ten vektor bx, má dvě stě devadesát Newtownů. A ten vektor ax má dvě stě sedmdesát, víme, že by to tak nějak mohlo odpovídat. A ještě jsme chtěli zjistit, jakou celkovou silou obě dvě ty osoby působí na tu krabici směrem k cíli. Jak to uděláme? Potřebujeme sečíst ty dva vektory. A jelikož ty dva vektory vedou stejným směrem, tak tu velikost celkovou spočítáme úplně jednoduše, jednoduše ji sečteme. A to proto, že vedou stejným směrem. To je ten speciální případ. Takže velikost vektoru ax plus bx je stejná, jako když sečteme délku těchto dvou stran, ax plus bx. Jak už jsme řekli, jak jsme si to tady napsali, a to je dvě stě sedmdesát plus dvě stě devadesát, to je pět set šedesát Newtonů. Takže dohromady ti dva lidé působí na krabicí tímto směrem silou 560 Newtonů.