If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:8:44

Řešený příklad: Velikost a směr vektoru podle složek (přetahovaná)

Transkript

Máme tady slovní úlohu ze cvičení na vektory. Týmy A, B a C spolu soupeří ve hře, která spočívá v tom, že každý z týmů přiváže lano ke kovovém kruhu uprostřed a snaží se tento kruh přetáhnout na své území. Území jednotlivých týmů jsou vyznačena níže. My je máme tady. Tady máme napsáno, že tým A na kruh působí silou. Tým B kruh táhne silou a tým C kruh na své území přetahuje také nějakou silou. Ty síly jsou vyjádřeny vektory a, b a c, které jsou takto zapsány pomocí jednotkových vektorů e1 a e2. Takže tým A tahá tímto směrem, vidíme, že to je pouze násobek jednotkového vektoru e1, takže tahá vlastně jakoby rovnoběžně s osou x, pouze doprava v uvozovkách. Tým B tahá tímto směrem, doleva a nahoru. A tým C doleva a dolů, v uvozovkách. Složky všech sil jsou uvedeny v kilo-Newtonech. A oni se nás tady ptají na tři věci. Který z týmů vyhraje, čemu se rovná velikost výsledné síly působící na kruh, a kterým směrem je kruh ve výsledku tažen. Začněme s tou první otázkou. Který z týmů vyhraje? Logicky ten, který působí na kruh největší silou a tím pádem ten kruh přetáhne na to svoje území. Když se podíváme na ty vektory, tak to znamená, že hledáme vektor, který má největší velikost. A velikost vektoru my už spočítat umíme, to je úplně jednoduché, je to vlastně využití Pythagorovy věty. Tak pojďme na to. Vektor a a jeho velikost. Velikost vektoru a je jednoduchá, poněvadž tady máme pouze násobek jednotkového vektoru e1. Jednotkový vektor má logicky velikost jedna, takže to je 4 krát jedna a tedy čtyři. To bylo jednoduché. Velikost vektoru b, to už bude trochu složitější, ale jak už jsem řekla, je to pouze využití Pythagorovy věty. Už jsme to dělali x-krát v minulých videích, takže jenom rychle. Já to ukážu tady. Tady si vlastně představíme pravoúhlý trojúhelník. Toto jsou ty naše složky x-ová a y-ová, tedy v našem případě to tady vidíme jako jednotkové vektory e1 a e2. A toto je přepona v pravoúhlém trojúhelníku, jejíž délka je rovna odmocnině součtu druhých mocnin délek těch odvěsen, takže to bude odmocnina z minus dva na druhou, to je tady, plus 4 na druhou plus 4 na druhou, to je tedy, odmocnina ze čtyř plus 16, odmocnina z 20ti. Kolik to tak zhruba je? Známe odmocninu ze šestnácti, to je 4, takže to je o fous víc než 4. Je to víc než 4, takže vektor b má větší velikost než vektor a. Takže zatím je potenciálním vítězem vektor b, ale uvidíme, jak to ještě bude dál. A vektor c, nemám zelenou, použiju červenou. To je obdobné. Pythagorova věta, já už to ani nebudu kreslit. Takže to je odmocnina z minus 3 na druhou plus minus 3 na druhou a to je rovno odmocnině z 9 plus 9, odmocnině z osmnácti. To je rozhodně méně než odmocnina z 20. A my už víme, že toto je tedy víc než toto. Takže vítězem je vektor b, který má největší velikost a to tedy znamená, že tým B působí na kruhu největší silou, a tím pádem zvítězí a přetáhne ten kruh na své území. Takže vítězem je tým B. To bychom měli vyřešené. Pojďme dál. Čemu se rovná velikost výsledné síly působící na kruh? Výsledná síla působící na kruh, jak to spočítáme? Spočítáme to tak, že jednoduše sečteme všechny tři ty vektory po těch složkách, sečteme násobky jednotkového vektoru e1 a sečteme násobky jednotkového vektoru e2. A dostaneme ten výsledný vektor. A z toho pak spočítáme tu výslednou sílu, což bude velikost toho výsledného vektoru. Tak pojďme na to. Výsledný vektor, může se jmenovat třeba v. V bude rovno, takže sčítáme vektor a, čtyři e1 plus nula e2, vektor b, minus dva krát e1 plus čtyři krát e2. A vektor c, minus tři krát e1 minus 3 krát e2. To se rovná čtyři krát e1 minus dvakrát e1 je dvakrát e1, minus tři krát e1 je minus jedna krát e1. Takže stačí napsat minus e1. Nula plus čtyři jsou čtyři, minus tři je jedna, jedna krát e2, stačí napsat pouze plus e2. To je ten výsledný vektor. Kdybychom to chtěli ještě zapsat jako x-ovou a y-ovou složku, bylo by to minus 1 a 1, takto. To je ten výsledný vektor té síly působící na kruh. Ale my chceme velikost té výsledné síly a tudíž potřebujeme velikost toho vektoru. Já ten vektor jenom načrtnu, jak tak asi bude vypadat. Osa x a y. 1, 2. 1, 2. Tady někde je minus jedna, jedna, takže výsledný vektor bude vypadat nějak takto, minus jedna a jedna. A když si teď představíme ještě klasicky ten pravoúhlý trojúhelník, protože chceme velikost toho vektoru, tak tady vlastně máme jedna, délka té strany je 1. Je to vlastně minus jedna, jdeme do minus jedna, ale délka jakoby té strany toho trojúhelníku je jedna. A tady je to taky 1. Takže zase a opět Pythagorova věta, tady je pravý úhel. Délka této strany toho trojúhelníku a tím pádem velikost toho vektoru je vlastně odmocnina z jedné na druhou plus z jedné na druhou, a to je tedy odmocnina ze dvou. Jednoduché. Je tu napsané, že to máme zaokrouhlit na desetiny. Odmocnina ze dvou je 1,4 něco. Takže jedna celá 4 kN. A poslední věc, co máme zjistit, kterým směrem je kruh ve výsledku tažen? Předpokládej, že úhlu 0 radiánů odpovídá směr doprava, tedy vlastně tento. My víme, že to směřuje někam do území toho týmů B, někde tady. Když se podíváme, jak to směřuje, tak to je někde tady. Takže my vlastně hledáme tento úhel, úhel théta, nějaký úhel théta, tento. A to nebude vůbec nic složitého a hned si řekneme proč. My víme, kolik je celý tento úhel. Celý tento úhel, já to tu můžu někde takhle nakreslit, celý tento úhel je pí radiánů, 180 stupňů je pí radiánů. To je jednoduché. A my známe tento úhel. Ten úhel, který chybí tady tomuto úhlu théta do toho pí radiánů. Jak to, že ho známe? No to je jednoduché, tady máme ten pravoúhlý trojúhelník. Takže tady je devadesát stupňů. A my známe i tyto dva úhly, protože je to pravoúhlý trojúhelník a ještě k tomu je rovnoramenný. Takže tyto dva malé úhly budou 45 a 45 stupňů. 45 stupňů je čtvrtina 180 stupňů, takže čtvrtina pí. Takže ta výsledná théta, kterou my hledáme, bude to pí radiánů, tedy celý tento úhel, minus tento malý úhel. A ten malý úhel, jak už jsme řekli, má 45 stupňů a tedy je to jedna čtvrtina pí. A celé pí, 4 čtvrtiny pí, minus jedna čtvrtina pí, jsou tři čtvrtiny pí. A když to chceme zaokrouhlit na desetiny, tak zase vezmeme kalkulačku, dáme tam tři čtvrtiny pí a dostaneme dvě celá 35, zaokrouhlit na desetiny je 2 celá čtyři radiánů. A tím jsme zodpověděli i tu poslední otázku. A máme hotovo.